2021届高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 41页

第 2 讲　同角三角函数的基本关系式与 诱导公式 课标要求 考情风向标 本节复习时应紧扣住三角 函数的定义，理解同角三 角函数关系式和诱导公 式；观察分析这些公式特 征，掌握记忆诀窍；通过 基本题型，掌握解题规律 1. 同角三角函数关系式 (1) 平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1. 组数 一 二 三 四 五 六 角 2 k π ＋ α ( k ∈ Z ) π ＋ α － α π － α 正弦 sin α ______ － sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α － cos α ______ － cos α sin α － sin α 正切 tan α tan α － tan α ______ — — 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 2. 六组诱导公式 － sin α cos α － tan α B 解析： f ( x ) ＝ － cos 2 x 是最小正周期为 π 的偶函数 . 故选 B. 3.(2016 年四川 )sin 750 ° ＝ _______. A 考点 1 诱导公式 答案： A A.1 C.3 B.2 D.4 注意到 b ∈[0,2π] ，只有这两组 . 故选 B. 答案： B 考点 2 同角三角函数基本关系式 考向 1 三角函数求值 解析： 2sin 2 α ＝ cos 2 α ＋ 1 ，即 4sin α cos α ＝ 2cos 2 α ， 则 2sin α ＝cos α ， 答案： B 答案： D 答案： C 【 规律方法 】 已知 sin α ， cos α ， tan α 三个三角函数值中的 一个，就可以求另外两个 . 但在利用平方关系开方时，符号的选 择要看 α 属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视 . 而当 角 α 的象限不确定时，则需分象限讨论，不要遗漏终边在坐标轴 上的情况 . 考向 2 化简 【 规律方法 】 化简三角函数式应看清式子的结构特征并作 有目的的变形，注意 “ 1” 的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧， 对于有平方根的式子， 去掉根号的同时加绝对值号再化简 . 考向 3 证明 ∵ 左边＝右边， ∴ 原等式成立 . 方法三， ∵ tan α － sin α ≠0 ， tan α ·sin α ≠0 ， 要证原等式成立， 只要证 tan 2 α ·sin 2 α ＝ tan 2 α － sin 2 α 成立， 而 tan 2 α ·sin 2 α ＝ tan 2 α (1 － cos 2 α ) ＝ tan 2 α － (tan α cos α ) 2 ＝ tan 2 α － sin 2 α ，即 tan 2 α ·sin 2 α ＝ tan 2 α － sin 2 α 成立， ∴ 原等式成立 . 【 规律方法 】 证明三角恒等式，可以从左向右证，也可以 从右向左证，证明两端等于同一个结果，对于含有分式的还可 以考虑应用比例的性质 . 考点 3 诱导公式与同角三角函数 基本关系式的综合应用 考向 1 sin α ±cos α 型 答案： C 答案： C 【 跟踪训练 】 答案： A 考向 2 　 齐次型 答案： A 答案： B 【规律方法】 我们注意到 (1)中方法一的分子、分母是 关于 sin α ， cos α 的二次齐次式，因此在它的分子、分母上同除以 cos 2 α (cos α ≠ 0) ，就转化成用 tan α 表示，因此很容易求出其值； (2) 中把分母看作 1 ，并用 sin 2 α ＋ cos 2 α 来代替，因而进行与 (1) 形如 a sin 2 α ＋ b sin α cos α ＋ c cos 2 α 的式子，可把分母看作 1 ，进 而将 1 ＝ sin 2 α ＋ cos 2 α 代入，转化为关于 tan α 的函数后再求值 . 【 跟踪训练 】 2. 若点 ( θ ， 0) 是函数 f ( x ) ＝ sin x ＋ 3cos x 的一个对称中心， 则 cos 2 θ ＋ sin θ cos θ ＝ ( ) B 3. 已知倾斜角为 θ 的直线 l 与直线 x ＋ 2 y － 3 ＝ 0 垂直，则 sin 2 θ 的值为 ( ) B 1. 诱导公式主要用于统一角： (1) 应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正 确判断 . 求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化 为锐角 三角函数的求值问题，具体步骤为 “ 负角化正 角 ” → “ 正角化锐角 ” → 求值 . (2) 应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正 确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀 . 2. 同角三角函数基本关系可用于统一函数，其主要作用是 进行三角函数的求值、化简和证明，常用方法有： (2) 和积转换法：如利用 (sin θ ±cos θ ) 2 ＝ 1±2sin θ cos θ 的关系 进行变形、转化. (3) 巧用 “ 1 ” 的变换： 1 ＝ sin 2 θ ＋ cos 2 θ ＝ cos 2 θ (1 ＋ tan 2 θ ) ＝ 3. 在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是 一个小技巧 .