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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a必修5章末综合测评2word版含解析

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章末综合测评(二) (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1,1 2 ,1 3 ,1 4 ,… B.-1,2,-3,4,… C.-1,-1 2 ,-1 4 ,-1 8 ,… D.1, 2, 3,…, n 【解析】 A 为递减数列,B 为摆动数列,D 为有穷数列. 【答案】 C 2.已知数列{an}是首项 a1=4,公比 q≠1 的等比数列,且 4a1,a5,-2a3 成等差数列,则公比 q 等于( ) A.1 2 B.-1 C.-2 D.2 【解析】 由已知,2a5=4a1-2a3,即 2a1q4=4a1-2a1q2,所以 q4+q2-2 =0,解得 q2=1,因为 q≠1,所以 q=-1. 【答案】 B 3.某种细胞开始有 2 个,1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个,2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个,3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个,…,按此规律进行下去,6 小时后细胞存活的个数是( ) A.33 个 B.65 个 C.66 个 D.129 个 【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}. 则 a1=2, an+1=2an-1, 即an+1-1 an-1 =2. ∴an-1=1·2n-1 ,an=2n-1+1,a7=65. 【答案】 B 4.等比数列{an}的通项为 an=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数, 构成一个新的数列 {bn},那么 162 是新数列{bn}的( ) A.第 5 项 B.第 12 项 C.第 13 项 D.第 6 项 【解析】 162 是数列{an}的第 5 项,则它是新数列{bn}的第 5+(5-1)×2 =13 项. 【答案】 C 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a≠0),则{an}( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 【解析】 ∵Sn=an-1(a≠0), ∴an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2, 即 an= a-1,n=1, a-1an-1,n≥2, 当 a=1 时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当 a≠1 时,数 列{an}是一个等比数列. 【答案】 C 6.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则 数列的前 10 项之和是( ) A.90 B.100 C.145 D.190 【解析】 设公差为 d, ∴(1+d)2=1×(1+4d), ∵d≠0, ∴d=2,从而 S10=100. 【答案】 B 7.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d =( ) A.2 B.3 C.6 D.7 【解析】 S4-S2=a3+a4=20-4=16, ∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2) =4d=16-4=12, ∴d=3. 【答案】 B 8.已知数列{an}满足 a1=5,anan+1=2n,则a7 a3 =( ) A.2 B.4 C.5 D.5 2 【解析】 依题意得an+1an+2 anan+1 =2n+1 2n =2,即an+2 an =2,数列 a1,a3,a5,a7,… 是一个以 5 为首项,2 为公比的等比数列,因此a7 a3 =4. 【答案】 B 9.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则 a101 的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 【解析】 ∵2an+1-2an=1, ∴an+1-an=1 2 , ∴数列{an}是首项 a1=2,公差 d=1 2 的等差数列, ∴a101=2+1 2(101-1)=52. 【答案】 D 10.我们把 1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排 成一个正三角形,如图 1 所示: 图 1 则第七个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 【解析】 法一 ∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a2-a1=2,a3 -a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5, ∴a6-a5=6,a6=21,a7-a6=7,a7=28. 法二 由图可知第 n 个三角形数为nn+1 2 , ∴a7=7×8 2 =28. 【答案】 B 11.数列{an}满足递推公式 an=3an-1+3n-1(n≥2),又 a1=5,则使得 an+λ 3n 为等差数列的实数λ=( ) A.2 B.5 C.-1 2 D.1 2 【解析】 a1=5,a2=23,a3=95,令 bn=an+λ 3n ,则 b1=5+λ 3 ,b2=23+λ 9 , b3=95+λ 27 , ∵b1+b3=2b2, ∴λ=-1 2. 【答案】 C 12.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,则{an}的前 n 项和 Sn 中 最大的负数为( ) A.S17 B.S18 C.S19 D.S20 【解析】 ∵a10<0,a11>0,且 a11>|a10|, ∴a11+a10>0. S20=20a1+a20 2 =10·(a11+a10)>0. S19=19a1+a19 2 =19 2 ·2a10<0. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横 线上) 13.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an +bn}的前 100 项的和为________. 【解析】 由已知得{an+bn}为等差数列,故其前 100 项的和为 S100= 100[a1+b1+a100+b100] 2 =50×(25+75+100)=10 000. 【答案】 10 000 14.数列{an}满足 a1=1,an=an-1+n(n≥2),则 a5=________. 【导学号: 05920082】 【解析】 由 an=an-1+n(n≥2),得 an-an-1=n,则 a2-a1=2,a3-a2=3, a4-a3=4,a5-a4=5,把各式相加,得 a5-a1=2+3+4+5=14, ∴a5=14+a1=14+1=15. 【答案】 15 15.首项为-24 的等差数列从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围 是________. 【解析】 设 a1=-24,公差为 d,∴a10=-24+9d>0 且 a9=-24+8d≤0, ∴8 31 000. 因为 29=512<1 000<1 024=210,所以 n≥10. 于是使|Tn-1|< 1 1 000 成立的 n 的最小值为 10. 22.(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的 等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=a nn+1 2 ,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求 Tn. 【解】 (1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知 bn=a nn+1 2 =n(n+1), 所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1),可得当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn) =4+8+12+…+2n= n 2 4+2n 2 =nn+2 2 , 当 n 为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=n-1n+1 2 -n(n+1)=-n+12 2 . 所以 Tn= -n+12 2 ,n 为奇数, nn+2 2 ,n 为偶数.