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  • 2021-06-16 发布

2021届高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件

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第 2 讲 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式 课标要求 考情风向标 本节复习时应紧扣住三角 函数的定义,理解同角三 角函数关系式和诱导公 式;观察分析这些公式特 征,掌握记忆诀窍;通过 基本题型,掌握解题规律 1. 同角三角函数关系式 (1) 平方关系: sin 2 α + cos 2 α = 1. 组数 一 二 三 四 五 六 角 2 k π + α ( k ∈ Z ) π + α - α π - α 正弦 sin α ______ - sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α ______ - cos α sin α - sin α 正切 tan α tan α - tan α ______ — — 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 2. 六组诱导公式 - sin α cos α - tan α B 解析: f ( x ) = - cos 2 x 是最小正周期为 π 的偶函数 . 故选 B. 3.(2016 年四川 )sin 750 ° = _______. A 考点 1 诱导公式 答案: A A.1 C.3 B.2 D.4 注意到 b ∈[0,2π] ,只有这两组 . 故选 B. 答案: B 考点 2 同角三角函数基本关系式 考向 1 三角函数求值 解析: 2sin 2 α = cos 2 α + 1 ,即 4sin α cos α = 2cos 2 α , 则 2sin α =cos α , 答案: B 答案: D 答案: C 【 规律方法 】 已知 sin α , cos α , tan α 三个三角函数值中的 一个,就可以求另外两个 . 但在利用平方关系开方时,符号的选 择要看 α 属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视 . 而当 角 α 的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴 上的情况 . 考向 2 化简 【 规律方法 】 化简三角函数式应看清式子的结构特征并作 有目的的变形,注意 “ 1” 的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子, 去掉根号的同时加绝对值号再化简 . 考向 3 证明 ∵ 左边=右边, ∴ 原等式成立 . 方法三, ∵ tan α - sin α ≠0 , tan α ·sin α ≠0 , 要证原等式成立, 只要证 tan 2 α ·sin 2 α = tan 2 α - sin 2 α 成立, 而 tan 2 α ·sin 2 α = tan 2 α (1 - cos 2 α ) = tan 2 α - (tan α cos α ) 2 = tan 2 α - sin 2 α ,即 tan 2 α ·sin 2 α = tan 2 α - sin 2 α 成立, ∴ 原等式成立 . 【 规律方法 】 证明三角恒等式,可以从左向右证,也可以 从右向左证,证明两端等于同一个结果,对于含有分式的还可 以考虑应用比例的性质 . 考点 3 诱导公式与同角三角函数 基本关系式的综合应用 考向 1 sin α ±cos α 型 答案: C 答案: C 【 跟踪训练 】 答案: A 考向 2   齐次型 答案: A 答案: B 【规律方法】 我们注意到 (1)中方法一的分子、分母是 关于 sin α , cos α 的二次齐次式,因此在它的分子、分母上同除以 cos 2 α (cos α ≠ 0) ,就转化成用 tan α 表示,因此很容易求出其值; (2) 中把分母看作 1 ,并用 sin 2 α + cos 2 α 来代替,因而进行与 (1) 形如 a sin 2 α + b sin α cos α + c cos 2 α 的式子,可把分母看作 1 ,进 而将 1 = sin 2 α + cos 2 α 代入,转化为关于 tan α 的函数后再求值 . 【 跟踪训练 】 2. 若点 ( θ , 0) 是函数 f ( x ) = sin x + 3cos x 的一个对称中心, 则 cos 2 θ + sin θ cos θ = ( ) B 3. 已知倾斜角为 θ 的直线 l 与直线 x + 2 y - 3 = 0 垂直,则 sin 2 θ 的值为 ( ) B 1. 诱导公式主要用于统一角: (1) 应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正 确判断 . 求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化 为锐角 三角函数的求值问题,具体步骤为 “ 负角化正 角 ” → “ 正角化锐角 ” → 求值 . (2) 应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正 确判断,一般常用“奇变偶不变,符号看象限”的口诀 . 2. 同角三角函数基本关系可用于统一函数,其主要作用是 进行三角函数的求值、化简和证明,常用方法有: (2) 和积转换法:如利用 (sin θ ±cos θ ) 2 = 1±2sin θ cos θ 的关系 进行变形、转化. (3) 巧用 “ 1 ” 的变换: 1 = sin 2 θ + cos 2 θ = cos 2 θ (1 + tan 2 θ ) = 3. 在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是 一个小技巧 .