高中数学人教a版选修4-1模块综合检测（一）word版含解析 8页

模块综合检测(一) (时间 90 分钟，满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．如图，Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，该图中只有 x 个三角 形与△ABC 相似，则 x 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B 由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD，△BCD 均与△ABC 相似． 2．已知：如图，▱ABCD 中，EF∥AC 交 AD，DC 于 E，F 两点， AD，BF 的延长线交于点 M，则下列等式成立的是( ) A．AD2＝AE·AM B．AD2＝CF·DC C．AD2＝BC·AB D．AD2＝AE·ED 解析：选 A 在▱ABCD 中， ∵DF∥AB，∴AD AM ＝BF BM. ∵DM∥BC，∴BF BM ＝CF DC. ∵EF∥AC，∴AE AD ＝CF DC. ∴AD AM ＝AE AD ， ∴AD2＝AE·AM. 3．对于半径为 4 的圆在平面上的投影的说法错误的是( ) A．射影为线段时，线段的长为 8 B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为 8 C．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为 8 D．射影为圆时，圆的直径可能为 4 解析：选 D 由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为 8. 4.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，P 为 AB 上的点，且 AP∶ PB＝1∶3，PQ⊥PC，则 PQ 的长为( ) A．1 B.5 4 C.3 2 D. 2 解析：选 B ∵PQ⊥PC， ∴∠APQ＋∠BPC＝90°， ∴∠APQ＝∠BCP. ∴Rt△APQ∽Rt△BCP. ∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3， ∴PB＝3，AP＝1. ∴AP BC ＝AQ BP. 即 AQ＝AP·BP BC ＝1×3 4 ＝3 4 ， ∴PQ＝ AQ2＋AP2＝ 9 16 ＋1＝5 4. 5．如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且 PB ＝1 2BC，则PA PB 等于( ) A．2 B.1 2 C. 3 D．1 解析：选 C 利用切割线定理得 PA2＝PB·PC，又 PB＝1 3PC，∴PA2＝3PB2，∴PA PB ＝ 3. 6.如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35°，过 C 点的切 线 PC 与 AB 的延长线交于点 P，那么∠P 等于( ) A．15° B．20° C．25° D．30° 解析：选 B ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠POC＝2∠A＝70°. ∵OC⊥PC， ∴∠P＝90°－∠POC＝20°. 7.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过 C 点的切线 互相垂直，垂足为 D，∠DAB＝80°，则∠ACO 等于( ) A．30° B．35° C．40° D．45° 解析：选 C ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， 由此得∠ACO＝∠CAD. ∵OC＝OA， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠CAO. 故 AC 平分∠DAB， ∴∠CAO＝40°. 又∠ACO＝∠CAO， ∴∠ACO＝40°. 8.如图，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于 D 点，DP⊥ AC，垂足是 P，DH⊥BH，垂足是 H，下列结论：①CH＝CP；② ¼AD ＝ »DB ； ③AP＝BH；④DH 为圆的切线．其中一定成立的是( ) A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 解析：选 D 显然①可由△PCD≌△HCD 得到；②因为四边形 ABCD 为圆的内接四边 形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即 ¼AD ＝ »DB ，②成立；而③连接 BD，则 AD＝BD， ∠DAP＝∠DBH，所以 Rt△APD≌△BHD，得 AP＝BH，③成立；对于④不能判定 DH 是 圆的切线，故应选 D. 9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为 8，长轴的两端点到顶点的距离分别是 6 和 10，则椭圆的离心率为( ) A.3 5 B.4 5 C.1 2 D. 2 2 解析：选 C 如图所示为截面的轴面， 则 AB＝8，SB＝6，SA＝10， 则∠SBA＝π 2 ， cos ∠ASB＝3 5 ， cos ∠BSP＝cos1 2 ∠ASB＝ 1＋cos ∠ASB 2 ＝2 5 5 . ∴cos ∠SPB＝sin ∠BSP＝ 5 5 . ∴e＝cos ∠SPB cos ∠BSP ＝1 2. 10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，下列条件： ①∠B＋∠DAC＝90°， ②∠B＝∠DAC， ③CD AD ＝AC AB ， ④AB2＝BD·BC. 其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 解析：选 A 验证法：①不能判定△ABC 为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°， 而∠B＋∠DAB＝90°，则∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C，不能判定∠BAD＋∠DAC 等 于 90°；而②中∠B＝∠DAC，∠C 为公共角，则△ABC∽△DAC，又△DAC 为直角三角 形，所以△ABC 为直角三角形；在③中，由CD AD ＝AC AB 可得△ACD∽△BAD，则∠BAD＝∠C， ∠B＝∠DAC，所以∠BAD＋∠DAC＝90°；而④中 AB2＝BD·BC，即BD AB ＝AB BC ，∠B 为公 共角，则△ABC∽△DBA，即△ABC 为直角三角形．所以正确命题有 3 个． 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在题中的横线上) 11.(陕西高考)如图，△ABC 中，BC＝6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点 E，F，若 AC＝2AE，则 EF＝________. 解析：∵B，C，F，E 四点在同一个圆上， ∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACB， ∴AE AC ＝EF BC ， 即1 2 ＝EF 6 ， ∴EF＝3. 答案：3 12．如图，AB 是⊙O 的直径，¼AD ＝ ¼DE ，AB＝10，BD＝8，则 cos ∠BCE＝________. 解析：如图，连接 AD. 则∠ADB＝90°，且∠DAC＝∠B， 所以 cos ∠BCE＝cos ∠DAB ＝DA AB ＝ 102－82 10 ＝3 5. 答案：3 5 13.如图，PC 切⊙O 于点 C，割线 PAB 经过圆心 O，弦 CD⊥AB 于点 E，PC＝4，PB＝8，则 CD＝________. 解析：由于 PC 切⊙O 于点 C， 由切割线定理得 PC2＝PA·PB， ∴PA＝PC2 PB ＝42 8 ＝2， ∴AB＝PB－PA＝8－2＝6. 由于 CD⊥AB，且 AB 为圆 O 的直径， 由垂径定理知 CE＝DE，连接 OC， 在 Rt△OCP 中，由射影定理，得 OC2＝OE·OP， 则 OE＝OC2 OP ＝9 5 ， ∵CE2＝OE·EP＝9 5 × 5－9 5 ＝9 5 ×16 5 ， ∴CE＝12 5 ， ∴CD＝24 5 . 答案：24 5 14．如图，△ABC 中，AD∥BC，连接 CD 交 AB 于 E，且 AE∶ EB＝1∶2，过 E 作 EF∥BC 交 AC 于 F，若 S△ADE＝1，则 S△AEF＝________. 解析：∵AD∥BC， ∴△ADE∽△BCE. ∴BE AE ＝CE DE ＝2 1. ∵EF∥AD， ∴EF AD ＝CE DC ＝2 3. ∵△ADE 与△AFE 的高相同， ∴S△AEF S△ADE ＝EF AD ＝2 3. ∴S△AEF＝2 3. 答案：2 3 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15．(本小题满分 12 分)如图，已知 AB 为圆 O 的直径，CD 为垂直于 AB 的一条弦，垂足为 E，弦 AG 交 CD 于 F. (1)求证：E，F，G，B 四点共圆； (2)若 GF＝2FA＝4，求线段 AC 的长． 解：(1)证明：如图，连接 GB，由 AB 为圆 O 的直径可知∠AGB＝90°. 又 CD⊥AB，所以∠AGB＝∠BEF＝90°. 因此 E，F，G，B 四点共圆． (2)连接 BC. 由 E，F，G，B 四点共圆得 AF·AG＝AE·AB. 又 AF＝2，AG＝6， 所以 AE·AB＝12. 因为在 Rt△ABC 中，AC2＝AE·AB，所以 AC＝2 3. 16.(本小题满分 12 分)如图，已知⊙O 中，直径 AB 垂直于弦 CD， 垂足为 M，P 是 CD 延长线上一点，PE 切⊙O 于点 E，连接 BE 交 CD 于点 F，证明： (1)∠BFM＝∠PEF； (2)PF2＝PD·PC. 证明：(1)连接 OE. ∵PE 切⊙O 于点 E， ∴OE⊥PE. ∴∠PEF＋∠FEO＝90°. 又∵AB⊥CD， ∴∠B＋∠BFM＝90°. 又∵∠B＝∠FEO， ∴∠BFM＝∠PEF. (2)∵∠EFP＝∠BFM， ∴∠EFP＝∠PEF. ∴PE＝PF. 又∵PE2＝PD·PC， ∴PF2＝PD·PC. 17.(本小题满分 12 分)如图，圆 O 与圆 P 相交于 A，B 两点，圆 心 P 在圆 O 上，圆 O 的弦 BC 切圆 P 于点 B，CP 及其延长线交圆 P 于 D，E 两点，过点 E 作 EF⊥CE，交 CB 的延长线于点 F. (1)求证：B，P，E，F 四点共圆； (2)若 CD＝2，CB＝2 2，求出由 B，P，E，F 四点所确定的圆的直径． 解：(1)证明：如图，连接 PB. 因为 BC 切圆 P 于点 B，所以 PB⊥BC. 因为 EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°， 所以 B，P，E，F 四点共圆． (2)连接 PF，因为 B，P，E，F 四点共圆， 且 EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是 PF. 因为 BC 切圆 P 于点 B，且 CD＝2，CB＝2 2， 所以由切割线定理得 CB2＝CD·CE， 所以 CE＝4，所以 DE＝2，则 BP＝PE＝1. 又因为 Rt△CBP ∽Rt△CEF， 所以EF BP ＝CE CB ，得 EF＝ 2. 在 Rt△FEP 中，PF＝ PE2＋EF2＝ 3， 即由 B，P，E，F 四点确定的圆的直径为 3. 18．(本小题满分 14 分)如图所示，已知 PA 与⊙O 相切，A 为切点， PBC 为割线，弦 CD∥AP，AD，BC 相交于 E 点，F 为 CE 上一点，且 DE2＝EF·EC. (1)求证：∠P＝∠EDF； (2)求证：CE·EB＝EF·EP； (3)若 CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求 PA 的长． 解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC， ∴DE CE ＝EF ED. ∵∠DEF 是公共角， ∴△DEF∽△CED. ∴∠EDF＝∠C. ∵CD∥AP， ∴∠C＝∠P. ∴∠P＝∠EDF. (2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA， ∴△DEF∽△PEA. ∴DE PE ＝EF EA.即 EF·EP＝DE·EA. ∵弦 AD，BC 相交于点 E， ∴DE·EA＝CE·EB. ∴CE·EB＝EF·EP. (3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9. ∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6. ∵CE·EB＝EF·EP， ∴9×6＝4×EP. 解得：EP＝27 2 . ∴PB＝PE－BE＝15 2 ，PC＝PE＋EC＝45 2 . 由切割线定理得：PA2＝PB·PC， ∴PA2＝15 2 ×45 2 .∴PA＝15 2 3.