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- 2021-06-16 发布
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第五章 第1节
1.已知数列1,,,,…,,则3是它的( )
A.第22项 B.第23项
C.第24项 D.第28项
解析:B [观察知已知数列的通项公式是an=,
令an==3=,得n=23.]
2.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6等于( )
A.3×44 B.3×44+1
C.45 D.45+1
解析:A [当n≥1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,
∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,
∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列.
又a2=3S1=3a1=3,∴an=
∴当n=6时,a6=3×46-2=3×44.]
3.(2020·聊城市模拟)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,则此数列第20项为( )
A.180 B.200
C.128 D.162
解析:B [由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,
可得偶数项的通项公式:a2n=2n2.
则此数列第20项=2×102=200.]
4.(2020·咸阳市模拟)已知正项数列{an} 中,++…+=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为( )
A.an=n B.an=n2
C.an= D.an=
解析:B [∵++…+=,
∴++…+=(n≥2),
两式相减得=-=n,
∴an=n2,(n≥2).又当n=1时,==1,
∴an=n2.n∈N*.故选B.]
5.已知数列{an}的通项公式为an=n-1-n-1,则数列{an}( )
A.有最大项,没有最小项
B.有最小项,没有最大项
C.既有最大项又有最小项
D.既没有最大项也没有最小项
解析:C [∵数列{an}的通项公式为an=n-1-n-1,令t=n-1,t∈(0,1],t是减函数,
则an=t2-t=2-,
由复合函数单调性知an先递增后递减.
故有最大项和最小项,选C.]
6.(2020·唐山市一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1= ________ .
解析:∵Sn=,a4=32,
∴a4=S4-S3=-=32,
∴a1=.
答案:
7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k的值为 ________ .
解析:∵Sn=n2-9n,
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10,
a1=S1=-8适合上式,∴an=2n-10(n∈N*),
∴5<2k-10<8,得7.5<k<9.∴k=8.
答案:8
8.数列 {an}满足 an+1=,a8=2,则a1 = ________ .
解析:将a8=2代入an+1=,可求得a7=;再将a7=代入an+1=,可求得a6=-1;再将a6=-1代入an+1=,可求得a5=2;由此可以推出数列{an}是一个周期数列,且周期为3,所以a1=a7=.
答案:
9.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
解:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.
(2)令an=150,即n2-7n+6=150,
解得n=16或n=-9(舍),
即150是这个数列的第16项.
(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).
∴从第7项起各项都是正数.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an-1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在数列{bn}中,b1=5,bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式.
解:(1)当n=1时,S1=a1=a1-1,所以a1=2.
由Sn=an-1,①
可知当n≥2时,Sn-1=an-1-1,②
①-②,得an=-,
所以an=3an-1,又a1≠0,
故an-1≠0,所以=3,
故数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,
所以an=2·3n-1.
(2)由(1)知bn+1=bn+2·3n-1.
当n≥2时,bn=bn-1+2·3n-2,
…,
b3=b2+2·31,b2=b1+2·30,
将以上n-1个式子相加并整理,
得bn=b1+2×(3n-2+…+31+30)
=5+2×=3n-1+4.
当n=1时,31-1+4=5=b1,所以bn=3n-1+4(n∈N*).
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