- 463.46 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第五章 三角函数与解三角形
§5.1
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
高考数学
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
一、三角函数的概念
1.任意角的概念
(1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.正角:按
①
逆时针
方向旋转形成的角;负角:按②
顺时针
方向旋转形成的角;
零角:如果一条射线③
没有作任何旋转
,我们称它形成了一个零角.
(2)终边相同的角:与
α
终边相同的角可表示为④
{
β
|
β
=
α
+2
k
π,
k
∈Z}
.
2.弧度与角度的互化
(1)1弧度的角:长度等于⑤
半径长
的弧所对的圆心角.
考点
清单
(2)角
α
的弧度数公式:|
α
|=⑥
.
(3)角度与弧度的换算
360
°
=⑦
2π
rad,1
°
=⑧
rad,1 rad=⑨
°
≈
57.30
°
=57
°
18'.
(4)扇形的弧长及面积公式:
弧长公式:
l
=⑩
|
α
|·
r
.
面积公式:
S
=
l
·
r
=
|
α
|·
r
2
.
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
3.象限角
4.三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设
α
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P
(
x
,
y
),那么:
y
叫做
α
的正弦,记作sin
α
,即sin
α
=
y
x
叫做
α
的余弦,记作cos
α
,即cos
α
=
x
叫做
α
的正切,记作tan
α
,即tan
α
=
(
x
≠
0)
Ⅰ
+
+
+
Ⅱ
+
-
-
Ⅲ
-
-
+
Ⅳ
-
+
-
一全正,二正弦,三正切,四余弦
5.终边相同的角的三角函数
sin(
α
+
k
·2π)=sin
α
,
cos(
α
+
k
·2π)=cos
α
,
tan(
α
+
k
·2π)=tan
α
,其中
k
∈Z,
即终边相同的角的同一三角函数值相等.
知识拓展
终边相同的角与对称性
(1)
β
,
α
终边相同
⇔
β
=
α
+2
k
π,
k
∈Z.
(2)
β
,
α
终边关于
x
轴对称
⇔
β
=-
α
+2
k
π,
k
∈Z.
(3)
β
,
α
终边关于
y
轴对称
⇔
β
=π-
α
+2
k
π,
k
∈Z.
(4)
β
,
α
终边关于原点对称
⇔
β
=π+
α
+2
k
π,
k
∈Z.
6.三角函数线
各象限内角的三角函数线如下表:
角的终边所在的象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
图形
当角
α
的终边与
x
轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角
α
的正弦值和正切值都为0;当角
α
的终边与
y
轴重合时,余弦线变成一个点,正
切线不存在,此时角
α
的余弦值为0,正切值不存在.
二、同角三角函数的基本关系式
1.平方关系:
sin
2
α
+cos
2
α
=1
.
2.商数关系:tan
α
=
.
函数
角
正弦
余弦
正切
-
α
-sin
α
cos
α
-tan
α
π-
α
sin
α
-cos
α
-tan
α
π+
α
-sin
α
-cos
α
tan
α
2π-
α
-sin
α
cos
α
-tan
α
2π+
α
sin
α
cos
α
tan
α
-
α
cos
α
sin
α
+
α
cos
α
-sin
α
三、诱导公式
-
α
-cos
α
-sin
α
+
α
-cos
α
sin
α
角“
±
α
(
k
∈Z)”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.
考法一
利用三角函数定义解题
知能拓展
例1
(2018广东广州模拟,3)在平面直角坐标系中,以
x
轴的非负半轴为角
的始边,角
α
,
β
的终边分别与单位圆交于点
和
,则sin(
α
+
β
)=
( )
A.-
B.
C.-
D.
解题导引
解析
因为角
α
,
β
的终边分别与单位圆交于点
和
,所以sin
α
=
,cos
α
=
,sin
β
=
,cos
β
=-
,所以sin(
α
+
β
)=sin
α
cos
β
+cos
α
sin
β
=
×
+
×
=
.
答案
D
总结拓展
1.已知角
α
终边上一点
P
(不与原点重合)的坐标,求三角函数值:
先求出点
P
到原点的距离
r
,然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需
对参数进行讨论.
2.已知角
α
的终边所在直线的方程,求三角函数值:先设出终边上一点(除原
点)的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的
问题;若直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角
α
的三角函数值.
考法二
同角三角函数的基本关系式的应用技巧
例2
(2018皖南八校第二次联考,11)已知
θ
∈
,且
+
=35,则
tan 2
θ
=
( )
A.
B.
C.
±
D.
±
解题导引
解析
依题意,知12(sin
θ
+cos
θ
)=35sin
θ
cos
θ
,令sin
θ
+cos
θ
=
t
,
t
∈(1,
],两
边平方并整理得sin
θ
cos
θ
=
,原式化为12
t
=35·
,解得
t
=
,
故sin
θ
+cos
θ
=
,则sin
θ
cos
θ
=
,即
=
,即
=
,12tan
2
θ
-
25tan
θ
+12=0,解得tan
θ
=
或
,则tan 2
θ
=
=
±
,故选D.
答案
D
方法总结
1.已知sin
α
,cos
α
与tan
α
三者中的一个求另外两个:利用平方关
系和商数关系求解;
2.已知tan
α
的值,求关于sin
α
与cos
α
的齐
n
次分式的值:分子、分母同除以
cos
n
α
,转化为关于tan
α
的式子求解;
3.“1”的代换问题:含有sin
2
α
,cos
2
α
及sin
α
cos
α
的整式求值问题,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin
2
α
+cos
2
α
=1”代换后转化为“切”,然后求解.
特别提醒
对于sin
α
+cos
α
,sin
α
cos
α
,sin
α
-cos
α
这三个式子,已知其中一
个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin
α
±
cos
α
)
2
=1
±
2sin
α
cos
α
.
考法三
利用诱导公式化简求值的思路和要求
例3
(1)设cos(-36
°
)=
k
,那么tan 2 016
°
=
( )
A.
B.-
C.
D.-
(2)已知sin(3π+
θ
)=
,求
+
的值.
解题导引
(1)先利用同角三角函数的基本关系求出sin 36
°
的值,再利用诱
导公式化简求解.
(2)利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求解.
解析
(1)cos(-36
°
)=cos 36
°
=
k
,所以sin 36
°
=
=
,
所以tan 2 016
°
=tan(360
°×
5+216
°
)=tan 216
°
=tan(180
°
+36
°
)=tan 36
°
=
=
.
(2)因为sin(3π+
θ
)=-sin
θ
=
,所以sin
θ
=-
.
原式=
+
=
+
=
+
=
=
=
=18.
答案
(1)A
方法总结
1.化简求值的思路方法:(1)分析结构特点,选择恰当的公式;(2)
利用公式化成单角三角函数;(3)整理得出最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:
-
α
与
+
α
;
+
α
与
-
α
;
+
α
与
-
α
等.
(2)常见的互补的角:
+
θ
与
-
θ
;
+
θ
与
-
θ
等.
4.求任意角的三角函数值的步骤
负角化正角,正角化锐角,最后求值.
考法四
同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用
例4
已知3cos
2
(π+
x
)+5cos
=1,求6sin
x
+4tan
2
x
-3cos
2
(π-
x
)的值.
解题导引
将已知条件化简,求出sin
x
,cos
2
x
,tan
2
x
,代入化简后的式子求解
即可.
解析
由已知得3cos
2
x
+5sin
x
=1,
即3sin
2
x
-5sin
x
-2=0,解得sin
x
=-
(sin
x
=2舍去).这时cos
2
x
=1-
=
,tan
2
x
=
=
,
故6sin
x
+4tan
2
x
-3cos
2
(π-
x
)=6sin
x
+4tan
2
x
-3cos
2
x
=6
×
+4
×
-3
×
=-
.
方法总结
1.求值:(1)给角求值:用诱导公式遵循“负化正,正化小,到锐
角”的一般步骤求值;(2)给值求值:先用诱导公式统一角,再用同角三角函
数的基本关系求值;(3)给值求角:先确定要求的那个角的一个三角函数的
单调区间,然后求这个角的三角函数值,最后根据三角函数图象或定义求角
的值.
2.弦切互化法:主要利用商数关系tan
α
=
进行弦化切或切化弦,如
,
a
sin
2
x
+
b
sin
x
cos
x
+
c
cos
2
x
的类型要弦化切.
相关文档
- 【数学】2019届理科一轮复习北师大2021-06-167页
- 【数学】2020届一轮复习北师大版三2021-06-1612页
- 2021届高考数学一轮复习第三章三角2021-06-1642页
- 2020届二轮复习“平面向量、三角函2021-06-166页
- 2021届高考数学一轮复习第三章三角2021-06-1641页
- 浙江专用2021届高考数学一轮复习第2021-06-1624页
- 【数学】2019届一轮复习人教A版三2021-06-1611页
- 【数学】2020届一轮复习北师大版三2021-06-165页
- 2019届高考数学(理)二轮复习专题透析2021-06-1586页
- 2021届高考数学一轮复习第三章三角2021-06-1543页