人教版数学选修4-5教案全册 52页

选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 01 课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远 者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中 息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上 方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖 的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题， 需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式 等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不 等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从 引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有 b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0) 克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为 a b ，加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ma mb   ，只要证 ma mb   > a b 即可。 怎么证呢? 二、不等式的基本性质： 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0 baba 0 baba 0 baba 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质： ①、如果 a>b，那么 bb。(对称性) ②、如果 a>b，且 b>c，那么 a>c，即 a>b，b>c a>c。 ③、如果 a>b，那么 a+c>b+c，即 a>b a+c>b+c。 推论：如果 a>b，且 c>d，那么 a+c>b+d．即 a>b， c>d  a+c>b+d． ④、如果 a>b，且 c>0，那么 ac>bc；如果 a>b，且 c<0，那么 acb >0，那么 nn ba  (nN，且 n>1) ⑥、如果 a>b >0，那么 nn ba  (nN，且 n>1)。 三、典型例题： 例 1、已知 a>b，cb-d． 例 2 已知 a>b>0，c<0，求证： b c a c  。 四、练习： 五、作业： 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 02 课时 含有绝对值的不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础 上，本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下 面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号， 化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即          0 00 0 xx x xx x ，如果 ，如果 ，如果 。 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第 一 种 类 型 。 设 a 为 正 数 。 根 据 绝 对 值 的 意 义 ， 不 等 式 ax  的 解 集 是 }|{ axax  ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a的点的集合是开区间（－a，a），如 图所示。 a 图 1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设 a为正数。根据绝对值的意义，不等式 ax  的解集是 { |x ax  或 ax  } 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 ),(),,(  aa 的并 集。如图 1-2 所示。 – a a 图 1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 二、典型例题： 例 1、解不等式 213  xx 。 例 2、解不等式 xx  213 。 方法 1：分域讨论 ★方法 2：依题意， xx  213 或 213  xx ，（为什么可以这么解？） 例 3、解不等式 52312  xx 。 例 4、解不等式 512  xx 。 解 本题可以按照例 3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点 x 到 1，2的距离的和大于等于 5。因为 1，2的距离为 1，所以 x在 2的右边，与 2的距离大于等于 2 （＝（5－1） )2 ；或者 x在 1的左边，与 1的距离大于等于 2。这就是说， 4x 或 .1x 例 5、不等式 31  xx > a，对一切实数 x都成立，求实数 a的取值范围。 三、小结： 四、练习：解不等式 1、 .1122 x 2、 01314  x 3、 423  xx . 4、 xx  21 . 5、 1422  xx 6、 212  xx . 7、 42  xx 8、 .631  xx 9、 21  xx 10、 .24  xx 五、作业： 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 03 课时 含有绝对值的不等式的证明 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关 于绝对值的和、差、积、商的性质： （1） baba  （2） baba  （3） baba  （4） )0(  b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质 baba  和 )0(  b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出； 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明 baba  对于任意实数都 成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设 a为实数， a和 a 哪个大？ 显然 aa  ，当且仅当 0a 时等号成立（即在 0a 时，等号成立。在 0a 时，等号不成立）。 同样， .aa  当且仅当 0a 时，等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 aa  、 aa  及绝对值的和的性质。 二、典型例题： 例 1、证明 （1） baba  ， （2） baba  。 证明（1）如果 ,0 ba 那么 .baba  所以 .bababa  如果 ,0 ba 那么 ).( baba  所以 babababa  )()( （2）根据（1）的结果，有 bbabba  ，就是， abba  。 所以， baba  。 例 2、证明 bababa  。 例 3、证明 cbcaba  。 思考：如何利用数轴给出例 3的几何解释？ （设 A，B，C 为数轴上的 3 个点，分别表示数 a，b，c，则线段 .CBACAB  当且仅当 C 在 A，B之间时，等号成立。这就是上面的例 3。特别的，取 c＝0（即 C为原点），就得到例 2的后 半部分。） 探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式 baba  的几何解释？ 含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例 1，例 2和例 3的 结果来证明。 例 4、已知 2 , 2 cbycax  ，求证 .)()( cbayx  证明 )()()()( byaxbayx  byax  （1） 2 , 2 cbycax  ， ∴ cccbyax  22 （2） 由（1），（2）得： cbayx  )()( 例 5、已知 . 6 , 4 ayax  求证： ayx  32 。 证明 6 , 4 ayax  ，∴ 2 3, 2 2 ayax  ， 由例 1及上式， aaayxyx  22 3232 。 注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号 方向相同的不等式。 三、小结： 四、练习： 1、已知 . 2 , 2 cbBcaA  求证： cbaBA  )()( 。 2、已知 . 6 , 4 cbycax  求证： cbayx  3232 。 五、作业： 链接：不等式的图形 借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和 绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速 而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效 地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。 1．解不等式 121  xxx 。 题意即是在数轴上找出到 11  与 22  的距离之和不大于到点 13  的距离的所有流动点 x。 首先在数轴上找到点 11  ， 22  ， 13  （如图）。 3 1x 1 2 2x x -1 0 1 2 3 从图上判断，在 1 与 2 之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到 1 与 2 的距离和正 好是 1，而到 3 的距离是 )21(1)1(2  xxx 。 现在让流动点 x由点 1 向左移动，这样它到点 3 的距离变，而到点 1 与 2 的距离增大，显然， 合乎要求的点只能是介于 13  与 11  之间的某一个点 1x 。 由 ),1()2()1( 111  xxx 可得 . 3 2 1 x 再让流动点 x由点 2 向右移动，虽然这种点到 1 与 2 的距离的和及到 3 的距离和都在增加， 但两相比较，到 1 与 2 的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点 2x 而止。 由 ),1()2()1( 222  xxx 可得 .42 x 从而不等式的解为 .4 3 2  x 2．画出不等式 1 yx 的图形，并指出其解的范围。 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于： 0x ， 0y ， 1 yx . 其图形是由第一象限中直线 xy  1 下方的点所组成。 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 1 yx 的图形是以原点 O为中心，四个等点分别在坐标轴上 的正方形。不等式解的范围一目了然。 探究：利用不等式的图形解不等式 1. 111  xx ; 2． .12  yx A 组 1．解下列不等式： （1） 2 132  x （2） 1 743  x （3） 142  xx （4） xxx 2 122  2．解不等式： （1） 112  xx （2） 1 1 2    x x 3．解不等式： （1） 321  xx （2） .0312  xx 4．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式 34  xx < a有解，a要满足什么条件？ 5．已知 . 3 , 3 , 3 scCsbBsaA  求证： （1） scbaCBA  )()( ；（2） .)() scbaCBA  6．已知 ., ayax  求证： .axy  7．已知 .0,  cychx 求证： .h y x  B 组 *****8．求证 . 111 b b a a ba ba       *****9．已知 .1,1  ba 求证： .1 1    ab ba 10．若  , 为任意实数， c为正数，求证： .)11()1( 222  c c  （  2222  ，而 2 1 1 22 22   c c c c   ） 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 03 课时 指数不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 二、典型例题： 例 1、解不等式 )1(332 ) 2 1(2 2   xxx 解：原不等式可化为： )1(332 22 2   xxx ∵底数 2>1 ∴ )1(3322  xxx 整理得： 062  xx 解之，不等式的解集为{x|-32或 3 2log3x ∴不等式的解集为{x|x>2或 3 2log3x } 例 3、解不等式： )10(,422   aaaa xxx 且 (当 a>1时 ),4()1,( x 当 01时有 2 2 1 23 41 2 1 )12(234 034 012 2 2                     x x x x xxx xx x （其实中间一个不等式可省） 当 01时不等式的解集为        2 2 1 xx ； 当 01时有 0a ∴原不等式的解集为{x|01}或{x|x>a, 01时原不等式化为： 2log 2 9)(log 2  xx aa ∴ 0)1log2)(4(log  xx aa ∴ 2 1log4log  xx aa 或 ∴ axax  04或 ∴原不等式的解集为 }10,|{ 4  aaxax 或 }1,0|{ 4  aaxaxx 或 三、小结： 四、练习： 解下列不等式 1． )102(log)43(log 3 1 2 3 1  xxx (-21 ax a x  110 或 ， 若 01时 mx  221 ∴ mx 2log 2 10  当 m=1时 0)12( 22 x ∴xφ 当 02或 x<1 当 1cot  即= 4  时 xφ 当 )1,0(cot  即( 4  , 2  )时 0232  xx ∴11时 B=[1,a] 当 a>2时 AB 当 1≤a≤2时 AB 当 a≤1时 A∩B仅含一个元素 例 6、方程 )0,10(,0 2 1cos 2 1sin 2  xaaxxa 有相异两实根，求 a的取值范 围。 解：原不等式可化为 01coscos2 2  xxa ，令： xt cos 则 ]1,1[t 设 12)( 2  tattf 又∵a>0                           1 4 1 4 1 1 0 8 1 1 4 11 022)1( 02)1( 081 a aa a a a a af af a 或 三、小结： 四、练习： 五、作业： 1． 01log)1(log 2 1 2 2 1  x a ax                xa xaaa xaa aa aa 时 时或当 时或当 1, ) 2 1() 2 1(110 ) 2 1() 2 1(011 1 1 2． }13|{  xxxA }0,|1||{  aaxxB 若  BA 求 a的取值范围 (a≥1) 3． )0(,3 22  aaxxa )0 2 (  xa 4． )0(,21log  axax xa )01,10( 2222   axaxaaxaa 或时当时当 5．当 a在什么范围内方程： 01log 4 1)4(log 2 22 2  axax 有两个 不同的负根        )24,4() 4 1,0( 6．若方程 05)2(2  mxmx 的两根都对于 2，求实数 m的范围。   4,5 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 07 课时 不等式的证明方法之一：比较法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 0 baba 0 baba 0 baba 二、典型例题： 例 1、设 ba  ，求证： )(23 22 babba  。 例 2、若实数 1x ，求证： .)1()1(3 2242 xxxx  证明：采用差值比较法： 2242 )1()1(3 xxxx  = 324242 2221333 xxxxxxx  = )1(2 34  xxx = )1()1(2 22  xxx = ]. 4 3) 2 1[()1(2 22  xx ,0 4 3) 2 1(,0)1(,1 22  xxx 且从而 ∴ ,0] 4 3) 2 1[()1(2 22  xx ∴ .)1()1(3 2242 xxxx  讨论：若题设中去掉 1x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例 3、已知 ,,  Rba 求证 .abba baba  本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 ba, 对称，不妨设 .0 ba 0)( 0    bababbabba babababa ba ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设 ,0 ba ,0,1  ba b a .1)(  ba ab ba b a ba ba 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差 （或作商）、变形、判断符号。 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时 间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度 n行走。如果 nm  ，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。 分析：设从出发地点至指定地点的路程是 S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 21 , tt 。 要回答题目中的问题，只要比较 21 , tt 的大小就可以了。 解：设从出发地点至指定地点的路程是 S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 21 , tt ， 根据题意有 Sntmt  22 11 ， 222 t n S m S  ，可得 nm St   2 1 ， mn nmSt 2 )( 2   ， 从而 mn nmS nm Stt 2 )(2 21     mnnm nmmnS )(2 ])(4[ 2    mnnm nmS )(2 )( 2    ， 其中 nmS ,, 都是正数，且 nm  。于是 021  tt ，即 21 tt  。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论：如果 nm  ，甲、乙两人谁先到达指定地点？ 例 5、设 .1,0,12)( 2  qppqxxf 求证；对任意实数 ba, ，恒有 ).()()( qbpafbqfapf  （1） 证明 考虑（1）式两边的差。 ).()()( qbpafbqfapf  ＝ ]1)(2[)12()12( 222  qbpabqap ＝ .14)1(2)1(2 22  qppqabbqqapp （2） ,0,1  pqqp pqabpqbpqa 422)2( 22  .0)(2 2  bapq 即（1）成立。 三、小结： 四、练习： 五、作业： 1．比较下面各题中两个代数式值的大小： （1） 2x 与 12  xx ；（2） 12  xx 与 2)1( x . 2．已知 .1a 求证：（1） ;122  aa （2） .1 1 2 2  a a 3．若 0 cba ，求证 .)( 3 cba cba abccba   4．比较 a4-b4与 4a3(a-b)的大小． 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 0 3 2 3 3 22                 bba (当且仅当 d＝b时取等号) ∴a4-b4 4a3(a-b)。 5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小． 6．已知 x≠0，比较(x2+1)2与 x4+x2+1的大小． 7．如果 x>0，比较  21x 与  21x 的大小． 8．已知 a≠0，比较   1212 22  aaaa 与   11 22  aaaa 的大小． 9．设 x 1，比较 x3与 x2-x+1的大小． 说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形” 的常用方法。 阅读材料：琴生不等式 例 5中的不等式 )()()( qbpafbqfapf  有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸 函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。 琴生在 1905年给出了一个定义： 设函数 )(xf 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 21 , xx ，都有 . 2 )()( 2 2121 xfxfxxf         （1） 则称 )(xf 为[a,b]上的凸函数。 若把（1）式的不等号反向，则称这样的 )(xf 为[a,b]上的凹函数。 凸函数的几何意义是：过 )(xfy  曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲 线上。 其推广形式是：若函数 )(xf 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 nxxx ,, 21 ，都有 . )()()( 2121 n xfxfxf n xxx f nn          （2） 当且仅当 nxxx  21 时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设 )(xf 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 21 , xx ， 有 ),()()( 2121 qxpxfxqfxpf  其中 1,,   qpRqp ，则称 )(xf 是区间 [a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 ),()()( 2121 qxpxfxqfxpf  则称 )(xf 是[a,b]上的凹函数。 其推广形式 ，设 1,,,, 2121   nn qqqRqqq  ， )(xf 是[a,b]上的凸函数，则对任 意 ],,[,,, 21 baxxx n  有 )()()()( 22112211 nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf   ， 当且仅当 nxxx  21 时等号成立。 若 )(xf 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于 一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 08 课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者 在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路 方法的特点。 所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等 式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是 “由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐 步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。 以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的， ABBA 222  是常常要用到的一个重要不等式。 二、典型例题： 例 1、 ba, 都是正数。求证： .2 a b b a 证明：由重要不等式 ABBA 222  可得 .22  a b b a a b b a 本例的证明是综合法。 例 2、设 0,0  ba ，求证 .2233 abbaba  证法一 分析法 要证 2233 abbaba  成立. 只需证 )())(( 22 baabbababa  成立， 又因 0 ba ， 只需证 abbaba  22 成立， 又需证 02 22  baba 成立， 即需证 0)( 2  ba 成立. 而 0)( 2  ba 显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法 abbababababa  22222 020)( 注意到 0,0  ba ，即 0 ba ， 由上式即得 )())(( 22 baabbababa  ， 从而 2233 abbaba  成立。 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例 3、已知 a，b，m都是正数，并且 .ba  求证： . b a mb ma    （1） 证法一 要证（1），只需证 )()( mbamab  （2） 要证（2），只需证 ambm  （3） 要证（3），只需证 ab  （4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 mab , 是正数，所以 ambm  两边同时加上 ab得 )()( mbamab  两边同时除以正数 )( mbb  得（1）。 读一读：如果用 QP 或 PQ 表示命题 P可以推出命题 Q（命题 Q可以由命题 P推出）， 那么采用分析法的证法一就是 （1） ).4()3()2(  而采用综合法的证法二就是 ).1()2()3()4(  如果命题 P可以推出命题 Q，命题 Q也可以推出命题 P，即同时有 PQQP  , ，那么我 们就说命题 P与命题 Q等价，并记为 .QP 在例 2中，由于 mbmb ,, 都是正数，实际上 ).4()3()2()1(  例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的 水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 L，则 周长为 L的圆的半径为 2 L ，截面积为 2 2         L ；周长为 L的正方形为 4 L ，截面积为 2 4       L 。所以 本题只需证明 22 42            LL   。 证明：设截面的周长为 L，则截面是圆的水管的截面面积为 2 2         L ，截面是正方形的水管的 截面面积为 2 4       L 。只需证明： 22 42            LL   。 为了证明上式成立，只需证明 164 2 2 2 LL    。 两边同乘以正数 2 4 L ，得： 4 11   。 因此，只需证明 4 。 上式显然成立，所以 22 42            LL   。 这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的 水管比横截面是正方形的水管流量大。 例 5、证明： cabcabcba  222 。 证法一 因为 abba 222  （2） bccb 222  （3） caac 222  （4） 所以三式相加得 )(2)(2 222 cabcabcba  （5） 两边同时除以 2即得（1）。 证法二 因为 ,0)( 2 1)( 2 1)( 2 1)( 222222  accbbacabcabcba 所以（1）成立。 例 6、证明： .)())(( 22222 bdacdcba  （1） 证明 （1） 0)())(( 22222  bdacdcba （2）  0)2( 222222222222  dbabcdcadbdacbca （3）  022222  abcddacb （4）  0)( 2  adbc （5） （5）显然成立。因此（1）成立。 例 7、已知 cba ,, 都是正数，求证 .3333 abccba  并指出等号在什么时候成立？ 分析：本题可以考虑利用因式分解公式 ))((3 222333 cabcabcbacbaabccba  着手。 证明： abccba 3333  = ))(( 222 cabcabcbacba  = ].)()())[(( 2 1 222 accbbacba  由于 cba ,, 都是正数，所以 .0 cba 而 0)()()( 222  accbba ， 可知 03333  abccba 即 abccba 3333  （等号在 cba  时成立） 探究：如果将不等式 abccba 3333  中的 333 ,, cba 分别用 cba ,, 来代替，并在两边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： 27)1)(1)(1(  accbba ，其中 cba ,, 是互不相等的正数，且 1abc . 三、小结： 解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或 代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都 和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。 四、练习： 1、已知 ,0x 求证： .21  x x 2、已知 ,,0,0 yxyx  求证 .411 yxyx   3、已知 ,0 ba 求证 .baba  4、已知 .0,0  ba 求证： （1） .4))(( 11   baba （2） .8))()(( 333322 babababa  5、已知 dcba ,,, 都是正数。求证： （1） ; 2 cdabdcba   （2） . 4 4 abcddcba   6、已知 cba ,, 都是互不相等的正数，求证 .9))(( abccabcabcba  五、作业： 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 09 课时 不等式的证明方法之三：反证法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻 辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用 间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假， 或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接 证明命题“若 p则 q”，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理， 而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。 二、典型例题： 例 1、已知 0 ba ，求证： nn ba  （ Nn 且 1n ） 例 1、设 233  ba ，求证 .2 ba 证明：假设 2 ba ，则有 ba  2 ，从而 .2)1(68126 ,6128 2233 323   bbbba bbba 因为 22)1(6 2 b ，所以 233  ba ，这与题设条件 233  ba 矛盾，所以，原不 等式 2 ba 成立。 例 2、设二次函数 qpxxxf  2)( ，求证： )3(,)2(,)1( fff 中至少有一个不小于 2 1 . 证明：假设 )3(,)2(,)1( fff 都小于 2 1 ，则 .2)3()2(2)1(  fff （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 2)39()24(2)1( )3()2(2)1()3()2(2)1(   qpqpqp ffffff （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用 反证法进行。 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果 与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述 两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 例 3、设 0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于 4 1 证：设(1  a)b > 4 1 , (1  b)c > 4 1 , (1  c)a > 4 1 , 则三式相乘：ab < (1  a)b•(1  b)c•(1  c)a < 64 1 ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 4 1 2 )1()1(0 2       aaaa 同理： 4 1)1(  bb , 4 1)1(  cc 以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤ 64 1 与①矛盾 ∴原式成立 例 4、已知 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若 a = 0，则与 abc > 0矛盾， ∴必有 a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 三、小结： 四、练习： 1、利用反证法证明：若已知 a，b，m都是正数，并且 ba  ，则 . b a mb ma    2、设 0 < a, b, c < 2，求证：(2  a)c, (2  b)a, (2  c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0，且 x + y >2，则 x y1 和 y x1 中至少有一个小于 2。 提示：反设 x y1 ≥2， y x1 ≥2 ∵x, y > 0，可得 x + y ≤2 与 x + y >2矛盾。 五、作业： 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 10 课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后， 再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方 法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题： 例 1、若 n是自然数，求证 .21 3 1 2 1 1 1 2222  n  证明： .,,4,3,2,1 1 1 )1( 11 2 nk kkkkk        nnn       )1( 1 32 1 21 1 1 11 3 1 2 1 1 1 2222  = )1 1 1() 3 1 2 1() 2 1 1 1( 1 1 nn     = .212  n 注意：实际上，我们在证明 21 3 1 2 1 1 1 2222  n  的过程中，已经得到一个更强的结论 nn 121 3 1 2 1 1 1 2222   ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 例 2、求证： .3 321 1 321 1 21 1 1 11        n  证明：由 , 2 1 2221 1 321 1 1    kk  （ k是大于 2的自然数） 得 n        321 1 321 1 21 1 1 11 .3 2 13 2 11 2 11 1 2 1 2 1 2 1 2 111 1132      n n n 例 3、若 a, b, c, dR+，求证： 21          cad d bdc c acb b dba a 证：记 m = cad d bdc c acb b dba a        ∵a, b, c, dR+ ∴ 1         cbad d badc c acba b dcba am 2         cd d dc c ba b ba am ∴1 < m < 2 即原式成立。 例 4、当 n > 2 时，求证： 1)1(log)1(log  nn nn 证：∵n > 2 ∴ 0)1(log,0)1(log  nn nn ∴ 222 2 )1(log 2 )1(log)1(log )1(log)1(log              nnn nn nnn nn 1 2 log 22        nn ∴n > 2时, 1)1(log)1(log  nn nn 三、小结： 四、练习： 1、设 n为大于 1的自然数，求证 . 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1       nnnn  2、设 n为自然数，求证 . ! 1)122()52)(32)(12( nn n nnn     五、作业： A 组 1、对于任何实数 x，求证： （1） 4 312  xx ；（2） . 4 111 2  xx 2、设 ba  ，求证： （1） )(23 22 babba  ；（2） ).(46 224224 baabbbaa  3、证明不等式 3344 abbaba  . 4、若 cba ,, 都是正数，求证： .)())(( 2222333 cbacbacba  5、若 ,0 cba 求证 .222 bacacbcba cbacba  6、如果 ba, 同号，且均不为 0. 求证： 2 a b b a ，并指出等号成立的条件. 7、设 cba ,, 是互不相等的正数，求证： .3     c cba b bac a acb 8、已知三个正数 cba ,, 的和是 1，求证这三个正数的倒数的和必不小于 9. 9、若 2 0   ，则 2cossin1   . 10、设  Ryx, ，且 ,1 yx 求证： .9)11)(11(  yx 11、已知 0x ，求证：（1） 1 1 1 2 2    x x ；（2） 2 2 3 2 2    x x . 12、设 ba, 是互不相等的正数，求证： .81122                    bab a a b b a a b 13、已知 ba, 都是正数，求证： （1） ;9)1)(1( 22 abbaba  （2） .9))(( 222222 babaabbaba  14、已知 ,1,1 222222  zyxcba 求证： .1 czbyax 15、已知 ,1,1 2222  yxba 求证： .1 byax 16、已知 dcba ,,, 都是正数，且有 2222 , dcybax  求证： ))(( bcadbdacxy  17、已知 naaaa ,,, 321 都是正数，且 1321  naaaa  ， 求证： n naaaa 2)1()1)(1)(1( 321   18、设 ABC 的三条边为 ,,, cba 求证 )(2222 cabcabcbacabcab  . 19、已知 yxba ,,, 都是正数，设 .,,1 aybxvbyaxuba  求证： .xyuv  20、设 n是自然数，利用放缩法证明不等式 .2 3 1 3 1 2 1 1 1       nnnn  21、若 n是大于 1的自然数，试证 .111 3 1 2 1 1 1 2 1 222 nnn     B 组 22、已知 zyxcba ,,,,, 都是正数，且 , c z b y a x  求证： . c z cba zyx a x     23、设 0 ba ，试用反证法证明 bxa bxa   sin sin 不能介于 ba ba   与 ba ba   之间。 24、若 n是自然数，求证 . 4 71 3 1 2 1 1 1 2222  n  链接：放缩法与贝努利不等式 在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式 edcba  里 ed和 都是正数，可以舍掉 ed和 ，从而得到一个明显成立的不等式 cbaedcba  . 例如，对于任何 0x 和任何正整数 n，由牛顿二项式定理可得 . 321 )2)(1( 21 )1(1)1( 22 nn xxnnnxnnnxx         舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： nxx n  1)1( . 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当 n是 正整数的时候成立，而且当 n是任何大于 1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。 在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设 1x ，则在 1 或 0 时， xx   1)1( ，在 10  时， .1)1( xx   阅读材料：贝努利家族小史 在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli）家族（瑞士）， 这个家族中的三代人中共出现了 8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。 其中，又以第一代的雅各布•贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8）、约翰•贝努利（Johann Bernoulli， 1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰•贝努利的儿 子）最为著名。 在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的 “贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解 析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利 数”、“贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔•贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中， 取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。 贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因： （1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的 8位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父 辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这一 过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神的 影响也是不容忽视的重要因素。 （2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术 交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布•贝努利、约翰•贝努利与他们那个时代的大数学家、 微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔•贝努利与当时欧洲数学界的中心人物——欧拉的频繁通信交 流成为数学史上的美谈。 （3）继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利家 族成员从事研究的又一个共同特点。贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期： 一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接纳新 思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。 亲爱的同学们，你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢？ 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 11 课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等 著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。 1、什么是柯西不等式： 定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 dcba ,,, 均为实数，则 22222 )())(( bdacdcba  ， 其中等号当且仅当 bcad  时成立。 证明： 几何意义：设 ， 为平面上以原点 O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（ ba, ）， B（ dc, ），那么它们的数量积为 bdac   ， 而 22|| ba  ， 22|| dc  ， 所以柯西不等式的几何意义就是： ||||||   ， 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ，  为平面上的两个向量，则 ||||||   ， 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 3、定理 3：（三角形不等式）设 332211 ,,,,, yxyxyx 为任意实数，则： 2 31 2 31 2 32 2 32 2 21 2 21 )()()()()()( yyxxyyxxyyxx  分析： 思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？ 4、定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设n为大于 1的自然数， ii ba , （ i 1，2，…，n）为 任意实数，则： 2 11 2 1 2 )(   n i ii n i i n i i baba ，其中等号当且仅当 n n a b a b a b   2 2 1 1 时成立（当 0ia 时，约定 0ib ， i 1，2，…， n）。 证明：构造二次函数： 22 22 2 11 )()()()( nn bxabxabxaxf   即构造了一个二次函数：    n i i n i ii n i i bxbaxaxf 1 2 1 2 1 2 )(2)()( 由于对任意实数 x， 0)( xf 恒成立，则其 0 ， 即： 0))((4)(4 1 2 1 22 1    n i i n i i n i ii baba ， 即： ))(()( 1 2 1 22 1    n i i n i i n i ii baba ， 等号当且仅当 02211  nn bxabxabxa  ， 即等号当且仅当 n n a b a b a b   2 2 1 1 时成立（当 0ia 时，约定 0ib ， i 1，2，…， n）。 如果 ia （ ni 1 ）全为 0，结论显然成立。 柯西不等式有两个很好的变式： 变式 1 设 ),,,2,1(0, nibiRai      i i n i i i b a b a 2 1 2 )( ，等号成立当且仅当 )1( niab ii   变式 2 设 ai，bi同号且不为 0（i=1，2，…，n），则：     ii i n i i i ba a b a 2 1 )( ，等号成立当且仅当 nbbb  21 。 二、典型例题： 例 1、已知 122  ba ， 122  yx ，求证： 1||  byax 。 例 2、设 Rdcba ,,, ，求证： 222222 )()( dbcadcba  。 例 3、设  ,, 为平面上的向量，则 ||||||   。 例 4、已知 cba ,, 均为正数，且 1 cba ，求证： 9111  cba 。 方法 1： 方法 2：（应用柯西不等式） 例 5：已知 1a ， 2a ，…， na 为实数，求证： 2 11 2 )(1    n i i n i i a n a 。 分析： 推论：在 n个实数 1a ， 2a ，…， na 的和为定值为 S时，它们的平方和不小于 21 S n ，当且仅当 naaa  21 时，平方和取最小值 21 S n 。 三、小结： 四、练习： 1、设 x1，x2，…，xn>0, 则 11 1 1        n x x x n i in i i i 2、设  Rxi （i=1，2，…，n）且 1 11    n i i i x x 求证:    nji ji n i i xxx 11 2 ． 3、设 a为实常数,试求函数 )cos(sin)( xaxxf  (x∈R)的最大值． 4、求函数 xbxaxf cossin)(  在 ) 2 ,0(  上的最大值,其中 a，b为正常数． 五、作业： 1、已知： 122  ba ， 222  nm ,证明： 22  bnam 。 提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。 2、若 Rzyx ,, ，且 zyx  = a， 222 zyx  = 2 2 1 a )0( a ，求证： zyx ,, 都是不大 于 a 3 2 的非负实数。 证明：由 yxaz  代入 222 zyx  = 2 2 1 a 可得 0 2 1)()(22 222  ayaxyax ∵ Rx ∴△≥0 即 0 2 1)(8)(4 2222      ayayya 化简可得 ： 023 2  ayy ∵ 0a ∴ ay 3 20  同理可得： ax 3 20  ， az 3 20  由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能 灵活运用，就能收到事半功倍的效果。 3、设 a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。 4、设 x，y，z为正实数，且 x+y+z=10，求 z 9 y 1 x 4  的最小值。 4 5 6 x yz D F E A B C P 5、设 x，y，zR，求 222 zy2x zyx2   的最大值。 6、ΔABC之三边长为 4，5，6，P为三角形內部一点 P，P到三边的距离分別为 x，y，z，求 x2+y2+z2的最小值。 解：s= 2 15 2 654   ABC面积= 4 715 2 3 2 5 2 7 2 15))()((  csbsass 且ABC=PAB+PBC+PAC  )654( 2 1 4 715 zyx  4x+5y+6z= 2 715 由柯西不等式 (4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)  4 7152  (x2+y2+z2)77 x2+y2+z2 44 225 7、设三个正实数 a,b,c满足 )(2)( 4442222 cbacba  ，求证： a，b，c一定是某三角 形的三边长。 8、求证 )3( nn 个正实数 a1，a2，…，an满足 ))(1()( 44 2 4 1 222 2 2 1 nn aaanaaa   9、已知  Rzyx ,, ,且 1 2   x x 求证: 1 222 222       z z y y x x 。 10、设  Rzyx ,, , 求证: 122 2 22 2 22 2       xyyx z zxxz y yzzy x 。 11、设  Rzyx ,, ,且 x+2y+3z=36,求 zyx 321  的最小值． 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 12 课时 几个著名的不等式之二：排序不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、问题：若某网吧的 3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45min，25 min和 30 min， 每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才 能使经济损失降到最小？ 分析： 二、排序不等式： 1、基本概念： 一般地，设有两组数： 1a ≤ 2a ≤ 3a ， 1b ≤ 2b ≤ 3b ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利 用排列组合的知识，我们知道共有 6个不同的和数，它们是： 对 应 关 系 和 备 注 （ 1a ， 2a ， 3a ） （ 1b ， 2b ， 3b ） 3322111 bababaS  同序和 （ 1a ， 2a ， 3a ） （ 1b ， 3b ， 2b ） 2332112 bababaS  乱序和 （ 1a ， 2a ， 3a ） （ 2b ， 1b ， 3b ） 3312213 bababaS  乱序和 （ 1a ， 2a ， 3a ） （ 2b ， 3b ， 1b ） 1332214 bababaS  乱序和 （ 1a ， 2a ， 3a ） （ 3b ， 1b ， 2b ） 2312315 bababaS  乱序和 （ 1a ， 2a ， 3a ） （ 3b ， 2b ， 1b ） 1322316 bababaS  反序和 根据上面的猜想，在这 6个不同的和数中，应有结论： 同序和 332211 bababa  最大，反序和 132231 bababa  最小。 2、对引例的验证： 对 应 关 系 和 备 注 （1，2，3） （25，30，45） 2203322111  bababaS 同序和 （1，2，3） （25，45，30） 2052332112  bababaS 乱序和 （1，2，3） （30，25，45） 2153312213  bababaS 乱序和 （1，2，3） （30，45，25） 1951332214  bababaS 乱序和 （1，2，3） （45，25，30） 1852312315  bababaS 乱序和 （1，2，3） （45，30，25） 1801322316  bababaS 反序和 3、类似的问题： 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5个人的水桶需要的时间分别是 4分钟， 8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这 5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间 最少？ 分析： 4、排序不等式的一般情形： 一般地，设有两组实数： 1a ， 2a ， 3a ，…， na 与 1b ， 2b ， 3b ，…， nb ，且它们满足： 1a ≤ 2a ≤ 3a ≤…≤ na ， 1b ≤ 2b ≤ 3b ≤…≤ nb ， 若 1c ， 2c ， 3c ，…， nc 是 1b ， 2b ， 3b ，…， nb 的任意一个排列，则和数 nncacaca  2211 在 1a ， 2a ， 3a ，…， na 与 1b ， 2b ， 3b ，…， nb 同序时最大，反序时最小，即： 112122112211 bababacacacabababa nnnnnnn    ， 等号当且仅当 naaa  21 或 nbbb  21 时成立。 分析：用逐步调整法 三、典型例题： 例 1、已知 cba ,, 为正数，求证： abc cba accbba    222222 。 例 2、设 1a ， 2a ， 3a ，…， na 为正数，求证： n n n n aaa a a a a a a a a    21 1 22 1 3 2 2 2 2 1 。 四、小结： 五、练习： 六、作业： 1、求证： dacdbcabdcba  2222 。 2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长 a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinC ha+ hb +hc ． 3、若 a>0,b>0，则 2222 332266 babababa        ． 4、在△ABC中，求证： abccbacbacbacba 3)()()( 222  ．（IMO） 5、若 a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证：    n k n k k kk a 11 2 1 ． 6、若 x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤ 2 1 ，则 2 1)1()1)(1( 21  nxxx  ． 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 13 课时 几个著名的不等式之三：平均不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、定理 1：如果 Rba , ，那么 abba 222  （当且仅当 ba  时取“=”） 证明： 222 )(2 baabba        0)( 0)( 2 2 baba baba 时，当 时，当 abba 222  1．指出定理适用范围： Rba , 强调取“=”的条件 ba  。 2、定理 2：如果 ba, 是正数，那么 abba   2 （当且仅当 ba  时取“=”） 证明：∵ abba 2)()( 22  ∴ abba 2 即： abba   2 当且仅当 ba  时 abba   2 注意：1．这个定理适用的范围：  Ra ； 2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3、定理 3：如果  Rcba ,, ，那么 abccba 3333  （当且仅当 cba  时取“=”） 证明：∵ abcabbacbaabccba 333)(3 2233333  )(3])())[(( 22 cbaabccbabacba  ]32)[( 222 abcbcacbabacba  ))(( 222 cabcabcbacba  ])()())[(( 2 1 222 accbbacba  ∵  Rcba ,, ∴上式≥0 从而 abccba 3333  指出：这里  Rcba ,, ∵ 0 cba 就不能保证。 推论：如果  Rcba ,, ，那么 3 3 abccba   。（当且仅当 cba  时取“=”） 证明： 333333333 3)()()( cbacba   33 abccba   3 3 abccba   4、算术—几何平均不等式： ①．如果   NnnRaaa n 且1,,,, 21  则： n aaa n 21 叫做这 n个正数的算术平 a b D B O A C 均数， n naaa 21 叫做这 n个正数的几何平均数； ②．基本不等式： n aaa n 21 ≥ n naaa 21 （ niRaNn i   1,,* ） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③． abba   2 的几何解释： 以 ba  为直径作圆，在直径 AB上取一点 C，过 C作弦 DD’AB 则 abCBCACD 2 ， 从而 abCD  ，而半径 abCDba   2 。 二、典型例题： 例 1、已知 cba ,, 为两两不相等的实数，求证： cabcabcba  222 。 证：∵ abba 222  2 2 2b c bc  caac 222  以上三式相加： cabcabcba 222)(2 222  ∴ cabcabcba  222 例 2、设 cba ,, 为正数，求证： abccbcacabbaab 16))(1( 2  。 例 3、设 1a ， 2a ， 3a ，…， na 为正数，证明： n n aaa n n aaa 111 21 21      。 例 4、若  Ryx, ，设 2 ),( 22 yxyxQ   2 ),( yxyxA   xyyxG ),( yx yxH    1 2),( 求证： ),(),(),(),( yxHyxGyxAyxQ  加权平均；算术平均；几何平均；调和平均 证：∵ 244 2) 2 ( 2222222 2 yxyxyxxyyxyx        ∴ 22 22 yxyx    即： ),(),( yxAyxQ  （俗称幂平均不等式） 由平均不等式 ),(),( yxGyxA  ),( 2 22),( yxGxy xy xy yx xyyxH    即： ),(),( yxHyxG  综上所述： ),(),(),(),( yxHyxGyxAyxQ  三、小结： 四、练习： 五、作业： 1、若  Rbaba ,,1 求证 2 25)1()1( 22  b b a a 证：由幂平均不等式： 2 )11( )1()1( 2 22 b b a a b b a a   2 25 2 )23( 2 )3( 2 )1( 2 22           b a a b b ba a ba r h a O A 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 14 课时 利用平均不等式求最大（小）值 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、重要的结论： 已知 x，y 都是正数，则： (1)、如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 P2 ； (2)、如果和 x+y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 2 4 1 S 。 二、典型例题： 例 1、当 x取什么值时，函数 2 2 94 x xy  有最小值？最小值是多少？ 例 2、求函数 1 622    x xxy （ 0x ）的最小值。 例 3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为 6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的 维修费用约为：第一年为 200元，第二年 400元，第三年 600元，…，按等差数列递增。这台电脑 使用多少年报废最合算？ 分析： 例 4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上 A点的水平距离是 a，那么电灯距 离桌面的高度 h等于多少时，A点处最亮？（亮度公式： sin2r kI  ，这里 k为常数，r是电灯到 照射点的距离， 是照射到某点的光线与水平面所成的角） 分析： 例 5、求函数 )0(,32 2  x x xy 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 33 222 43212311232  xx x xx x x xy ∴ 3 min 43y 解二： x x x x xy 6232232 22  当 x x 32 2  即 2 123 x 时 63 3 min 32421232 2 1262 y 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在 x使得 xx x 212 2  ；解二错在 x62 不是定值（常数） 正确的解法是： 333 222 36 2 3 2 93 2 3 2 323 2 3 2 3232  xx x xx x x xy 当且仅当 x x 2 32 2  即 2 63 x 时 3 min 36 2 3 y 例 6、若 14  x ，求 22 222   x xx 的最值。 解： ] )1( 1)1([ 2 1] 1 1)1[( 2 1 1 1)1( 2 1 22 22 22          x x x x x x x xx ∵ 14  x ∴ 0)1(  x 0 )1( 1   x 从而 2] )1( 1)1([    x x 1] )1( 1)1([ 2 1    x x 即 1) 22 22( min 2    x xx 。 例 7、设  Rx 且 1 2 2 2  yx ，求 21 yx  的最大值 解：∵ 0x ∴ ) 22 1(21 2 22 yxyx  又 2 3 2 1) 2 () 22 1( 2 2 2 2  yxyx ∴ 4 23) 2 3 2 1(21 2  yx 即 4 23)1( max 2  yx 例 8、已知  Ryxba ,,, 且 1 y b x a ，求 yx  的最小值 解： yx  y xb x ayba y b x ayxyx  ))((1)( 2)(2 ba y xb x ayba  当且仅当 y xb x ay  即 b a y x  时 2 min )()( bayx  三、小结： 四、练习： 1．求下列函数的最值： 1 、 )(,42 2  Rx x xy (min=6) 2、 ) 2 0(,)2( 2 axxaxy  ( 27 2max 3a  ) 2．1、 0x 时求 236 x x y  的最小值， x x y 36 2  的最小值 )4 2 9,9( 3 2、设 ]27, 9 1[x ，求 )3(log 27 log 33 xxy  的最大值(5) 3、若 10  x , 求 )1( 24 xxy  的最大值 ) 3 32, 27 4( x 4、若  Ryx, 且 12  yx ，求 yx 11  的最小值 )223(  3．若 0 ba ，求证： )( 1 bab a   的最小值为 3 4．制作一个容积为 316 m 的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？ （不计加工时的损耗及接缝用料） )4,2( mhmR  五、作业： 1、将一块边长为 a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒， 要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为 x 则其容积为 ) 2 0(,)2( 2 axxaxV  )2()2(4 4 1 xaxaxV  27 2] 3 )2()2(4[ 4 1 3 3 axaxax    当且仅当 xax 24  即 6 ax  时取“=” 即当剪去的小正方形的边长为 6 a 时，铁盒的容积为 27 2 3a 2、某种汽车购买时的费用是 10 万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为 9 千元；汽车的 维修费平均为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车 使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)? 解：设这种汽车使用 n 年报废最合算 n 年汽车的维修总费用为 )(1.02.0 2 )1(2.06.04.02.0 2 nnnnn     (万元) 年平均费用 y= 31 10 1021 10 10)(1.09.010 2   n n n nn nnn 当且仅当 10 10 n n  即 n＝10 时取等号。 答：这种汽车使用 10 年报废最合算。 3、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840cm 2 ，画面的宽与高的比为λ(λ>1)，画面的上、下 各留 8cm 的空白，左、右各留 5cm 的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积 最小？(2001 年全国文科高考题) 解：设画面的宽为 x cm，则画面的高为 x 4840 cm，设纸张面积为 S S= 676030252165000)3025(165000)164840)(10(  x x x x x x 当且仅当 x＝ x 3025 ，即 x= 55 cm，此时高 88 55 4840  1 8 5 88 55  答：画面高为 88cm，宽为 55cm 时，能使所用纸张面积最小。 评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意： 1 设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数； 2 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； 3 在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 15 课时 利用柯西不等式求最大（小）值 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、柯西不等式： 2 11 2 1 2 )(   n i ii n i i n i i baba 。 二、典型例题： 例 1、把一条长是 m的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面 积和最小？ 例 2、如图，等腰直角三角形 AOB的直角边为 1，在这个三角形内任意取一点 P，过 P分别引 三边的平行线，与各边围成以 P点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的 最小值，以及取到最小值时点 P的位置。 分析： 三、小结： 四、练习： 五、作业： 选修 4_5 不等式选讲 课 题： 第 16 课时 数学归纳法与不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n＝1(或 n 0 )时成立，这 是递推的基础；第二步是假设在 n＝k 时命题成立，再证明 n＝k＋1 时命题也成立，这是递推的依据。 实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是 k＋1 步的推证，要有目标意识。 二、典型例题： 例 1、证明： 23333 )321(321 nn   。 例 2、设 1x ， *Nn ，证明贝努利不等式： nxx n  1)1( 。 例 3、设 ba, 为正数， *Nn ，证明： n nn baba ) 2 ( 2    。 例 4、设数列{a n }的前 n 项和为 S n，若对于所有的自然数 n，都有 S n ＝ 2 )( 1 naan  ，证明{a n } 是等差数列。 （94 年全国文） 例 5、已知数列 8 1 1 32 2 · · ，得，…， 8 2 1 2 12 2 · · n n n( ) ( )  ，…。S n为其前 n项和，求 S 1、S 2、S 3、 S 4，推测 S n 公式，并用数学归纳法证明。 （93 年全国理） 解：计算得 S 1＝ 8 9 ，S 2＝ 24 25 ，S 3＝ 48 49 ，S 4＝ 80 81 ， 猜测 S n＝ ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 2 n n    (n∈N) 【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这 是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明） 【另解】 用裂项相消法求和 例 6、设 a n＝ 1 2× ＋ 2 3× ＋…＋ n n( )1 (n∈N),证明： 1 2 n(n＋1)n (n>1 且 n∈N)。 2、已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n＝a n1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且 n∈N)。①．求 a 2和 a 3； ②.猜测 a n ，并用数学归纳法证明你的猜测。 3、用数学归纳法证明等式：cos x 2 ·cos x 22 ·cos x 23 ·…·cos x n2 ＝ sin sin x xn n2 2 · (81 年全国高考) 4、用数学归纳法证明：6 2 1n ＋1 (n∈N)能被 7 整除。