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- 2021-06-16 发布
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第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点 两角差的余弦公式
公式 cos(α-β)=___________________
简记符号 C(α-β)
使用条件 α,β为任意角
cos αcos β+sin αsin β
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢?
答案 公式巧记为:两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和,即余·余+
正·正.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.cos(60°-30°)=cos 60°-cos 30°.( )
2.α,β∈R时,cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.( )
3.对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立.( )
4.cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0.( )
×
×
×
√
2 题型探究
PART TWO
例1 计算下列各式的值.
一、给角求值
(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°);
解 原式=-sin 100° sin 160°+cos 200°cos 280°
=-sin 100°sin 20°-cos 20°cos 80°
=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)
=cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105°
反思
感悟 两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角
差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后
利用两角差的余弦公式求解.
跟踪训练1 化简下列各式:
(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);
解 原式=cos[θ+21°-(θ-24°)]
(2)-sin 167°·sin 223°+sin 257°·sin 313°.
解 原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)·sin(360°-47°)
=sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47°
=sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43°
二、给值求值
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
延伸探究
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
反思
感悟 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察
已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行
拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;
③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β).
解 因为α,β为锐角,所以0<α+β<π.
所以cos α=cos[(2α+β)-(α+β)]
=cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β)
三、给值求角
解 ∵α,β均为锐角,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
反思
感悟 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒:在根据三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.
∵β=α-(α-β)∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
3 随堂演练
PART THREE
1.cos 47°cos 137°+sin 47°sin 137°的值等于
A.0 B.1 C.-1 D.
1 2 3 4 5
√
解析 原式=cos(47°-137°)=cos(-90°)=0.
1 2 3 4 5
√
1 3 4 52
√
所以cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)·sin α
1 3 4 52
4.cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)= .
解析 原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]
1 3 4 52
5.cos 75°-cos 15°的值等于 .
解析 原式=cos(120°-45°)-cos(45°-30°)
=cos 120°cos 45°+sin 120°sin 45°-(cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°)
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单:
(1)两角差的余弦公式的推导.
(2)给角求值,给值求值,给值求角.
2.方法归纳:角的构造.
3.常见误区:求角时忽视角的范围.
本课结束
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