高中数学第一章解三角形1_2应用举例学案新人教B版必修51 11页

1.2 应用举例 1．了解实际问题中所涉及的名词和一些术语． 2．会建立实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度 及角度等实际问题． 1．实际应用问题中的有关术语 (1)铅直平面：指与______垂直的平面． (2)仰角和俯角：指在同一铅直平面内，目标视线与水平视线的夹角中，视线在水平线 ____的角叫仰角，视线在水平线____的角叫俯角．如图(1)所示． (3)方位角：以指北方向线作为 0°，顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角．如 图(2)所示． (4)方向角：相对于某一______的水平角，如北偏东 60°. (5)坡角与坡度：坡面与______的夹角叫坡角，坡面的__________与__________的比叫 做坡度(或坡比)． 设坡角为α，坡度为 i，则 i＝____＝____，如图(3)所示． 【做一做 1】已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C的距离相等，灯塔 A 在观测站 C 的北 偏东 40°，灯塔 B 在观测站 C的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )． A．北偏东 40° B．北偏西 10° C．南偏东 10° D．南偏西 10° 2．三角形中的有关公式和结论 (1)在直角三角形中各元素间的关系．在△ABC 中，若∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝ a，则有： ①锐角之间的关系：________； ②三边之间的关系：__________； ③边角之间的关系：(锐角三角函数的定义) sin A＝cos B＝____，cos A＝sin B＝______，tan A＝______. (2)斜三角形中各元素间的关系． 在△ABC 中，若角 A，B，C 为其内角，a，b，c 分别表示角 A，B，C 的对边，则有： ①角与角之间的关系：∠A＋∠B＋∠C＝π；sin A＜sin B⇔______，特别地，在锐角 三角形中，sin A＞cos B，sin B____cos C，sin C____cos A； ②边与边之间的关系：a＋b＞c，b＋c＞a，______，a－b＜c，b－c＜a，______； ③边角之间的关系： 正弦定理：________(R 为外接圆半径)； 余弦定理：____________，__________，____________； 它们的变形形式有：a＝________， sin A sin B ＝________，cos A＝__________. (3)三角形中的角的变换及面积公式． ①角的变换． 因为在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝π，所以 sin (A＋B)＝______；cos(A＋B)＝______； tan(A＋B)＝________.sin A＋B 2 ＝________，cos A＋B 2 ＝__________. ②面积公式的有关变换． S＝ 1 2 absin C＝________＝________＝ abc 4R (R 为△ABC 外接圆的半径)； S＝ 1 2 r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆的半径)． 【做一做 2－1】一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成 30°角，树干底部与树尖 着地处相距 10 m，则树干原来的高度是( )． A．(20＋10 3) m B．(10＋20 3) m C．(20＋20 3) m D．(10＋10 3) m 【做一做 2－2】在△ABC 中，ab＝60，S△ABC＝15 3，△ABC 的外接圆的半径为 3，则边 c的长为________． 【做一做 2－3】在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则 sin C sin B 的值为________． 3．解应用题的一般思路 (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中，将实际问题抽 象成解三角形模型． (3)选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中单位、近似计算的要求．这一 思路描述如下： 【做一做 3－1】如图，为了测量隧道口 AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用 第________组数据． ①α，a，b； ②α，β，a； ③a，b，γ； ④α，β，b. 【做一做 3－2】在 200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为 30°， 60°，则塔高为______ m. 实际问题中度量 A，B 两点的长度(高度)的方法 剖析：(1)求距离问题． 如图，当 AB 的长度不可直接测量时，求 AB 的距离． 两点间不可到达又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达 ①当 A，B 两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解， 则 AB＝ a2 ＋b2 －2abcos C. ②当 A，B 两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再 运用正弦定理求解． ∵∠A＝π－(∠B＋∠C)， ∴根据正弦定理，得 AB sin C ＝ BC sin A ＝ BC sin [π－ B＋C ] ＝ BC sin B＋C ＝ a sin B＋C ， 则 AB＝ asin C sin B＋C . ③当 A，B 两点都不可达时，先在△ADC 和△BDC 中分别求出 AC，BD，再在△ABC 或△ABD 中运用余弦定理求解． 先求：AD＝ a sin ∠ADC＋∠ACD ×sin∠ACD； 再求：BD＝ a sin ∠BDC＋∠BCD ×sin∠BCD； 最后：AB＝ AD2 ＋BD2 －2AD·BD·cos∠ADB. 将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往 往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角形提 供必要的条件． (2)求高度问题． 如图，当 AB 的高度不可直接测量时，求 AB 的高度，有如下情况． 底部可达 底部不可达 ①当 BC 底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则 AB＝atan C． ②当 BD 不可达时， 在 Rt△ABD 中，BD＝ AB tan∠ADB ， 在 Rt△ABC 中，BC＝ AB tan∠ACB ， ∴a＝CD＝BC－BD＝ AB tan∠ACB － AB tan∠ADB . ∴AB＝ a 1 tan∠ACB － 1 tan∠ADB . ③在△BCD 中，BC＝ a sin ∠BCD＋∠D ×sin D． ∵AB⊥BC ，∴∠BAC＝ π 2 －∠ACB． ∴在△ABC 中，AB＝ BC sin∠BAC ×sin∠ACB＝ BC cos∠ACB ×sin∠ACB． ∴AB＝ a sin ∠BCD＋∠D ×sin D cos∠ACB ×sin∠ACB＝ asin Dtan∠ACB sin ∠BCD＋∠D . 在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中， 我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画 出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解． 题型一 测量距离问题 【例 1】如图，隔河看两目标 A，B，但不能到达，在岸边选取相距 3km 的 C，D 两点， 并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D 在同一平面内)， 求两目标 A，B 之间的距离． 分析：要求出 A，B 之间的距离，可在△ABC(或△ADB)中去找关系，但不管在哪个三角 形中，AC，BC 这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然 后解斜三角形即可． 反思：测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型．在解这类问题时，首先要分 析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两个不 可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问 题． 题型二 测量高度问题 【例 2】如图所示，在地面上有一旗杆 OP，为测得它的高度 h，在地面上取一基线 AB， AB＝20 m，在 A 处测得 P 点的仰角∠OAP＝30°，在 B处测得 P点的仰角∠OBP＝45°，又测 得∠AOB＝60°，求旗杆的高度 h.(精确到 0.1 m) 分析：先在 Rt△PAO 和 Rt△PBO 中求出 AO，BO，再在△AOB 中由余弦定理求出 h. 反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再者 还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序． 题型三 测量角度问题 【例 3】如图，甲船在 A处，乙船在甲船的南偏东 45°方向，距 A 9 海里的 B 处，并以 20 海里/时的速度沿南偏西 15°方向行驶，若甲船以 28 海里/时的速度行驶，应沿什么方向， 用多少小时能最快追上乙船？(精确到 1 度) 分析：假设用 t 小时在 C 处追上乙船，则在△ABC 中，AC，BC 可用 t来表示，进而利用 余弦定理求得 t，解此三角形即可． 反思：航海问题常利用解三角形的知识解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知 量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正、余弦定理求解． 题型四 面积问题 【例 4】在半径为 R的扇形 OAB 中，圆心角∠AOB＝60°，在扇形内有一个内接矩形， 求内接矩形的最大面积． 分析：扇形内的内接矩形有且仅有两种类型：一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合； 另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形．我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积，再 取两者中较大的，就是符合条件的最大面积． 反思：关于求面积最值问题，关键是将面积函数表达出来，根据已知条件利用正弦定理 将与矩形面积有关的量求出，再转化为求三角函数最值问题，这是这一类问题常用的解题思 路． 题型五 易错辨析 【例 5】某观测站 C在城 A 的南偏西 20°的方向上，由城 A 出发的一条公路，走向是南 偏东 40°，在 C处测得公路上距 C31 km 的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去，走了 20 km 后 到达 D处，此时 C，D 间的距离为 21 km，这人还要走多远才能到达城 A? 错解：如图所示，∠CAD＝60°. 在△BCD 中，由余弦定理， 得 cos B＝ BC2＋BD2－CD2 2BC·BD ＝ 312＋202－212 2×31×20 ＝ 23 31 ， 所以 sin B＝ 1－cos 2B＝ 12 3 31 . 在△ABC 中，AC＝ BCsin B sin∠CAB ＝24. 在△ACD 中，由余弦定理，得 CD2 ＝AC2 ＋AD2 －2AC·ADcos∠CAD， 即 21 2 ＝24 2 ＋AD2 －24AD， 所以 AD＝15 或 AD＝9， 所以这人还要走 15 km 或 9 km 才能到达城 A． 错因分析：没有及时检测，题目中△ACD 为锐角三角形，故应舍去 AD＝9 的情况． 1如图，在河岸 AC 测量河的宽度 BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )． A．a 和 c B．c和 b C．c 和β D．b 和α 2已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C的南偏东 40°，则灯塔 A 与 B 的距离为( )． A．a km B． 3a km C． 2a km D．2a km 3 某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150°，然后沿新方向走了 3 km，结果离出发 点恰好 3km，那么 x＝________. 4A，B 是海平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°，∠BAD＝ 120°，又在 B点测得∠ABD＝45°，其中 D 是点 C在海平面上的射影，则山高 CD 为________． 5 为了测量两山顶 M，N间的距离，飞机沿水平方向在 A，B两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离．请设计一 个方案：包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出 计算 M，N 间的距离的步骤． 答案： 基础知识·梳理 1．(1)水平面 (2)上方 下方 (4)正方向 (5)水平面 铅直高度 h 水平宽度 l h l tan α 【做一做 1】B 如图所示，∠ECA=40°，∠FCB＝60°，∴∠ACB＝180°－40°－60° ＝80°.∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝ 180°－80° 2 ＝50°.∴∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝ 180°－120°－50°＝10°.故选 B. 2．(1)∠A＋∠B＝90° a2＋b2＝c2 a c b c a b (2)∠A＜∠B ＞ ＞ c＋a＞b c－a ＜b a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R c2 ＝a2 ＋b2 －2abcos C b2 ＝a2 ＋c2 －2accos B a2 ＝b2 ＋c2 －2bccos A 2Rsin A a b b2 ＋c2 －a2 2bc (3)sin C －cos C －tan C cos C 2 sin C 2 1 2 acsin B 1 2 bcsin A 【做一做 2－1】A 如图所示，BC=10 m， ∴ 10 3 m tan 30 BCAB    ， 20 m sin 30 BCAC    . ∴AB+AC=  20 10 3 m. 【做一做 2－2】3 【做一做 2－3】 5 3 由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 即 7 2 ＝5 2 ＋AC2 －2×5×AC·cos 120°， ∴AC2＋5AC－24＝0. 解得 AC＝3，AC＝－8(舍去)． 由正弦定理，得 sin C sin B ＝ AB AC ＝ 5 3 . 【做一做 3－1】③ 根据实际情况α，β都是不易测量的数据，而③中的 a，b，γ很 容易测量到，并且根据余弦定理能直接求出 AB 的长，故选③. 【做一做 3－2】 400 3 如图，设塔高 AB 为 h，在 Rt△CDB 中，CD＝200 m，∠BCD＝90° －60°＝30°， ∴BC＝ 200 cos 30° ＝ 400 3 3 (m)． 在△ABC 中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°. 在△ABC 中，由正弦定理，得 BC sin 120° ＝ AB sin 30° ， ∴AB＝ BC·sin 30° sin 120° ＝ 400 3 (m)． 典型例题·领悟 【例 1】解：在△ACD 中，∠ADC＝30°，∠ACD＝75°＋45°＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC ＝CD＝ 3(km)． 在△BDC 中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°. 由正弦定理，得 BC＝ 3sin 75° sin 60° ＝ 6＋ 2 2 (km)． 在△ACB 中，由余弦定理，得 AB2 ＝AC2 ＋BC2 －2AC·BC·cos∠BCA＝( 3) 2 ＋( 6＋ 2 2 ) 2 －2 3× 6＋ 2 2 cos75°＝ 5.∴AB＝ 5km. ∴两目标 A，B 之间的距离为 5km. 【例 2】解：在 Rt△PAO 中，AO＝ h tan 30° ＝ 3h. 在 Rt△PBO 中，BO＝ h tan 45° ＝h. 在△ABO 中，由余弦定理，得 20 2 ＝( 3h)2 ＋h2 －2 3h·hcos 60°， 解得 h＝ 20 4－ 3 ≈13.3(m)． 【例 3】解：假设用 t 小时甲船在 C处追上乙船．在△ABC 中，AC＝28t 海里，BC＝20t 海里，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°. 由余弦定理，得 AC2 ＝AB2 ＋BC2 －2AB·BC·cos∠ABC， 即(28t)2 ＝81＋(20t)2 －2×9×20t×(－ 1 2 )， 整理，得 128t2 －60t－27＝0， 即(4t－3)(32t＋9)＝0. ∴t＝ 3 4 或 t＝－ 9 32 (舍去)． ∴AC＝28× 3 4 ＝21(海里)，BC＝20× 3 4 ＝15(海里)． 由正弦定理，得 sin∠BAC＝ BCsin∠ABC AC ＝ 15× 3 2 21 ＝ 5 3 14 . 又∠ABC＝120°， ∴∠BAC 为锐角，∴∠BAC≈38°. ∴45°－38°＝7°. ∴甲船应沿南偏东 7°方向用 3 4 小时可最快追上乙船． 【例 4】解：如图(1)所示，设 PQ＝x，MP＝y，则矩形的面积 S＝xy. 连接 ON，令∠AON＝θ，则 y＝Rsin θ. 在△OMN 中，利用正弦定理，得 R sin 120° ＝ x sin (60°－θ) ， ∴x＝ 2Rsin(60°－θ) 3 . ∴S＝xy＝ 2R2sin θsin(60°－θ) 3 ＝R2 · cos 2(θ－30°)－cos 60° 3 . 当θ＝30°时，Smax＝ 3 6 R2. 如图(2)所示，设 PN＝x，MN＝y， 则矩形的面积为 S＝xy，连接 ON，令∠AON＝θ. 在△OPN 中，利用正弦定理，得 ON sin∠OPN ＝ PN sin θ ＝ OP sin∠ONP ， ∴x＝ R sin 150° ×sin θ＝2Rsin θ，y＝2Rsin(30°－θ)． ∴S＝xy＝4R2sin θsin(30°－θ)＝2R2[cos 2(15°－θ)－cos 30°]． 当θ＝15°时，Smax＝(2－ 3)R2. ∵ 3 6 ＞2－ 3， ∴所求内接矩形的最大面积为 3 6 R2. 【例 5】正解：设∠ACD＝α，∠CDB＝β， 在△CBD 中，由余弦定理，得 cos β＝ BD2 ＋CD2 －CB2 2BD·CD ＝ 20 2 ＋21 2 －31 2 2×20×21 ＝－ 1 7 ， 所以 sin β＝ 4 3 7 ， 而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝ 4 3 7 × 1 2 ＋ 3 2 × 1 7 ＝ 5 3 14 . 在△ACD 中，由正弦定理，得 CD sin 60° ＝ AD sin α ，则 AD＝ 21×sin α sin 60° ＝15(km)． 所以这人还要走 15 km 才能到达城 A. 随堂练习·巩固 1．D 在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中 AC 即可看做基线，在△ABC 中，能够测量到的边角分别为 b 和α. 2．B 显然∠ACB＝120°，AC＝BC＝a km，则∠CAB＝∠CBA＝30°.由正弦定理，有 AB sin 120° ＝ AC sin 30° ，则 AB＝ 3AC＝ 3a(km)． 3．2 3 或 3 方法一：如图所示，由题意，可知 AB=x km，AC= 3 km，BC=3 km，∠ ABC=30°. 由余弦定理，知 AC2 ＝AB2 ＋BC2 －2AB·BC cos∠ABC，即 3＝x2 ＋9－2×3xcos 30°. 整理，得 x2－3 3x＋6＝0. 解得 x＝2 3或 x＝ 3. 方法二：由正弦定理，得 sin A＝ BCsin B AC ＝ 3sin 30° 3 ＝ 3 2 . ∵BC＞AC，∴∠A＞∠B. ∵∠B＝30°，∴∠A＝60°或 120°. 当∠A＝60°时，∠ACB＝90°， ∴x＝ 9＋3＝2 3； 当∠A＝120°时，∠ACB＝30°， ∴x＝AC＝ 3. 4．800( 3＋1) m 如图，由于 CD⊥AD，∠CAD＝45°， ∴CD＝AD. 因此，只需在△ABD 中求出 AD 即可． 在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， 由 AB sin 15° ＝ AD sin 45° ，得 AD＝ AB·sin 45° sin 15° ＝ 800× 2 2 6－ 2 4 ＝800( 3＋1)(m)． ∴CD＝AD＝800( 3＋1)(m)． 5．解：方案 1：①需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角α1，β1；B 点到 M，N 点 的俯角α2，β2；A，B 的距离 d(如图所示)． ②第一步：计算 AM，由正弦定理，得 AM＝ dsin α2 sin (α1＋α2) ； 第二步：计算 AN，由正弦定理，得 AN＝ dsin β2 sin (β2－β1) ； 第三步：计算 MN，由余弦定理得： MN＝ AM2 ＋AN2 －2AM·ANcos (α1－β1). 方案 2：①需要测量的数据有： A点到 M，N 点的俯角α1，β1；B点到 M，N 点的俯角α2，β2；A，B 的距离 d(如图所示)． ②第一步：计算 BM，由正弦定理，得 BM＝ dsin α1 sin (α1＋α2) ； 第二步：计算 BN，由正弦定理，得 BN＝ dsin β1 sin(β2－β1) ； 第三步：计算 MN，由余弦定理得： MN＝ BM2 ＋BN2 ＋2BM·BNcos(β2＋α2).