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- 2021-06-16 发布
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章末综合测评(二)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,1
2
,1
3
,1
4
,…
B.-1,2,-3,4,…
C.-1,-1
2
,-1
4
,-1
8
,…
D.1, 2, 3,…, n
【解析】 A 为递减数列,B 为摆动数列,D 为有穷数列.
【答案】 C
2.已知数列{an}是首项 a1=4,公比 q≠1 的等比数列,且 4a1,a5,-2a3
成等差数列,则公比 q 等于( )
A.1
2 B.-1 C.-2 D.2
【解析】 由已知,2a5=4a1-2a3,即 2a1q4=4a1-2a1q2,所以 q4+q2-2
=0,解得 q2=1,因为 q≠1,所以 q=-1.
【答案】 B
3.某种细胞开始有 2 个,1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个,2 小时后分裂成
6 个并死去 1 个,3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个,…,按此规律进行下去,6
小时后细胞存活的个数是( )
A.33 个 B.65 个 C.66 个 D.129 个
【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}.
则 a1=2,
an+1=2an-1,
即an+1-1
an-1
=2.
∴an-1=1·2n-1 ,an=2n-1+1,a7=65.
【答案】 B
4.等比数列{an}的通项为 an=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,
构成一个新的数列 {bn},那么 162 是新数列{bn}的( )
A.第 5 项 B.第 12 项
C.第 13 项 D.第 6 项
【解析】 162 是数列{an}的第 5 项,则它是新数列{bn}的第 5+(5-1)×2
=13 项.
【答案】 C
5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a≠0),则{an}( )
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列,或者是等比数列
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
【解析】 ∵Sn=an-1(a≠0),
∴an= S1,n=1,
Sn-Sn-1,n≥2,
即 an= a-1,n=1,
a-1an-1,n≥2,
当 a=1 时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当 a≠1 时,数
列{an}是一个等比数列.
【答案】 C
6.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则
数列的前 10 项之和是( )
A.90 B.100 C.145 D.190
【解析】 设公差为 d,
∴(1+d)2=1×(1+4d),
∵d≠0,
∴d=2,从而 S10=100.
【答案】 B
7.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d
=( )
A.2 B.3 C.6 D.7
【解析】 S4-S2=a3+a4=20-4=16,
∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2)
=4d=16-4=12,
∴d=3.
【答案】 B
8.已知数列{an}满足 a1=5,anan+1=2n,则a7
a3
=( )
A.2 B.4 C.5 D.5
2
【解析】 依题意得an+1an+2
anan+1
=2n+1
2n
=2,即an+2
an
=2,数列 a1,a3,a5,a7,…
是一个以 5 为首项,2 为公比的等比数列,因此a7
a3
=4.
【答案】 B
9.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则 a101 的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
【解析】 ∵2an+1-2an=1,
∴an+1-an=1
2
,
∴数列{an}是首项 a1=2,公差 d=1
2
的等差数列,
∴a101=2+1
2(101-1)=52.
【答案】 D
10.我们把 1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排
成一个正三角形,如图 1 所示:
图 1
则第七个三角形数是( )
A.27 B.28 C.29 D.30
【解析】 法一 ∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a2-a1=2,a3
-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,
∴a6-a5=6,a6=21,a7-a6=7,a7=28.
法二 由图可知第 n 个三角形数为nn+1
2
,
∴a7=7×8
2
=28.
【答案】 B
11.数列{an}满足递推公式 an=3an-1+3n-1(n≥2),又 a1=5,则使得
an+λ
3n
为等差数列的实数λ=( )
A.2 B.5 C.-1
2 D.1
2
【解析】 a1=5,a2=23,a3=95,令 bn=an+λ
3n
,则 b1=5+λ
3
,b2=23+λ
9
,
b3=95+λ
27
,
∵b1+b3=2b2,
∴λ=-1
2.
【答案】 C
12.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,则{an}的前 n 项和 Sn 中
最大的负数为( )
A.S17 B.S18 C.S19 D.S20
【解析】 ∵a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,
∴a11+a10>0.
S20=20a1+a20
2
=10·(a11+a10)>0.
S19=19a1+a19
2
=19
2 ·2a10<0.
【答案】 C
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横
线上)
13.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an
+bn}的前 100 项的和为________.
【解析】 由已知得{an+bn}为等差数列,故其前 100 项的和为 S100=
100[a1+b1+a100+b100]
2
=50×(25+75+100)=10 000.
【答案】 10 000
14.数列{an}满足 a1=1,an=an-1+n(n≥2),则 a5=________. 【导学号:
05920082】
【解析】 由 an=an-1+n(n≥2),得 an-an-1=n,则 a2-a1=2,a3-a2=3,
a4-a3=4,a5-a4=5,把各式相加,得 a5-a1=2+3+4+5=14,
∴a5=14+a1=14+1=15.
【答案】 15
15.首项为-24 的等差数列从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围
是________.
【解析】 设 a1=-24,公差为 d,∴a10=-24+9d>0 且 a9=-24+8d≤0,
∴8
31 000.
因为 29=512<1 000<1 024=210,所以 n≥10.
于是使|Tn-1|< 1
1 000
成立的 n 的最小值为 10.
22.(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的
等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn=a
nn+1
2
,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求 Tn.
【解】 (1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2,
所以数列{an}的通项公式为 an=2n.
(2)由题意知 bn=a
nn+1
2
=n(n+1),
所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).
因为 bn+1-bn=2(n+1),可得当 n 为偶数时,
Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)
=4+8+12+…+2n=
n
2
4+2n
2
=nn+2
2
,
当 n 为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=n-1n+1
2
-n(n+1)=-n+12
2 .
所以 Tn=
-n+12
2
,n 为奇数,
nn+2
2
,n 为偶数.
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