高考数学黄金100题系列第11题函数的奇偶性理 22页

第 11 题 函数的奇性 I．题源探究·黄金母题 【例 1】判断下列函数的奇偶性：   2 1xf x x   ． 【解析】      ,f x f x f x    为奇函数． 【例 2】已知函数  f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时，    1f x x x  ．画出函数  f x 的图象，并求出函数的解 析式． 【答案】       0)1( 0),1( )( xxx xxx xf ， 【解析】函数  f x 是定义在 R上的奇函数，则对 Rx 都 有： )()( xfxf  ，当 0x 时， 0 x ，则 ）（ 1-)]1([)()( xxxxxfxf  ，那么       0)1( 0),1( )( xxx xxx xf ， ；函数图象如下： 精彩解读 【试题来源】例 1：人教 A 版必修一第 36 页练习第 1（3）题；例 2：人教 A 版必修 一第 39 页 A 组第 6 题 【母题评析】本题借助函数的奇性，利用 函数的奇性的定义，求函数的解析式，并 利用奇函数、函数图象的性质，画出函数 的图象．借助函数的奇性以及函数图象特 征解题是高考函数部分重点考察内容． 【思路方法】借助函数的奇、性的定义既 可以求值，也可以求函数的解析式，而画 函数图像是，只需画出 y轴右侧的图象， 按照函数图象的对称要求，再画出 y轴左 侧的图象．另外画图时取几个特殊点，以 数助形，确保准确无误！ II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考新课标 I 卷】函数 ( )f x 在 ( , )  单 调递减，且为奇函数．若 ( 11)f   ，则满足 21 ( ) 1xf    的 x的取值范围是 A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0, 4] D．[1,3] 【命题意图】本类题常利用函数的奇性、 周期性求值． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通 【答案】D 【解析】因为 ( )f x 为奇函数且在 ( , )  单调递减，要使 1 ( ) 1f x   成立，则 x满足 1 1x   ，从而由 1 2 1x    得1 3x  ，即满足 1 ( 2) 1f x    成立的 x的取值范围为[1,3]，选 D． 【考点】函数的奇性、单调性 【名师点睛】奇性与单调性的综合问题，要重视利用奇、函 数与单调性解决不等式和比较大小问题，若 ( )f x 在 R上为 单调递增的奇函数，且 1 2( ) ( ) 0f x f x  ，则 1 2 0x x  ， 反之亦成立． 【例 2】【2017 高考北京卷】已知函数 1( ) 3 ( ) 3 x xf x   ， 则 ( )f x A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】    1 13 3 3 3 x x x xf x f x                    ，所以 函数是奇函数，并且3x是增函数， 1 3 x       是减函数，根据增 函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选 A． 【例 3】【2017 高考新课标 I】函数 sin2 1 cos xy x   的部分图 像大致为 （ ） 常基本以选择题或填空题的形式出现，难 度较小，往往借助函数的奇性、单调性、 周期性等解题，常考查求值、比较大小、 解不等式等． 【难点中心】本题是考查利用函数周期性 和奇性求函数值，是基础题．利用函数的 周期性、奇性求函数值，需要先借助周期 性调整自变量的值，再利用奇性调整自变 量的符号，最终利用已知函数的解析式求 值．而借助周期性、奇性、单调性进行比 较大小或解不等式时，还要利用函数的单 调性． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，函数 sin 2 1 cos xy x   为奇函数，故排除 B； 当 x  时， 0y  ，排除 D；当 1x  时， sin 2 0 1 cos 2 y    ， 排除 A．故选 C． 【例 4】【2017 高考新课标 II 卷】已知函数 ( )f x 是定义在R 上的奇函数，当 ( ,0)x  时， 3 2( ) 2f x x x  ，则 (2)f  ． 【答案】12 【解析】 (2) ( 2) [2 ( 8) 4] 12f f         【例 5】【2017 高考山东卷】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函 数，且 f(x+4)=f(x-2)．若当 [ 3,0]x  时， ( ) 6 xf x  ， 则 f(919)= ． 【答案】6 【解析】由 f(x+4)=f(x-2)可知，  f x 是周期函数，且 6T  ，所以 (919) (6 653 1) (1)f f f    ( 1) 6f   ． III．理论基础·解题原理 考点一 函数的奇性的基本概念 1．如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 )()( xfxf  ，那么，函数 f(x)是函数，函数 的图象关于 y轴对称． 2．如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 )()( xfxf  ，那么，函数 f(x)是奇函数， 奇函数的图象关于原点对称． 考点二 对函数的奇性的理解 (1)判断函数的奇性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇性的 一个必要条件 (2)判断函数 f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝－f(x0)，对于函数的判断以此类推． 考点三 函数的奇性的有关结论 （1）在奇、函数的定义中， )()(),()( xfxfxfxf  是定义域上的恒等式，要注意利用反向 使用，如： )()(),()( xfxfxfxf  ． （2）奇函数图象关于原点对称，奇函数 )(xf 若在 0x 处有意义，则 0)0( f ；奇函数在关于原点 对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值， 则其和为零； （3）函数图象关于 y轴对称，函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数求值、比 较大小、解不等式有联系． 【技能方法】 1．判断函数奇偶性的方法 （1）定义法：一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式， 可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤： （2）图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于 y 轴成轴对称．因此要证函数 的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于 y 轴对称，只需证明此函数 是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． 2．已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数 常常采用待定系数法，利用 f(x)±f(－x)＝0 得到关于 x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的 值． 【易错指导】 函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求 f(x)和 f(－x)必须同时存在，所以函数 定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它 一定是非奇非偶函数． V．举一反三·触类旁通 考向 1 函数的奇性的判断 【例 1】【2018 辽宁沈阳模拟】下列函数的图像关于 y轴对称的是（ ） A． 2y x x  B． 1y x   C． 2 2x xy   D． 2 2x xy   【答案】D 【例 2】若函数    f x x R 是奇函数，函数    g x x R 是偶函数，则一定成立的是( ) A．函数  f g x  是奇函数 B．函数  g f x  是奇函数 C．函数  f f x  是奇函数 D．函数  g g x  是奇函数 【答案】C 【解析】由题得，函数    ,f x g x 满足        ,f x f x g x g x     ，则有    f g x f g x        ，      g f x g f x g f x              ，      f f x f f x f f x               ，    g g x g g x        ，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项 C是正确的，故选 C 【例 3】【2018 江西新余一中第二模拟】数  y f x 与  y g x 有相同的定义域，且都不是常值函数， 对于定义域内的任何 x，有     0f x f x   ，     1g x g x  ，且当 0x  时，   1g x  ，则        2 1 f x F x f x g x    的奇偶性为__________． 【答案】偶函数 【解析】由条件，得              2 2 11 1 f x f x F x f x f x g x g x                                2 2 1 1 f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x                                    2 = 1 1 1 f x g x f x f x g x f x f x f x F x g x g x g x             ，故        2 1 f x F x f x g x    为偶函数，故答案为偶函数． 【跟踪练习】 1．在函数 cosy x x ， exy x  ， lgy x  ， siny x x 中，偶函数的个数是（ ） A．3 B． 2 C．1 D．0 【参考答案】B 【点评】先利用定义判断函数的奇性，排除不符合题意的选择支，在借助函数的单调性选取． 2．下列函数为奇函数的是( ) A． 12 2 x x B． 3 sinx x C．2cos 1x D． 2 2xx  【答案】A 3．下列函数中，既是偶函数又在区间  0,1 上单调递减的函数为( )． A． x y 1  B． xy lg C． xy cos D． 2xy  【答案】C 【解析】∵ cosy x 是偶函数，且在  0, 上单减，而    0,1 0, ，∴ cosy x 满足条件，故选 C． 【点评】判断函数的奇性，先看定义域是否关于原点对称，之后再利用定义去衡量，或直接观察，本题 中 C、D 两个选择支为函数，再利用单调性去衡量；这类题为高考常见题，属于基础题． 4．下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为（ ） A． Rxxy  ,sin B． 0,,ln  xRxxy 且 C． Rxeey xx   , D． Rxxy  ,13 【答案】C． 【解析】首先判断奇性： B 为函数，A，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是函数， 所以排除 B、D； siny x 在(0，2)先增后减，排除 A，故选 C． 考向 2 函数的奇性与求函数值 【例 4】【2018 河北邢台高一上学期第一次联考】已知  y f x 是奇函数，且  4 5f  ，那么    4 + 4f f  的值为 ( ) A． 5 B．0 C． 2 5 D．不确定 【答案】B 【解析】  y f x 是奇函数，且  4 5f  ，所以  4 5f    ，那么    4 4f f   5 5 0  ，故选 B． 【例 5】【2018 河北武邑中学上学期第二次调研】已知  f x 是定义在 R上的奇函数，当 0x  时，   5xf x m  （m为常数），则  5log 7f  的值为（ ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】D 点睛：若函数 f(x)是奇函数，则 f(0)不一定存在；若函数 f(x)的定义域包含 0，则必有 f(0)＝0． 【例 6】【2018 辽宁鞍山一中上学期第一次模拟】已知函数  f x 为奇函数，且当 0x  时，   2 1f x x x   ，则  2f   ________． 【答案】 9 2  ； 【解析】因为 0x  时，   2 1f x x x   ，所以   92 2 f  ，又  f x 为奇函数，所以     92 2 2 f f     ，故填 9 2  ． 【例 7】【2018 山西省 45 校联考】若函数    10 10 1ax xf x   是偶函数，则 a __________． 【答案】 1 2  【解析】函数    10 10 1ax xf x   是偶函数，所以    1 1f f  ，即    110 10 1 10 10 1a a     ． 故 1110 10 11 10 a a    ，解得 1 2 a   ． 当 1 2 a   时，     1 1 1 2 2 210 10 1 10 10 x x xxf x       ，满足    f x f x  ． 综上可知，若函数    10 10 1ax xf x   是偶函数，则 1 2 a   ． 【例8】【2016年高考四川卷】已知函数 ( )f x 是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时， ( ) 4xf x  ， 则 5( ) (1) 2 f f  = ． 【答案】-2 【解析】因为函数 ( )f x 是定义在 R上周期为 2的奇函数，所以 ( 1) (1), ( 1) ( 1 2) (1)f f f f f        ，所以 (1) (1)f f  ，即 (1) 0f  ， 1 25 1 1 1( ) ( 2) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 f f f f            ，所以 5( ) (1) 2 2 f f    ． 【例 9】【2018 全国 18 名校大联考第二次联考】已知函数   x mf x a  （ ,m a为常数， 0a  且 1a  ） 的图象过点  2,4A ， 11, 2 B      ． （1）求实数 ,m a的值； （2）若函数       1 1 f x g x f x    ，试判断函数  g x 的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1） 1m  ， 1 2 a  ；（2）奇函数． （2）由（1）求出函数       1 2 1 1 2 1 x x f x g x f x       ，并根据指数的运算性质进行化简，进而根据函数奇偶 性的定义，可得答案． 试题解析：（1）把  2,4A ， 11, 2 B      的坐标代入   x mf x a  ，得 2 1 4, { 1 2 m a m a   ，解得 1m  ， 1 2 a  ． （2）  g x 是奇函数．理由如下：由（1）知   2xf x  ，所以       1 2 1 1 2 1 x x f x g x f x       ． 所以函数  g x 的定义域为R ．又   2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 x x x x x x x xg x               2 1 2 1 x x g x      ，所以函数  g x 为奇函数． 【跟踪练习】 1．【2018 山西晋豫名校联考】若对 , Rx y  ，有       3f x y f x f y    ，则函数    2 2 1 xg x f x x    在 2017,2017 上的最大值与最小值的和为（ ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 2．【2018 辽宁庄河高级中学、沈阳二十中上学期第一次联考】设  f x 是定义在 R上的奇函数，且其图 象关于 1x  对称，当  0,2x 时，   22f x x x  ，则      0 1 ... 2017f f f   的值为（ ） A．-1， B．0 C．1 D．不能确定 【答案】C 【解析】定义在 R上的奇函数  f x 的图象是关于直线 1x  对称，    2f x f x   ，    2 2 2f x f x       ，即        2 , 4f x f x f x f x      ，故函数  f x 的周期为 4．                  1 1 1, 1 1, 2 0 0, 3 1 1, 4 0 0f f f f f f f f f               ， 则        1 2 3 2017f f f f                   504 0 1 2 3 2016 2017 504 0 0 1 1f f f f f f f f              ，故选C． 3．【2017 河北定州中学】函数  f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x  时，     2 ,0 1 1 1 , 1 2 x x f x f x x        ， 则方程   1f x x  在 3,5 上的所有实根之和为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 4．【2018 辽宁凌源三校联考】已知函数  f x 为R 内的奇函数，且当 0x  时，   e 1 cosxf x m x    ， 记  2 2a f   ，  1b f   ，  3 3c f ，则 , ,a b c间的大小关系是（ ） A．b a c  B． a c b  C． c a b  D． c b a  【答案】C 【解析】利用奇函数的性质 可得：   00 1 cos0 0, 0f e m m        ，即当 0x  时，函数的解析 式为：   1xf x e   ，令     0g x xf x x  ，由函数的奇偶性的定义可得函数 g(x)是定义域内的 偶函数，且：    ' 1 1 xg x x e   ，      1 1, 1, 1 1, ' 1 1 0x x xx e x e g x x e          ，即函 数  g x 在区间 0, 上单调递减，且：          2 2 , 1 1 , 3a f f b f f c f       ，结合函数 的单调性可得： c a b  ．故选 C． 5．【2018 江西新余模拟】已知  2 1y f x  为奇函数，  y f x 与  y g x 图像关于 y x 对称， 若 1 2 0x x  ，则    1 2g x g x （ ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】B 【解析】  2 1y f x  为奇函数，故  2 1y f x  的图象关于原点  0,0 对称，而函数  y f x 的 图象可由  2 1y f x  图象向左平移 1 2 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍得到，故  y f x 的图象关于点  1,0 对称，又  y f x 与  y g x 图象关于 y x 对称，故函数  y g x 的 图象关于点  0, 1 对称， 1 2 0x x  ，即 1 2x x  ，故点      1 1 2 2, , ,x g x x g x ，关于点  0, 1 对 称，故    1 2 2g x g x   ，故选 B． 【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难 题题．函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻 折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序．本题是利用函数的平移 变换、放缩变换后根据对称性解答的． 6．【2016 高考山东卷】已知函数 f(x)的定义域为 R．当 x<0 时， 3( ) 1f x x  ；当 1 1x   时， ( ) ( )f x f x   ；当 1 2 x  时， 1 1( ) ( ) 2 2 f x f x   ．则 f(6)= （ ） （A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2 【答案】D 【点评】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难 度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较 好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 7．【2016 高考江苏卷】设 ( )f x 是定义在 R上且周期为 2的函数，在区间[ 1,1) 上， , 1 0, ( ) 2 ,0 1, 5 x a x f x x x          其中 .aR 若 5 9( ) ( ) 2 2 f f  ，则 (5 )f a 的值是 ▲ ． 【答案】 2 5  【解析】 5 1 9 1 1 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 f f f f a a            ， 因此 3 2(5 ) (3) (1) ( 1) 1 5 5 f a f f f         【点评】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数 周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及 其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值． 考向 3 函数的奇性与解不等式 【例 10】【2018 广东佛山模拟】设函数 f(x)＝ －ln（|x|+1），则使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x 的取 值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函 数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f( |x|)． 【例 11】【2018 河南即豫南九校联考】已知定义域为 的偶函数 在 上是减函数，且 ， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】f（x）是 R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以 f（x）在[0，+∞）上是增函数， 所以 f（log2x）＞2=f（1）⇔f（|log2x|）＞f（1）⇔|log2x|＞1；即 log2x＞1 或 log2x＜﹣1； 解可得 x＞2 或 ．故选 B． 点睛：根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得 f（log2x）＞2⇔|log2x|＞1；化简可得 log2x＞1 或 log2x＜﹣1，解可得 x的取值范围，即可得答案． 【例 12】【2017 广西质检】已知定义在 R上的奇函数  f x 在 0, 上递减，若    3 2 1f x x a f x    对  1,2x  恒成立，则 a的取值范围为（ ） A．  3,  B．  , 3  C．  3, D．  ,3 【答案】C 【解析】由已知可得  f x 在 R 上是减函数，故原命题等价于 3 2 1,x x a x    ，即 3a x  3 1x  在 1,2 上恒成立，设   3 3 1f x x x    ，令   2' 3 3 0 1f x x x       ，当 1 1x   时  ' 0f x  ，当1 2x  时  ' 0f x  ，因此    max 1 3a f x f   ，故选 C． 【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得  f x 在 R 上是减函数；2．将原命题等价转化为 3a x  3 1x  在 1,2 上恒成立；3．利用导数工具求得  max f x ，从而求得正解． 【例 13】【2016 高考天津卷】已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且在区间（-，0）上单调递增．若实数 a满足 1(2 ) ( 2)af f   ，则 a 的取值范围是______． 【答案】 1 3( , ) 2 2 【点评】由于函数图像关于 y轴对称，解不等式时要根据函数的单调性特点去解答，本题中函数 )(xf 在区间（-，0）上单调递增，因此 babfaf  )()( ，在解题中要重视数形结合思想，既要想形 又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确 把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 【跟踪练习】 1．【2018山西45校第一次联考】函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 为减函数，且 ， 若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数  f x 是定义在 R上的奇函数，是 0, 上的减函数，故函数  f x 在 R上单调递减，又  1 1f   ，所以  1 1f   ，因此      2 1 2 1 2 1 3f x f x f x x           ， x的取值 范围是  ,3 ，故选 A． 2．【2015 高考山东卷】若函数 2 1( ) 2 x xf x a    是奇函数，则使 3f x （ ） 成立的 x的取值范围为( ) （A）( ) (B)( ) （C） 0,1（ ）（D） 1,（ ） 【答案】C 3．【2018 广东珠海 9月摸底考试】定义在 R 上的偶函数 f (x) ， 满足 x 0 时 ， f (x) 0 ， 则关于 x 的不等式 f (| x |) f ( 3) 的解集为（ ） A．( 3 ，3) B．[ 3 ，3] C．( ， 3) U(3 ， ) D．( ， 3] U[3 ， ) 【答案】D 4．【2018 广东广州模拟】若函数   2 2 1 x x af x    为奇函数，   , 0 { , 0ax alnx x g x e x    ，则不等式   1g x  的 解集为（ ） A．   1,0 0, e       B．  ,e  C．    ,0 0,e  D． 1, e      【答案】C 【解析】∵函数   2 2 1 x x af x    为奇函数，∴f(0)=0，即 a=−1，∴   , 0 { , 0ax alnx x g x e x    ，当 x>0 时，解 g(x)=−lnx>1 得：x∈(0，e−1)，当 x<0 时，解 g(x)= e x >1 得：x∈(−∞，0)，故不等式 g(x)>1 的解集 为(−∞，0)∪((0，e−1)，故选 C． 5．【2018 全国 18 名校大联考】已知函数  y f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x  时，   2f x x   ， 那么不等式   1 0f x   的解集是__________． 【答案】 0x x  【解析】由题意知，函数  y f x 的定义域为R ，当 0x  时，   2f x x   ，则当 0x  时， 0x  ， 所以   2f x x   ，又函数  y f x 是定义在R 上的奇函数，所以     2f x f x x      ，即   2, 0, { 0, 0, 2, 0. x x f x x x x         因此不等式   1 0f x   等价于 0, { 2 1 0 x x      或 0, { 0 1 0 x    或 0, { 2 1 0 x x      ，解得 0x  ．故不等式   1 0f x   的解集为 0x x  ． 考向 4 利用函数的奇性与单调性研究函数的图象 【例 14】【2018 辽宁庄河高级中学、沈阳二十中上学期第一次联考】函数 的图象（ ） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称 【答案】B 【例 15】【2017 山东日照模拟】函数   2 sin 1 xf x x   的图象大致为( ) 【答案】A 【解析】函数  f x 定义域为 R，又        2 2 sin sin 11 x xf x f x xx           ，函数  f x 为奇函 数．其图像关于原点对称．故排除 C、D，又当0 πx  时，sin 0x  ，所以 ( ) 0f x  可排除 B，故 A正 确． 【点评】先判断函数奇性，根据图像的对称性，排除部分选择支，在利用特殊点，特殊函数值的找到最 符合要求的图象． 【例 16】【2018 广东茂名五大联盟学校联考】函数 的图象大致是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【跟踪练习】 1．【2016 高考新课标 1 卷】函数 22 xy x e  在 2, 2 的图像大致为 A B C D 【答案】D 【解析】函数 f(x)=2x2 –e |x| 在[–2，2]上是函数，其图象关于 y 轴对称，因为 2 2(2) 8 ,0 8 1f e e     ， 所以排除 ,A B 选项；当  0,2x 时， 4 xy x e   有一零点，设为 0x ，当 0(0, )x x 时， ( )f x 为减函 数，当 0( , 2)x x 时， ( )f x 为增函数．故选 D． 【点评】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活， 对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排 除不符合条件的选项． 2．【2018 安徽合肥高三调研】函数   1x xy e e x x         的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 考向 5 函数的奇性与简易逻辑 【例 17】【2018 鲁名校教科研协作体联考】已知   2 2 1 x x af x    为奇函数，    2lng x x b  ，若对    1 2 1 2, ,x x R f x g x   恒成立，则b的取值范围为（ ） A．  ,e B．  ,0 C． ,0e D． ,e  【答案】A 【解析】由于   2 2 1 x x af x    为奇函数，故  0 0f  ，可得 1a  ；因为对    1 2 1 2, ,x x R f x g x   恒 成立，所以    max min f x g x ，而   2 2 1 x x af x    = 2 1 21 2 1 2 1 x x x      ，所以    1,1f x   ，从而要求  2 2ln 1,x b x b e    ，在 R上恒成立，  2 min b x e b e    ，故选 A． 【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及最值、全称量词与存在量词的应用．属于难题．解 决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共 分四种情况：（1） 1 2, ,x D x E       1 2f x g x 只需    min max f x g x ；（2） 1 ,x D  2x E     1 2f x g x ，只需  min f x   min g x ；（3） 1x D  ， 2 ,x E     1 2f x g x 只需  max ,f x   max g x ；（4） 1 2,x D x E    ，    1 2f x g x ，只需  max f x   min g x ． 【例 18】【2018河北邢台模拟】下列命题：①集合 , ,a b c 的子集个数有8个；②定义在 R上的奇函数  f x 必满足  0 0f  ；③      22 1 2 2 1f x x x    既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与 y 轴相交；⑤   1f x x  在    ,0 0,   上是减函数，其中真命题的序号是 ______________（把你认 为正确的命题的序号都填上）． 【答案】①② 【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查集合的子集、函数的单调性、函数的奇偶 性、函数的图象与性质，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一 处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含 条件，另外，要注意先从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题． 【跟踪练习】 1．【2018 江苏如皋模拟】已知函数  f x 是定义在 R上的奇函数，若对于任意给定的实数 1 2,x x ，且 1 2x x ，不等式        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   恒成立，则不等式    1 1 2 0x f x   的解集 为__________． 【答案】 11, 2      ． 【解析】若对于任意给定的实数 1 2,x x ，且 1 2x x ，，不等式        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x   恒 成立，等价为      1 2 1 2 0x x f x f x     恒成立，即  f x 是定义在 R上的减函数，又  f x 是定义 在 R上的奇函数，所以  0 0f  ，当 1 0x   时，  1 2 0f x  ，所以1 2 0x  ，联立解得 1 1 2 x   ， 当 1 0x   时，  1 2 0f x  ，所以1 2 0x  ，无解，综上应填 11, 2      ． 2．【2017 湖南株洲模拟】给出下列两个命题：命题 1p ：“ 0a ， 0b ”是“函数 baxxy  2 为函 数”的必要不充分条件；命题 2p ：函数 x xy    1 1ln 是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A． 21 pp  B． 21 pp  C． 21 pp  D． 21 pp  【答案】C 【点评】本题考查函数奇性、逻辑联结词与命题，命题 2p ：函数 x xy    1 1ln 是奇函数为真命题，函数 x xy    1 1ln 为高一教材中的几个常见的奇函数，如 12 12    x x y ， )1lg( 2  xxy 等． 3．设函数 ( ) 3 cosf x x b x  ， xR ，则“ 0b  ”是“函数 ( )f x 为奇函数”的（ ） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当 0b  时，函数 ( ) 3f x x ，此时函数 ( )f x 为奇函数；反之函数 ( )f x 为奇函数，则 (0) 3 0 cos 0 0 0f b b      ，所以“ 0b  ”是“函数 ( )f x 为奇函数”的充分必要条件． 【点评】若一个函数为奇函数且在 0x 处有意义，求参数的首选方法是 0)0( f ． 考向 6 函数的奇性与函数的零点 【例 19】【2018 届湖北省荆州中学高三上学期第二次】已知函数  f x 是定义在    ,0 0,   上的 偶函数，当 0x  时，     12 1,0 2 { 1 2 , 2 2 x x f x f x x        ，则函数    4 1g x f x  的零点个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】求函数    4 1g x f x  的零点个数只需考查方程   1 4 f x  的实根个数， 当0 2x  时，   1 1 1 2 1,1 2 2 1 { 1 1,0 1 2 x x x x f x x                  ，  f x 在  0,1 上递减，在  1,2 上递增，  2 1f  ，值域为 0,1 ． 当 2x  时，    1 2 2 f x f x  当 2 4x  时，函数  f x 的值域为 10, 2      ， 当 4 6x  时，函数  f x 的值域为 10, 4      ， 当6 8x  时，函数  f x 的值域为 10, 16      ，   1 4 f x  在 0x  上有5个实根，又函数为偶函数，   1 4 f x  在    ,0 0,   上有 10 个实根，函数    4 1g x f x  的零点个数为 10 个，选 D． 【跟踪练习】 1．【2017 湖北七校联考】已知 )(xf 是奇函数并且是R上的单调函数，若函数 )()12( 2 xfxfy   只有一个零点，则实数的值是（ ） A． 4 1 B． 8 1 C． 8 7  D． 8 3  【答案】C 【点评】利用函数的奇函性的定义，可以把 )( xf 转化为 )( xf  ，可通过函数值的关系，找出自变量间 的关系，进而研究方程问题或不等式问题． 2．【2017 河北衡水模拟】定义在 R上的函数  f x 对任意  1 2 1 2,x x x x 都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    ，且 函数  1y f x  的图象关于（1，0）成中心对称，若 ,s t满足不等式    2 22 2f s s f t t    ，则 当1 4s  时， 2t s s t   的取值范围是（ ） A． 13, 2      B． 13, 2      C． 15, 2      D． 15, 2      【答案】D 【解析】设 1 2x x ，则 1 2 0x x  ．由 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x    ，知 1 2( ) ( ) 0f x f x  ，即 1 2( ) ( )f x f x ， 所以函数 ( )f x 为减函数．因为函数 ( 1)y f x  的图象关于 (1,0) 成中心对称，所以 ( )y f x 为奇函数， 所以 2 2 2( 2 ) (2 ) ( 2 )f s s f t t f t t      ，所以 2 22 2s s t t   ，即 ( )( 2) 0s t s t    ．因为 2 3 31 1 1 t s s ts t s t s         ，而在条件 ( )( 2) 0 1 4 s t s t s        下，易求得 1[ ,1] 2 t s   ，所以 11 [ ,2] 2 t s   ， 所以 3 3[ ,6] 21 t s   ，所以 3 11 [ 5, ] 21 t s      ，即 2 1[ 5, ] 2 t s s t      ，故选 D． 【点评】所谓函数  1y f x  的图象关于（1，0）成中心对称，就是函数 )( xfy  的图象关于原点对 称，就是函数 )( xfy  为奇函数，本题灵活地利用奇函数定义 )()( xfxf  ，借助函数的单调性解 题，思路清晰．