人教a版数学【选修1-1】作业：2-1-1椭圆及其标准方程（含答案） 5页

第二章 圆锥曲线与方程 §2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准 方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 1．椭圆的概念：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的 轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的 ________．当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是__________，当|PF1|＋|PF2|<|F1F2|时__________ 轨迹． 2．椭圆的方程：焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为 ________________，焦距为________；焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为________________． 一、选择题 1．设 F1，F2 为定点，|F1F2|＝6，动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点 M 的轨迹是( ) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2．椭圆x2 16 ＋y2 7 ＝1 的左右焦点为 F1，F2，一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点，则△ABF2 的周长为( ) A．32 B．16 C．8 D．4 3．椭圆 2x2＋3y2＝1 的焦点坐标是( ) A. 0，± 6 6 B．(0，±1) C．(±1,0) D. ± 6 6 ，0 4．方程 x2 |a|－1 ＋ y2 a＋3 ＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－3，－1) B．(－3，－2) C．(1，＋∞) D．(－3,1) 5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点 5 2 ，－3 2 ，则该椭圆的方程是( ) A.y2 8 ＋x2 4 ＝1 B.y2 10 ＋x2 6 ＝1 C.y2 4 ＋x2 8 ＝1 D.y2 6 ＋x2 10 ＝1 6．设 F1、F2 是椭圆x2 16 ＋y2 12 ＝1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 P 到两个焦点的距离 之差为 2，则△PF1F2 是( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．直角三角形 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7．椭圆x2 9 ＋y2 2 ＝1 的焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________， ∠F1PF2 的大小为________． 8．P 是椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 上的点，F1 和 F2 是该椭圆的焦点，则 k＝|PF1|·|PF2|的最大值是 ______，最小值是______． 9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地 点距地面 n 千米，远地点距地面 m 千米，地球半径为 R，那么这个椭圆的焦距为________ 千米． 三、解答题 10．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点 －3 2 ，5 2 . 11．已知点 A(0， 3)和圆 O1：x2＋(y＋ 3)2＝16，点 M 在圆 O1 上运动，点 P 在半径 O1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点 P 的轨迹方程． 能力提升 12．若点 O 和点 F 分别为椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点， 则OP  ·FP→的最大值为( ) A．2 B．3 C．6 D．8 13．如图△ABC 中底边 BC＝12，其它两边 AB 和 AC 上中线的和为 30，求此三角形重 心 G 的轨迹方程，并求顶点 A 的轨迹方程． 1．椭圆的定义中只有当距离之和 2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果 2a＝|F1F2|，轨迹是 线段 F1F2，如果 2a<|F1F2|，则不存在轨迹． 2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有 a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴 要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上． 3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应 的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二 是设椭圆方程的一般形式，即 mx2＋ny2＝1 (m，n 为不相等的正数)． 第二章 圆锥曲线与方程 §2.1 椭 圆 2．1.1 椭圆及其标准方程 答案 知识梳理 1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段 F1F2 不存在 2.x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c y2 a2 ＋x2 b2 ＝1 (a>b>0) 作业设计 1．D [∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点 M 的轨迹是线段．] 2．B [由椭圆方程知 2a＝8， 由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8， |BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2 的周长为 16.] 3．D 4．B [|a|－1>a＋3>0.] 5．D [椭圆的焦点在 x 轴上，排除 A、B， 又过点 5 2 ，－3 2 验证即可．] 6．D [由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8. 由题可得||PF1|－|PF2||＝2， 则|PF1|＝5 或 3，|PF2|＝3 或 5. 又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2 为直角三角形．] 7．2 120° 解析 ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF2|＝6－|PF1|＝2. 在△F1PF2 中， cos∠F1PF2＝ |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ＝16＋4－28 2×4×2 ＝－1 2 ，∴∠F1PF2＝120°. 8．4 3 解析 设|PF1|＝x，则 k＝x(2a－x)， 因 a－c≤|PF1|≤a＋c，即 1≤x≤3. ∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴kmax＝4，kmin＝3. 9．m－n 解析 设 a，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则 a＋c＝m＋R a－c＝n＋R ，则 2c＝m－n. 10．解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)． ∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x2 25 ＋y2 9 ＝1. (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设椭圆的标准方程为y2 a2 ＋x2 b2 ＝1 (a>b>0)． 由椭圆的定义知，2a＝ －3 2 2＋ 5 2 ＋2 2＋ －3 2 2＋ 5 2 －2 2＝3 10 2 ＋ 10 2 ＝2 10， ∴a＝ 10. 又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6. 故所求椭圆的标准方程为y2 10 ＋x2 6 ＝1. 11．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4， ∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2 3<4， ∴点 P 的轨迹是以 A、O1 为焦点的椭圆， ∴c＝ 3，a＝2，b＝1， ∴动点 P 的轨迹方程为 x2＋y2 4 ＝1. 12．C [由椭圆方程得 F(－1,0)，设 P(x0，y0)， 则 OP→ ·FP→＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x20＋x0＋y20. ∵P 为椭圆上一点，∴ x20 4 ＋y20 3 ＝1. ∴ OP→ ·FP→＝x20＋x0＋3(1－x20 4) ＝x20 4 ＋x0＋3＝1 4(x0＋2)2＋2. ∵－2≤x0≤2， ∴ OP→ ·FP→的最大值在 x0＝2 时取得，且最大值等于 6.] 13．解 以 BC 边所在直线为 x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则 B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD 为 AB、AC 边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30. 由重心性质可知 |GB|＋|GC| ＝2 3(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B、C 是两个定点，G 点到 B、C 距离和等于定值 20，且 20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B、C 是椭圆焦点． ∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10， b2＝a2－c2＝102－62＝64， 故 G 点的轨迹方程为 x2 100 ＋y2 64 ＝1， 去掉(10,0)、(－10,0)两点． 又设 G(x′，y′)，A(x，y)，则有x′2 100 ＋y′2 64 ＝1. 由重心坐标公式知 x′＝x 3 ， y′＝y 3. 故 A 点轨迹方程为 x 3 2 100 ＋ y 3 2 64 ＝1. 即 x2 900 ＋ y2 576 ＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．