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- 2021-06-16 发布
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高中数学选修 2--1 圆锥曲线
基本知识点与典型题举例
一、椭圆
1.椭圆的定义：
第一定义：平面内到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的
点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0b>0)的两个焦点，P 是以
F1F2 为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( )
(A) 3
2
(B) 6
3
(C) 2
2
(D) 2
3
例 5. P 点在椭圆 12045
22
yx 上，F1、F2 是两个焦点，若 21 PFPF ，则 P 点
的坐标是 .
例 6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6; .
(2)焦点坐标为 )0,3( , )0,3( ,并且经过点(2，1); .
(3) 椭 圆 的 两 个 顶 点 坐 标 分 别 为 )0,3( , )0,3( , 且 短 轴 是 长 轴 的
3
1 ;
____.
(4)离心率为
2
3 ，经过点(2，0); .
例 7. 1 2F F、 是椭圆
2
2 14
x y 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则
1 2| | | |PF PF 的最大值是 ．
二、双曲线
1.双曲线的定义：
第一定义：平面内到两个定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于定值
2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点
的距离叫做双曲线的焦距.
第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)的点的
轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线,常数 e 叫做
双曲线的离心率
例 8 .命题甲：动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a>0)；命
题乙： 点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )
(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分
也不必要条件
例 9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是（ ）
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线
例 10. 过点(2，-2)且与双曲线 12
2
2
yx 有相同渐近线的双曲线的方程是
( )
(A) 124
22
yx (B) 124
22
xy (C) 142
22
yx (D) 142
22
xy
例 11. 双曲线
2
2 1( 1)x y nn
的两焦点为 1 2, ,F F P 在双曲线上,且满足
1 2 2 2PF PF n ,则 1 2FPF 的面积为( )
( )1A 1( ) 2B ( )2C ( )4D
例 12 设 ABC 的顶点 )0,4(A ， )0,4(B ，且 CBA sin2
1sinsin ，则第三个
顶点 C 的轨迹方程是________.
例 13. 根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线
2 2
19 16
x y 有共同渐近线，且过点(-3， 32 )；
⑵与双曲线
2 2
116 4
x y 有公共焦点，且过点(3 2 ，2).
例 14. 设双曲线
2
2 12
yx 上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）求直线 AB 方程；
注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）
三、.抛物线
1.抛物线的定义:
平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在l
上).定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)
标 准 方
程
2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)x py p 2 2 ( 0)x py p
图形
对称轴 x 轴 x 轴 y轴 y轴
焦点 ( ,0)2
pF ( ,0)2
pF (0, )2
pF (0, )2
pF
顶点 原点(0,0)
准线
2
px
2
px
2
py
2
py
离心率 e 1
注: 通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.
例 15. 顶点在原点，焦点是(0, 2) 的抛物线方程是( )
(A)x2=8y (B)x2= 8y (C)y2=8x
(D)y2= 8x
例 16 抛物线 24y x 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是
( )
(A) 17
16
(B) 15
16
(C) 7
8
(D)0
例 17. 过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有( )
(A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条
例 18. 过抛物线 2y ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若
线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则 1 1
p q
等于( )
(A)2a (B) 1
2a
(C)4a (D) 4
a
例 19 若点 A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在抛物线上
移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P 点的坐标为( )
(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(
2
1 ，1) (D)(0，0)
例 20 动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=-2 相切，则圆心 M 的轨迹方程
是 .
例 21 过抛物线 y2＝2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的
纵坐标为 y1、y2，则 y1y2＝_________.
例 22 以抛物线 x y2 3 的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是
_____________.
例 23. 过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线 l 的斜率的
范围是 .
例 24 设 0p 是一常数，过点 (2 ,0)pQ 的直线与抛物线 2 2y px 交于相异两
点 A、B，以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心）。
(Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上；
(Ⅱ)求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.
四、求点的轨迹问题
如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型
求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹
类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，
化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关
系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形
几何性质的运用。
求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限）、代、化.
例 25. 已知两点 M（－2，0），N（2，0），点 P 满足 PM PN =12，则点 P 的
轨迹方程为（ ）
2
2( ) 116
xA y 2 2( ) 16B x y 2 2( ) 8C y x 2 2( ) 8D x y
例 26. ⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 1 和 2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1 内切而与⊙
O2 外切，则动圆圆心轨迹是( )
(A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)双曲线的一支
例 27. 动点 P 在抛物线 y2=-6x 上运动,定点 A(0,1),线段 PA 中点的轨迹方
程是( )
（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x （C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x
例 28. 过点 A（2，0）与圆 1622 yx 相内切的圆的圆心 P 的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
例 29. 已知 ABC 的周长是 16， )0,3(A ，B )0,3( 则动点的轨迹方程是( )
(A) 11625
22
yx (B) )0(11625
22
yyx (C) 12516
22
yx
(D) )0(12516
22
yyx
例 30. 椭圆 134
22
yx 中斜率为
3
4 的平行弦中点的轨迹方程为 .
例 31. 已知动圆 P 与定圆 C: （x＋2） 2 ＋y 2 ＝１相外切，又与定直线 l：
x＝１相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是______________.
_.
五、圆锥曲线综合问题
直线与圆锥曲线的位置关系
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.
直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方
程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分
必要条件分别是 0 、 0 、 0 .
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,则
它的弦长 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
11 (1 ) ( ) 4 1AB x x x x x x y y 2k k k
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的
技巧而已(因为 1 2 1 2( )y y x x k ，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则 1 2AB y y .
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二
要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求
值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例 32. AB 为过椭圆 2
2
2
2
b
y
a
x =1 中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△
AFB 的面积最大值是( )
(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc
例 33 若直线 y＝kx＋2 与双曲线 622 yx 的右支交于不同的两点，则 k
的取值范围是（ ）
( )A 3
15( , )3
15 ( )B 0( , )3
15 ( )C 3
15( , )0
( )D 3
15( , )1
例 34. 若双曲线 x2－y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为 2 ，则
a＋b 的值是( ).
1( ) 2A 1( ) 2B 1( ) 2C 或 1
2
(D)2 或－2
例 35 抛物线 y=x2 上的点到直线 2x- y =4 的距离最近的点的坐标是( )
1 1( )( , )2 4A ) (B)(1,1) (C) (
4
9,2
3 ) (D) (2,4)
例 36 抛物线 y2=4x 截直线 2y x k 所得弦长为 3 5 ，则 k 的值是( )
(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4
例 37 如果直线 )1( xky 与双曲线 422 yx 没有交点，则 k 的取值范围
是 .
例 38 已知抛物线 22xy 上两点 ),(),,( 2211 yxByxA 关于直线 mxy 对
称，且
2
1
21 xx ，那么 m 的值为 .
例 39 双曲线 3x2-y2=1 上是否存在关于直线 y=2x 对称的两点 A、B?若存在，
试求出 A、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.
高中数学选修 2--1 圆锥曲线
基本知识点与典型题举例答案
一、椭圆
例 1. D
例 2. B
例 3. C 先考虑 M+m=2a，然后用验证法.
例 4. B∵ 1 2 1 2| | | | | | | |2 2
sin15 sin75 1 sin15 sin75 sin15 cos15
PF PF PF PFc a
，∴ 2 1 6
2 32sin60
c ea
.
例 5 (3, 4) 或(-3, 4)
例 6. (1) 11625
22
yx 或 12516
22
yx ; (2) 136
22
yx ;
(3) 19
2
2
yx 或 1819
22
yx ; (4) 14
2
2
yx 或 1164
22
yx .
例 7. 1 2| | | |PF PF ≤ 2 21 2| | | |( ) 42
PF PF a
二、双曲线：
例 8. B
例 9. C
例 10. D
例 11. A 假设 1 2PF PF ,由双曲线定义 1 2 2PF PF n 且
1 2 2 2PF PF n ,
解得 1 22 , 2PF n n PF n n 而 1 2 2 1F F n 由勾股定理得
1 2 1 2
1 12PFFS PF PF
[点评]考查双曲线定义和方程思想.
例 12 )2(1124
22
xyx
例 13.⑴设双曲线方程为
2 2
9 16
x y (λ≠0),∴
2 2( 3) (2 3)
9 16
∴
1
4
,
∴ 双曲线方程为
2 2
19 4
4
x y ;⑵设双曲线方程为
2 2
116 4
x y
k k
16 0
4 0
k
k
∴
2 2(3 2) 2 116 4k k
,解之得 k=4,∴ 双曲线方程为
2 2
112 8
x y
评注：与双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
共渐近线的双曲线方程为
2 2
2 2
x y
a b
(λ≠0)，
当λ>0 时，焦点在 x 轴上；当λ<0 时，焦点在 y 轴上。与双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
共
焦点的双曲线为
2 2
2 2 1x y
a k b k
(a2+k>0，b2-k>0)。比较上述两种解法可知，引
入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以
更准确地理解解析几何的基本思想.
例 14 解题思路分析：
法一：显然 AB 斜率存在设 AB：y-2=k(x-1) 由 2
2
2
12
y kx k
yx
得：
(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△>0 时，设 A（x1,y1），B（x2,y2） 则 1 2
2
(2 )
2 2
x x k k
k
∴ k=1，满足△>0
∴ 直线 AB：y=x+1
法二：设 A（x1,y1），B（x2,y2）则
2
2 1
1
2
2 2
2
12
12
yx
yx
两式相减得：
(x1-x2)(x1+x2)=
2
1 (y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2∴ 1 2 1 2
1 2 1 2
2( )y y x x
x x y y
∴ 2 1 12ABk ∴ AB：y=x+1 代入
2
2 12
yx 得：△>0
评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这
两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0 是否成立。
（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并
检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两
定为中心
设 A、B、C、D 共圆于⊙OM，因 AB 为弦，故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上；又
CD 为弦，故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由 2
2
1
12
y x
yx
得：A（-1，0），B（3，4）又 CD 方程：y=-x+3
由 2
2
3
12
y x
yx
得：x2+6x-11=0 设 C（x3,y3），D（x4,y4），CD 中点 M（x0,y0）
则 3 4
0 0 03, 3 62
x xx y x ∴ M（-3，6）
∴ |MC|=|MD|=
2
1 |CD|= 102 又|MA|=|MB|= 102 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴ A、B、C、D 在以 CD 中点，M（-3，6）为圆心， 102 为半径的圆上
评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须
引起足够重视.
三、抛物线：
例 15. B( 22, 4 2 82
p p x py y 即 )
例 16. B
例 17 B(过 P 可作抛物线的切线两条，还有一条与 x 轴平行的直线也满足要
求。)
例 18. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦
点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线
段分别为 p,q，
则 p=q=|FK| 1| | 2FK a
而 ,
1 1 2 2 41( )2
ap q p
a
例 19. 解析：运用抛物线的准线性质.答案：B
例 20. x2=8y
例 21 －p2
例 22 2 23( ) 94x y
例 23----
例 24. 解：由题意，直线 AB 不能是水平线， 故可设直线方程为：
pxky 2 .
又设 ),(),,( BBAA yxByxA ，则其坐标满足
.2
,2
2 pxy
pxky 消去 x 得
042 22 ppkyy
由此得
.4
,2
2pyy
pkyy
BA
BA
2
2
2
2
4
)2(
)(
,)24()(4
p
p
yyxx
pkyykpxx
BA
BA
BABA
因此 0A B A BOA OB x x y y ,即OA OB .
故 O 必在圆 H 的圆周上.
又由题意圆心 H（ HH yx , ）是 AB 的中点，
故
.2
,)2(2
2
kpyyy
pkxxx
BA
B
BA
H
由前已证
OH 应是圆 H 的半径，
且 pkkyxOH HH 45|| 2422 .从而当 k=0 时，圆 H 的半径最小，亦
使圆 H 的面积最小.此时，直线 AB 的方程为：x=2p.
注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元
得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式△，利用韦达定理寻找两根之和
与两根之积之间的关系．求解有时借助图形的几何性质更为简洁．此题设直线方
程为 x=ky+2p；因为直线过 x 轴上是点 Q(2p，0)，通常可以这样设，可避免对直
线的斜率是否存在讨论．2．凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用平方差法；涉
及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算．3．在引入点参数(本题
中以 AB 弦的两个端点的坐标作为主参数)时，应尽量减少参数的个数，以便减少
运算量．由 OA⊥OB 得 x1x2+y1y2=O 这个关系对于解决此类问题十分有用．4．列出
目标函数，|OH|= 45 24 kk P，运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解
决此类问题的基本思路，也可利用基本不等式 a2+b2≥2ab 当且仅当 a=b 时“=”
成立求解．
四、求点的轨迹问题
例 25. B
例 26. D
例 27. C
例 28. A
例 29. B
例 30. 9x+16y=0 (椭圆内部分)
例 31. y２＝－8x
五、圆锥曲线综合问题
例 32 解析：∵S△AFB=2S△AOF，∴当点 A 位于短轴顶点处面积最大.答案：D
例 33. D
例 34. B
例 35. B 数形结合估算出 D
例 36 D
例 37.k<
3
32
3
32 k或
例 38.
2
3
例 39 解：设 AB：y=
2
1 x+m,代入双曲线方程得 11x2+4mx 4(m2+1)=0,
这里△=(4m)2 4×11［ 4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0 恒成立，
设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x0,y0),则 x1+x2=
11
m4 ，∴
x0=
11
2m ,y0=
2
1 x0+m=
11
12m ,
若 A、B 关于直线 y=2x 对称，则 M 必在直线 y=2x 上，
∴
11
12m =
11
4m 得 m=1，由双曲线的对称性知，直线 y=
2
1 x 与双曲线的交点
的 A、B 必关于直线 y=2x 对称.
∴存在 A、B 且求得 A(
11
2 ，
11
1 )，B(
11
2 ，
11
1 )
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