高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_3幂函数互动课堂学案新人教A版必修11 5页

2.3 幂函数 互动课堂 疏导引导 一、幂函数的定义 一般地,函数 y=xα叫做幂函数,其中,x 是自变量,α是常数. 疑难疏引 1.我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然 y=x、y=x 2 是幂函数,但并不是所有的 一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2+1 都不是幂函数,它们并不满足幂函数的 定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数 的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同. 掌握幂函数的关键一定要明确“形如 y=xα的函数”这句话的重要作用. 2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握: (1)当指数 n 是正整数时,定义域是 R. (2)当指数 n 是正分数时,设 n= q p (p、q 是互质的正整数,q>1),则 x n=x q p = q px . 如果 q 是奇数,定义域是 R; 如果 q 是偶数,定义域是［0,+∞). (3)当指数 n 是负整数时,设 n=-k, x n= kx 1 ,显然 x 不能为零,所以定义域是{x|x∈R 且 x≠0}. (4)当指数 n 是负分数时,设 n=- q p (p、q 是互质的正整数,q>1),则 x n= q p x 1 = q px 1 . 如果 q 是奇数,定义域是{x|x∈R,且 x≠0}; 如果 q 是偶数,定义域是(0,+∞). 3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的 定义域不同,即指数函数 y=a x 中,指数是自变量,而幂函数 y=xα中,底数是自变量.当然,由此 可见,二者的对应关系和值域也不同. 二、幂函数的图象和性质 如图所示,幂函数有如下性质: 1.所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1); 2.如果 a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数; 3.如果 a<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向于原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴,当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴. 疑难疏引 研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数 y=x 2、y=x 3 及 y=x 2 1 的图象研究归纳 y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数 y=x -2、y=x -3 及 y=x- 2 1 的图象研究归纳 y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有: (1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去 进行讨论. (2)对于幂函数 y=x n(n>0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象 的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,01三种情况下曲线的基本形状, 还要注意 n=0,±1 三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来 记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即 n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0 时图象是双曲线 型;n>1 时图象是竖直抛物线型;00)单调递减 且 3.14<π,∴3.14 3 4 >π 3 4 . (2)由于 y=x- 5 3 这个幂函数是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). 因此,(- 2 ) - 5 3 =-( 2 ) - 5 3 ,(- 3 ) - 5 3 =-( 3 ) - 5 3 . 而 y=x- 5 3 (x>0)单调递减,且 2 < 3 , ∴( 2 ) - 5 3 >( 3 ) - 5 3  -( 2 ) - 5 3 <-( 3 ) - 5 3 ,即(- 2 ) - 5 3 <(- 3 ) - 5 3 . 【溯源】幂函数中的比较大小问题特别常见,主要是考查幂函数的概念和基本性质中的单调 性,在解答这部分内容的考题时,数形结合是最佳的选择,如果是选择题则主要有两种思考方 式:一种是直接肯定式的思考方式,另一种是间接否定式的思考方式. 三、幂函数的实际应用 ●案例 2 某工厂从 t 年到 t+2 年新产品的成本共下降了 51%,若两年下降的百分率相同,则每 年下降的百分率为( ) A.30% B.25.5% C.24.5% D.51% 【探究】 本题考查幂函数的实际应用,涉及到平均增长率公式的应用和参数的思想,题设中 没有年份和成本的具体数,学生要敢于设未知参数. 设 t 年的成本为 a,每年下降的百分率为 x,则 t+2 年的成本为 a(1-x) 2, ∴ a xaa 2)1(  =51%,解得 x=30%. 因此,选 A. 【溯源】依据幂函数去解决有关增长率问题是今后考查的一个重点内容,其解题的关键是如 何建立恰当的数学模型. 活学巧用 1. 已知函数:①y=x-1;②y=x2+2x;③y=2x;④ y=x- 2 1 ;⑤y=x0;⑥y=2x 中,是幂函数的有. 【思路解析】 由于幂函数中,变量的系数是 1,而且没有其他的与之相加减的项,所以容易判 断答案.另外特别注意幂函数和指数函数的区别:指数函数 y=a x 中,指数是自变量,而幂函数 y=xα中,底数是自变量. 【答案】 ④⑤ 2. 当 m 为何值时,幂函数 y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3 的图象同时通过点(0,0)和(1,1)？ 【思路解析】 因为是幂函数,则 m 2-5m+6=1,又过(0,0)和(1,1)点,则 m 2-2m-3>0. 【答案】 ∵y=(m 2-5m+6)x m2-2m-3 是幂函数, ∴m 2-5m+6=1,得 m= 2 55  . 又∵函数图象过(0,0)和(1,1)点, ∴m 2-2m-3>0,则有(m-1) 2>4,得 m>3 或 m<-1. ∴m= 2 55  (舍去),即 m= 2 55  . 3. 分别写出幂函数 y=x 2 1 和 y=x- 2 1 的定义域. 【思路解析】 本题主要考查了分数指数幂的相关知识,可以把它们化为根式形式,然后再进 行 观察 得 到相 应的 结 果. 因 为 y=x 2 1 =x,所 以要 想 此函 数有 意 义 , 则 x ≥ 0,又 因为 y=x- 2 1 = x 1 ,所以可得到 x>0.另外要注意到要表达成集合的形式. 【答案】 {x| x≥0},{x| x>0}. 4．下列 4 个幂函数,在(-∞,0)上不是增函数的是( ) A.y=x 3 1 B.y=x3 C.y=x- 3 2 D.y=x- 4 1 【思路解析】 根据幂函数的性质知,函数 y=x 3 1 在 R 上是单调递增的, ∴在(-∞,0)上也是增函数; 函数 y=x3 在 R 上是单调递增的, ∴在(-∞,0)上也是增函数;函数 y=x- 3 2 在(-∞,0)上是单调递增的,在 R +上是单调递减的; 函数 y=x- 4 1 的定义域是 R +,在(-∞,0)上没有定义, ∴函数 y=x- 4 1 在(-∞,0)上不是增函数.综上所述,选 D. 【答案】 D 5． 函数 y=(3x-2) 2 1 +(2-3x)- 3 1 的定义域为. 【思路解析】 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围,本题中有两个限制条 件,(3x-2) 2 1 的底数非负,(2-3x)- 3 1 的底数非零. 依题意得      03x2 023x         3 2x 3 2x  x> 3 2 . 【答案】 ( 3 2 ,+∞) 6. 已知函数 y=xa,y=xb,y=xc 的图象如图所示,则 a、b、c 的大小关系为( ) A.cb. 综上,a>b>c.因此,选 A. 【答案】 A 7. 已知幂函数 y=x n1,y=x n2,y=x n3,y=x n4 在第一象限内的图象分别是 C 1、C 2、C 3、C 4(如图), 则 n 1、n 2、n 3、n 4、0、1 的大小关系是. 【思路解析】 结合幂函数在第一象限的图象来判断. 【答案】 n 1