云南民族大学附属中学2020届高三第二次高考仿真模拟数学（理）试题（解析版） Word版含解析 20页

2020 届高三第二次高考仿真模拟（理科数学） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 ， ，则 的真子集的个数为 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】解： 集合 0，1，2，3， ， ， 3， ， 的真子集的个数为： 个． 故选：C． 先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 的真子集的个数． 本题考查交集中真子集个数的求法，考查交集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题． 2. 在复平面内，复数 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】解： ， 复数 对应的点的坐标为 ，位于第一象限． 故选：A． 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3. 每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种， 并将投保的渔船分为Ⅰ，Ⅱ两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019 年Ⅰ，Ⅱ两类渔船 的台风遭损率分别为 和 年初，在修复遭损船只的基础上，对Ⅰ类渔船中的 进 一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船 2020 年的台风遭损率将降为 ，而其他渔船的 台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是 A. 2019 年投保的渔船的台风遭损率为 B. 2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例不超过 C. 预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率会小于 II 类渔船的台风遭损率的两倍 D. 预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于 II 类渔船因台风遭损的数量 【答案】D 【解析】解：设全体投保的渔船为 t 艘， 对于 A，2019 年投保的渔船的台风台风遭损率为 ，故 A 错误； 对于 B，2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例为： ，故 B 错误； 对于 C，预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率为： ，故 C 错 误； 对于 D，预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量： 少于 II 类渔船因台 风遭损的数量： ，故 D 正确． 故选：D． 仔细观察频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质能求出结果． 本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音， “宫”经过一次“损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为 原来的 ，得到“商”； 依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据 此可推得 A. “宫、商、角”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “徵、商、羽”的频率成等比数列 【答案】A 【解析】解：设“宫”的频率为 a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为 ，“徵”经过 一次“益”，可得“商”的频率为 ， “商”经过一次“损”，可得“羽”频率为 ，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率 是 ， 由于 a， ， 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列， 故选：A． 根据文化知识，分别求出相对应的概率，即可判断． 本题考查了等比数列的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题． 5. 若 m，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则 【答案】B 【解析】【分析】 可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论， 即可找出正确选项． 考查空间想象能力，以及线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行的概念． 【解答】 解： 错误，由 ，得不出 内的直线都垂直于 ； B.正确， ，根据线面平行的性质定理知， 内存在直线 ， ， ， ， ； C.错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行、可能相交，即不一定得 到 ； D.错误，可以想象两个平面 、 都和 相交，交线平行，这两个平面不一定平行． 故选：B． 6. 若 ，函数 的值域为 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： 函数 ，其中 ， ， ． 令 ， ， ， ， ， ，且 ， ． ，即 ． 当 时， 单调递减． ， ． 的取值范围是 故选：D． 由函数 ，其中 ， ， 令 ， ，由 ， ，可得 ，由 ，且 可得 ， 可得 当 时， 单调递减．即可得出． 本题考查了三角函数的单调性、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题． 7. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解： ， ， ， ． 故选：C． 由 ， ，可得 a，b 都小于 0，再与 比较大小即可得出关系，c 大于 0． 本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为 ，所以 是偶函数，排除 C 和 D． 当 时， ， ，令 ，得 ；令 ， 得 ． 所以 在 处取得极小值，排除 B， 故选：A． 利用函数的奇偶性可排除 CD，利用导数研究可知当 时，其在 处取得极小值，可排除 B， 由此得解． 本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题． 9. 已知向量 ，若 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， ， ． 故选：B． 直接利用向量的数量积化简求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题． 10. 已知三棱锥 中，侧面 底面 BCD， 是边长为 3 的正三角形， 是 直角三角形，且 ， ，则此三棱锥外接球的体积等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：三棱锥 中，侧面 底面 BCD，把该三棱 锥放入长方体中，如图所示； 且 ； 设三棱锥外接球的球心为 O，则 ， ， 所以三棱锥外接球的半径为 ， 所以三棱锥外接球的体积为 ． 故选：B． 把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的 体积． 本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 11. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 P，若函数 的 图象与点 P 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设 P 的坐标为 ，左焦点 ， 函数的导数 ，则在 P 处的切线斜率 ， 即 ，得 ， 则 ，设右焦点为 ， 则 ， 即 ， ， 双曲线的离心率 ， 故选：D． 设 P 的坐标为 ，求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出 ，根据双曲线的定义求出 a，c 即可． 本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出 a，c 是解决本题 的关键．考查运算能力． 12. 已知不等式 对 恒成立，则实数 a 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的构造思想，对数的等 价变形等，属于难题． 将原不等式化为 对 恒成立；设函数 ，即 对 恒成立；讨论函数 的单调性； 【解答】 解：不等式 对 恒成立； 即 对 恒成立； 即 对 恒成立； 设函数 ，则 ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 即 对 恒成立； 时， ； 根据选项，只需讨论 的情况； 当 时， 在 上单调递减， 则 ； 则 ，两边取 e 为底的对数， 得： ； 即 设函数 ， 则 ； 所以 在 上单调递增， 在 上单调递减； 则 ， 即 ； 故选：C． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为______． 【答案】 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 得 ， 平移直线 ， 由图象可知当直线 经过点 时，直线的截 距最小， 此时 z 最小， 此时 ， 故答案为： ． 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论． 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基 本方法． 14. 若顶点在原点的抛物线经过四个点 ， ， ， 中的 2 个点，则该抛物线的标 准方程可以是______． 【答案】 或 【解析】解：由题意可得，抛物线方程为 或 ． 若抛物线方程为 ，代入 ，得 ， 则抛物线方程为 ，此时 在抛物线上，符合题意； 若抛物线方程为 ，代入 ，得 ， 则抛物线方程为 ，此时 在抛物线上，符合题意． 抛物线的标准方程可以是 或 ． 故答案为： 或 ． 由题意可设抛物线方程为 或 ，然后分类求解得答案． 本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题． 15. 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， 若点 D 在边 BC 上，且 ，则 AD 的最大值是______． 【答案】 【解析】解： 中， ，由正弦定理得， ， 因为 ，所以 ； 又因为 ，所以 ； 设 外接圆的圆心为 O，半径为 R，则由正弦定理得， ； 取 BC 的中点 M，如图所示； 在 中， ， ； 在 中， ， ； 由 ，当且仅当圆心 O 在 AD 上时取“ ”； 所以 AD 的最大值是 ． 故答案为： ． 中利用正弦定理转化求得 A 的值，再求出 外接圆的半径；取 BC 的中点 M，利用直 角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出 AD 的最大值． 本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是难题． 16. 已知下列命题： 函数 在 上单调递减，在 上单调递增； 若函数 在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是 ； 当 时，函数 的最大值为 0； 函数 在 上单调递减； 上述命题正确的是______ 填序号 ． 【答案】 【解析】解： 根据复合函数同增异减的性质，可知函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，故 正确； 令 ，则函数 的图象与直线 有两个交点，根据函数 的图象可知 ，故 正确； 当 时， ， 所以 当且仅当 ，即 时取等号 ， 所以函数 的最大值为 ，故 不正确． ，当 时， ， 此时 单调递减，故 正确； 故答案为： ． 在 上单调递减，在 上单调递增； 函数 在 R 上有两个零点，即方程 在 R 上有两个不同的方程根，分别画出 和 的 图象，可得 a 的取值范围是 ； 由基本不等式可得当 时，函数 的最大 值为 ； 化简函数 可得，函数 在 上单调递减． 本题考查命题的真假判断，以及函数的基本性质，指数函数的图象变换，基本不等式的应用和正余 弦函数的性质，属于基础题． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 如图，矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直， ，G 为 BE 的中点． Ⅰ 求证： 平面 ADF； Ⅱ 若 ，求二面角 的余弦值． 【答案】 Ⅰ 证明： 矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直， ，平面 平面 ， 平面 ABCD， 平面 ABEF， 平面 ABEF， ， 菱形 ABEF 中， ，则 为等边三角形，G 为 BE 的中点． ，又 ，得 ． ， 平面 平面 ADF， 平面 ADF； Ⅱ 解：由 Ⅰ 可知 AD，AF，AG 两两垂直， 如图所示以 A 为坐标原点，AG 为 x 轴，AF 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， 故 A 0， ， ， 0， ， ， 则 ， ， ， 设平面 ACD 的法向量 ， 由 ，取 ，得 ， 设平面 ACG 的法向量 ， 由 ，取 ，得 ， 设二面角 的平面角为 ，由图可知 为钝角， 则 ， 二面角 的余弦值为 ． 【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求解二面角，属于中档题． Ⅰ 由已知矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直， ，由面面垂直的性质可得 平面 ABEF，进一步得到 ，再由已知证得 ，则 平面 ADF； Ⅱ 由 Ⅰ 可知 AD，AF，AG 两两垂直，以 A 为原点，AG 为 x 轴，AF 为 y 轴，AD 为 z 轴，建 立空间直角坐标系，分别求出平面 ACD 与平面 ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可 得二面角 的余弦值． 18. 设 是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为 已知 ， ， 成等比数列， ． 求 的通项公式； 设 ，数列 的前 n 项和为 ，求 ． 【答案】解： 设等差数列 的公差为 ， 由题意， ，解得 ． ； ， ， ． 【解析】 设等差数列 的公差为 ，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公 式可求； 求出数列 的通项公式，可得 ，再由数列的分组求和与等比数列的 前 n 项和求解． 本题考查数列递推式，考查等差数列通项公式与前 n 项和的求法，训练了数列的分组求和与等比数 列的前 n 项和，是中档题． 19. 已知函数 ． 讨论函数 极值点的个数； 当 时，不等式 在 上恒成立，求实数 k 的取值范围． 【答案】解： ， 当 时， ，所以 在 R 上单调递增，无极值． 当 时，令 ，得 ， 当 时， ；当 时， 即函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 此时只有一个极值点． 综上所述，当 时， 在 R 上无极值点； 当 时，函数 在 R 上只有一个极值点． 当 时，由题即 在 上恒成立 令 且 ， 则 ， ， 则 且 ， 当 时，即 时， 由于 ， ，而 ， 所以 ，故 在 上单调递增，所以 ， 即 ，故 在 上单调递增，所以 ， 即 在 上恒成立，故 符合题意． 当 时，即 时 ， 由于 在 上单调递增， 令 因为 ， 故在 上存在唯一的零点 ，使 ， 因此，当 时， ， 单调递减，所以 ， 即 ， 在 上单调递减，故 ，与题不符． 综上所述，k 的取值范围是 ． 【解析】 求出导函数 ，通过 当 时， 当 时，判断导函数的符号， 判断函数的单调性，求解函数的极值即可． 当 时，由题即 在 上恒成立，令 且 ，通过函数的导数，结合 当 时， 当 时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．求解 k 的取值范围． 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题． 20. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始 呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区 1000 名患者 的相关信息，得到如下表格： 潜伏期 单位：天 人数 85 205 310 250 130 15 5 求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ； 该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表．请将列联表补 充完整，并根据列联表判断是否有 的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期 天 潜伏期 天 总计 50 岁以上 含 50 岁 100 50 岁以下 55 总计 200 以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患 者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能 即概率最大 是多少？ 附： ，其中 ． 【答案】解： 根据统计数据，计算平均数为 天 ； 根据题意，补充完整列联表如下； 潜伏期 天 潜伏期 天 总计 50 岁以上 含 50 岁 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 根据列联表计算 ， 所以没有 的把握认为潜伏期与年龄有关； 根据题意得，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 ， 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X，则 ， ， ，1，2， ，20； 由 ， 得 ， 化简得 ，解得 ； 又 ，所以 ，即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人． 【解析】 根据统计数据计算平均数即可； 根据题意补充完整列联表，计算 ，对照临界值得出结论； 根据题意知随机变量 ，计算概率 ，列不等式组并结合题意求出 k 的值． 本题考查了频数分布表与平均数、二项分布的随机变量概率值最大取值问题，也考查了分析问题、 解决问题和处理数据与建模能力，是中档题． 21. 已知圆 C： 与定点 ，动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切， 记动圆圆心 I 的轨迹为曲线 E． Ⅰ 求曲线 E 的方程； Ⅱ 斜率为 k 的直线 l 过点 M，且与曲线 E 交于 A，B 两点，P 为直线 上的一点，若 为等边三角形，求直线 l 的方程． 【答案】解： Ⅰ 设圆 I 的半径为 r，题意可知，点 I 满足： ， ， 所以， ， 由椭圆定义知点 I 的轨迹是以 C，M 为焦点的椭圆， 所以 ， ， ， 故轨迹 E 方程为： ； Ⅱ 直线 l 的方程为 ， 联 消去 y 得 ． 直线 恒过定点 ，在椭圆内部，所以 恒成立，设 ， ， 则有 ， ， 所以 ， 设 AB 的中点为 ，则 ， ， 直线 PQ 的斜率为 由题意知 ，又 P 为直线 上的一点，所以 ， ， 当 为等边三角形时， ， 即 ， 解得 ，即直线 l 的方程为 ，或 ． 【解析】 Ⅰ 设圆 I 的半径为 r，由题意可得 为定值，由椭圆的定义可得 E 的轨迹为椭圆，且可知 a，c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； Ⅱ 设直线 l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出 AB 的中点 D 的坐标，进而求出 弦长 ，可得直线 PQ 的斜率，再由 P 在直线 上，可得 的长，由 为等边三角 形时， ，进而求出 k 的值． 本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ． 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 ． 【答案】解： 直线 l 的参数方程为 为参数 ， 直线 l 的普通方程为 ， 曲线 C 的极坐标方程为 ． ， 曲线 C 的直角坐标方程为 ． 联立 ，得 ， ， 设 ， ，则 ， 直线 l 恰好过抛物线 的焦点， ． 【解析】 由直线 l 的参数方程能求出直线 l 的普通方程，由曲线 C 的极坐标方程，能求出曲线 C 的直角坐标方程． 联立 ，得 ，由此利用韦达定理、弦长公式能求出 ． 本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程、弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角 坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23. 已知函数 ． Ⅰ 求不等式 ； Ⅱ 若不等式 的解集包含 ，求实数 a 的取值范围 【答案】解： Ⅰ ． 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ． 综上，不等式 的解集为 ． Ⅱ 对 ， 恒成立， 即 在 恒成立， 即 ， ， 在 恒成立， ， ． 【解析】 Ⅰ 由绝对值的意义，讨论 x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集； Ⅱ 由题意可得 在 恒成立，即 ，由绝对值不 等式的解法和参数分离，结合恒成立问题解法可得 a 的范围． 本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查参数分离和化简运算能力，属于 中档题．