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- 2021-06-16 发布
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第 38 课 直接证明与间接证明
[最新考纲]
要求
内容
A B C
分析法与综合法 √
反证法 √
1.直接证明
(1)综合法
①定义:从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,
直到推出要证明的结论为止,这种证明方法常称为综合法.
②框图表示:已知条件⇒…⇒…⇒结论
③思维过程:由因导果.
(2)分析法
①定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使
结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析
法.
②框图表示:结论⇐…⇐…⇐已知条件
③思维过程:执果索因.
2.间接证明
(1)反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正
确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方
法.
(2)反证法的步骤:
①反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真;
②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾
结果;
③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件.( )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( )
(3)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.( )
(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现
解决问题的过程.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.用反证法证明命题:“已知 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有
一个实根”时,要做的假设是____________.
方程 x2+ax+b=0 没有实根 [“方程 x 2+ax+b=0 至少有一个实根”的反
面是“方程 x2+ax+b=0 没有实根”.]
3.要证明 3+ 7<2 5,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是
____________.(填序号)
①综合法; ②分析法;
③反证法; ④归纳法.
② [要证明 3+ 7<2 5成立,可采用分析法对不等式两边平方后再证
明.]
4 . 已 知 a , b , x 均 为 正 数 , 且 a>b , 则 b
a
与 b+x
a+x
的 大 小 关 系 是
__________.
b+x
a+x>b
a
[∵b+x
a+x
-b
a
=x(a-b)
(a+x)a
>0,
∴b+x
a+x>b
a.]
5.(教材改编)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且
A,B,C 成等差数列,a,b,c 成等比数列,则△ABC 的形状为__________三角
形.
等边 [由题意 2B=A+C,
又 A+B+C=π,∴B=π
3
,又 b2=ac,
由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,
∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c,
∴A=C,∴A=B=C=π
3
,∴△ABC 为等边三角形.]
综合法
如图 381 所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面
PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= 2
2 AD= 2.
(1)求证:平面 PAB⊥平面 PCD;
(2)求三棱锥 DPBC 的体积.
图 381
[解] (1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
又 CD⊥AD,所以 CD⊥平面 PAD,所以 CD⊥PA.
因为 PA=PD= 2
2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且∠APD=π
2
,即 PA
⊥PD.
又 CD∩PD=D,所以 PA⊥平面 PCD
又 PA⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PCD.
(2)取 AD 的中点 O,连接 OP,如图
因为 PA=PD,所以 PO⊥AD.
因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
所以 PO⊥平面 ABCD.
即 PO 为三棱锥 PBCD 的高,
由 PA=PD= 2
2 AD= 2,知 OP=1.
因为底面 ABCD 是正方形,所以 S△BCD=1
2
×2×2=2.所以 V 三棱锥 DPBC=V 三
棱锥 PBCD=1
3PO·S△BCD=1
3
×1×2=2
3.
[规律方法] 综合法是“由因导果”的证明方法,其逻辑依据是三段论式的
演绎推理方法,常与分析法结合使用,用分析法探路,综合法书写,但要注意有
关定理、性质、结论题设条件的正确运用.
[变式训练 1] 已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-1
2x2+1
3x3,函数 y=f(x)
与函数 y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.
(1)求 a,b 的值;
(2)证明:f(x)≤g(x). 【导学号:62172205】
[解] (1)f′(x)= 1
1+x
,g′(x)=b-x+x2,
由题意得Error!
解得 a=0,b=1.
(2)证明:令 h(x)=f(x)-g(x)
=ln(x+1)-1
3x3+1
2x2-x(x>-1).
h′(x)= 1
x+1
-x2+x-1=-x3
x+1.
所以 h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.
h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即 f(x)≤g(x).
分析法
已知 a>0,求证: a2+ 1
a2
- 2≥a+1
a
-2.
[证明] 要证 a2+ 1
a2
- 2≥a+1
a
-2,
只需要证 a2+ 1
a2
+2≥a+1
a
+ 2.
因为 a>0,故只需要证 ( a2+ 1
a2+2)2≥(a+1
a
+ 2)2,
即 a2+ 1
a2
+4 a2+ 1
a2
+4≥a2+2+ 1
a2
+2 2(a+1
a)+2,
从而只需要证 2 a2+ 1
a2
≥ 2(a+1
a),
只需要证 4(a2+ 1
a2)≥2(a2+2+ 1
a2),
即 a2+ 1
a2
≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
[规律方法] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程
中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值
的等式或不等式,常考虑用分析法.
2.分析法的特点和思路是“执果索因”,逐步寻找结论成立的充分条件,即
从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经
证明成立的结论等,通常采用“欲证—只需证—已知”的格式,在表达中要注意
叙述形式的规范性.
[变式训练 2] 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对
边分别为 a,b,c.
求证: 1
a+b
+ 1
b+c
= 3
a+b+c.
[证明] 要证 1
a+b
+ 1
b+c
= 3
a+b+c
,
即证a+b+c
a+b
+a+b+c
b+c
=3,也就是 c
a+b
+ a
b+c
=1,
只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
需证 c2+a2=ac+b2,
又△ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60°,
由余弦定理,得
b2=c2+a2-2accos 60°,
即 b2=c2+a2-ac,故 c2+a2=ac+b2 成立.
于是原等式成立.
反证法
设{an}是公比为 q 的等比数列.
(1)推导{an}的前 n 项和公式;
(2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
[解] (1)设{an}的前 n 项和为 Sn,
当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴Sn=a1(1-qn)
1-q
,∴Sn=Error!
(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
a 2k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
a21q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.
∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,
∴q=1,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
[规律方法] 用反证法证明问题的步骤:
(1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面成立;(否定结论)
(2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾,矛盾可
以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)
(3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命
题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
[变式训练 3] 已知 a≥-1,求证三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x
+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根. 【导学号:62172206】
[证明] 假设三个方程都没有实数根,则
Error!⇒Error!
∴-3
2ab>b2;
③1
a<1
b
; ④b
a>a
b.
② [a2-ab=a(a-b),
∵a0,
∴a2>ab.
又 ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,
即 a2>ab>b2.]
4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,
求证 b2-ac< 3a”索的因应是________.(填序号)
①a-b>0; ②a-c>0;
③(a-b)(a-c)>0; ④(a-b)(a-c)<0.
③ [由题意知 b2-ac< 3a⇐b2-ac<3a2
⇐(a+c)2-ac<3a2
⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<0
⇐-2a2+ac+c2<0
⇐2a2-ac-c2>0
⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.]
5 . 用 反 证 法 证 明 “ 若 x2 - 1 = 0 , 则 x = - 1 或 x = 1” 时 , 应 假 设
__________.
x≠-1 且 x≠1 [“x=-1 或 x=1”的否定是“x≠-1 且 x≠1”.]
6 . 设 a>b>0 , m = a- b, n = a-b, 则 m , n 的 大 小 关 系 是
__________.
m a⇐a0,显然成立.]
7.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使b
a
+a
b
≥2 成立的条件的个数是__________.
3 [要使b
a
+a
b
≥2,只要b
a>0,且a
b>0,即 a,b 不为 0 且同号即可,故有 3
个.]
8.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x 1+
x2>0,则 f(x1)+f(x2)____________0.(填“>”“<”或“=”) 【导学号:62172208】
< [∵x1+x2>0,∴x1>-x2,
又 f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上单调递减,
故 f(x)在 R 上单调递减,
故 f(x1)0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.
[证明] 要证明 2a3-b3≥2ab2-a2b 成立,
只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0,
即 2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,
即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.
∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0 成立,
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
12.设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和.
(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;
(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? 【导学号:62172209】
[解] (1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则 S22=S1S3,
即 a21(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),
因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,
即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾,
所以数列{Sn}不是等比数列.
(2)当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;
当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3,
即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),
得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾.
综上,当 q=1 时,数列{Sn}是等差数列;
当 q≠1 时,数列{Sn}不是等差数列.
B 组 能力提升
(建议用时:15 分钟)
1.设 x,y,z>0,则三个数y
x
+y
z
,z
x
+z
y
,x
z
+x
y____________.(填序号)
①都大于 2; ②至少有一个大于 2;
③至少有一个不小于 2; ④至少有一个不大于 2.
③ [因为 x>0,y>0,z>0,
所以(y
x
+y
z )+(z
x
+z
y )+(x
z
+x
y )=(y
x
+x
y )+(y
z
+z
y )+(x
z
+z
x )≥6,
当且仅当 x=y=z 时等号成立,则三个数中至少有一个不小于 2.]
2.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦
值,则下列说法正确的是____________.(填序号)
①△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形;
②△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形;
③△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形;
④△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形;
④ [由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐
角三角形,假设△A2B2C2 是锐角三角形.
由Error!
得Error!
那么,A2+B2+C2=π
2
,这与三角形内角和为 180°相矛盾.
所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形.
所以△A2B2C2 是钝角三角形.]
3.已知数列{an}满足 a1=1
2
,且 an+1= an
3an+1(n∈N+).
(1)证明数列{ 1
an }是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn=anan+1(n∈N+),数列{bn}的前 n 项和记为 Tn,证明:Tn<1
6.
[解] (1)由已知可得,当 n∈N+时,an+1= an
3an+1.
两边取倒数得, 1
an+1
=3an+1
an
= 1
an
+3,
即 1
an+1
- 1
an
=3,
所以数列{ 1
an }是首项为 1
a1
=2,公差为 3 的等差数列,
其通项公式为 1
an
= 1
a1
+(n-1)×3=2+(n-1)×3=3n-1.
所以数列{an}的通项公式为 an= 1
3n-1.
(2)证明:由(1)知 an= 1
3n-1
,
故 bn=anan+1= 1
3n-1
× 1
3(n+1)-1
= 1
(3n-1)(3n+2)
=1
3( 1
3n-1
- 1
3n+2),
故 Tn=b1+b2+…+bn
=1
3
×(1
2
-1
5)+1
3
×(1
5
-1
8)+…+1
3
×( 1
3n-1
- 1
3n+2)
=1
3(1
2
- 1
3n+2)=1
6
-1
3
× 1
3n+2.
因为 1
3n+2>0,所以 Tn<1
6.
4.若 f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a-2),使函数 h(x)= 1
x+2
是区间[a,b]上的“四维
光军”函数?若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.
[解] (1)由题设得 g(x)=1
2(x-1)2+1,其图象的对称轴为 x=1,区间[1,b]
在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.
由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,
即 1
2b2-b+3
2
=b,解得 b=1 或 b=3.
因为 b>1,所以 b=3.
(2)假设函数 h(x)= 1
x+2
在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,
因为 h(x)= 1
x+2
在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以有Error!即Error!
解得 a=b,这与已知矛盾.故不存在.