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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的表述方法的是( )
A.有一个 x∈R,使得 x2>3
B.对有些 x∈R,使得 x2>3
C.任选一个 x∈R,使得 x2>3
D.至少有一个 x∈R,使得 x2>3
【答案】 C
2.下列四个命题中,既是全称命题又是真命题的是( )
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数 x,使 x2>0
C.任意无理数的平方必是无理数
D.存在一个负数 x,使1
x
>2
【解析】 只有 A,C 两个选项中的命题是全称命题,且 A 显然
为真命题.因为 2是无理数,而( 2)2=2 不是无理数,所以 C 为假命
题.
【答案】 A
3.给出四个命题:①末位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的菱
形是正方形;③存在实数 x,x>0;④对于任意实数 x,2x+1 是奇数.下
列说法正确的是( )
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称命题
C.②③是特称命题
D.四个命题中有两个是假命题
【答案】 C
4.(2014·湖南高考)设命题 p:∀x∈R,x2+1>0,则¬p 为( )
A.∃x0∈R,x20+1>0 B.∃x0∈R,x20+1≤0
C.∃x0∈R,x20+1<0 D.∀x∈R,x2+1≤0
【解析】 根据全称命题的否定为特称命题知 B 正确.
【答案】 B
5.下列四个命题:
p1:∃x∈(0,+∞),
1
2 x<
1
3 x;
p2:∃x∈(0,1),log1
2
x>log1
3
x;
p3:∀x∈(0,+∞),
1
2 x>log1
2
x;
p4:∀x∈ 0,1
3 ,
1
2 x<log1
3
x.
其中的真命题是( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
【解析】 取 x=1
2
,
则 log1
2
x=1,log1
3
x=log32<1,p2 正确.
当 x∈ 0,1
3 时,
1
2 x<1,而 log1
3
x>1,p4 正确.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·大同二诊)已知命题 p:“∃x0∈R,sin x0>1”,则¬p 为
________.
【解析】 根据特称命题的否定为全称命题,并结合不等式符号
的变化即可得出¬p 为∀x∈R,sin x≤1.
【答案】 ∀x∈R,sin x≤1
7.若∀x∈R,f(x)=(a2-1)x 是单调减函数,则 a 的取值范围是
________.
【解析】 由题意知,00, 即 a2<2,
a2>1, 解得
- 21 或 a<-1,
∴1n
B.∀n∈N*,f(n)∉N*或 f(n)>n
C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且 f(n0)>n0
D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或 f(n0)>n0
【解析】 写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃,并且否定
结论,注意把“且”改为“或”.
【答案】 D
2.(2015·合肥二模)已知命题 p:∀x∈R,2x<3x,命题 q:∃x0∈R,
x30=1-x20,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧(¬q)
C.(¬p)∧q D.(¬p)∧(¬q)
【解析】 对于命题 p,当 x=0 时,20=30=1,所以命题 p 为假
命题,¬p 为真命题;对于命题 q,作出函数 y=x3 与 y=1-x2 的图象,
可知它们在(0,1)上有一个交点,所以命题 q 为真命题,所以(¬p)∧q 为
真命题,故选 C.
【答案】 C
3.(2016·西城期末)已知命题 p:∃x0∈R,ax20+x0+1
2
≤0.若命题 p
是假命题,则实数 a 的取值范围是________.
【解析】 因为命题 p 是假命题,所以¬p 为真命题,即∀x∈R,
ax2+x+1
2>0 恒成立.当 a=0 时,x>-1
2
,不满足题意;当 a≠0 时,
要使不等式恒成立,则有
a>0,
Δ<0, 即
a>0,
1-4×1
2
×a<0, 解得
a>0,
a>1
2
, 所以 a>1
2
,即实数
a 的取值范围是
1
2
,+∞
.
【答案】
1
2
,+∞
4.(2016·日照高二检测)已知 p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,
x20+2x0-m-1=0,且 p∧q 为真,求实数 m 的取值范围.
【导学号:26160024】
【解】 2x>m(x2+1)可化为 mx2-2x+m<0.
若 p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,
则 mx2-2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立.
当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
当 m≠0 时,有 m<0,Δ=4-4m2<0,所以 m<-1.
若 q:∃x0∈R,x20+2x0-m-1=0 为真,
则方程 x20+2x0-m-1=0 有实根,
所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以 m≥-2.
又 p∧q 为真,故 p,q 均为真命题.
所以 m<-1 且 m≥-2,所以-2≤m<-1.
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