高中数学类比推理专题 27页

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  • 2021-06-16 发布

高中数学类比推理专题

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1.设△ 的三边长分别为 △ 的面积为 ,内切圆半径为 , 则 .类比这个结论可知:四面体 的四个面的面积分别为 内切球的半径为 ,四面体 的体积为 ,则 =( ) A. B. C. D. 2.如图所示,面积为 S的平面凸四边形的第 i条边的边长记为 ia( 4,3,2,1i ), 此四边 形内任一点 P 到第 i 条边的 距离记为 ih ( 4,3,2,1i ),若 kaaaa  4321 4321 ,则 k Shhhh 2432 4321  .类比以上性质,体积 为V 的三棱锥的第 i个面的面积记为 iS( 4,3,2,1i ),此三棱锥内任一点Q到 第 i 个面的距离记为 iH ( 4,3,2,1i ),若 KSSSS  4321 4321 ,则 4321 432 HHHH  等于( ) A. 2V K B. 2 V K C. 3V K D. 3 V K 3.由直线与圆相切时,圆心到切点连线与直线垂直,想到平面与球相切时, 球心与切点连线与平面垂直,用的是 ( ) A.归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.传递性推理 4.我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 3 2 a, 类比上述结论,在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ( ) A. 6 3 a B. 6 4 a C. 3 3 a D. 3 4 a 5.平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是( ) A.三棱柱 B.三棱台 C.三棱锥 D.正方体 6.平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 3 2 a, 类比上述命题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 ( ) A. 4 3 a B. 5 4 a C. 6 3 a D. 6 4 a 7.天文学家经研究认为:“地球和火星在太阳系中各方面比较接近,而地球有 生命,进而认为火星上也有生命存在”,这是什么推理( ) A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.反证法 8.由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间 中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是 ( ) A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.联想推理 9.下列推理是归纳推理的是( ) A.A,B 为定点,动点 P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 13,11  naa n ,求出 321 ,, SSS 猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 C.由圆 222 ryx  的面积 2r ,猜想出椭圆 12 2 2 2  b y a x 的面积 S ab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 10.下列正确的是( ) A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是由特殊到一般的推理 C.归纳推理是由个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 11.①由“若 a,b,c∈R,则(ab)c=a(bc)”类比“若 a、b、c 为三个向量, 则(a·b)c=a(b·c)”; ②在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,猜想 an=2 n -2; ③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意 三个面的面积之和大于第四个面的面积”; 上述三个推理中,正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.下面几种推理中是演绎推理....的序号为( ) A.半径为 r圆的面积 2S r ,则单位圆的面积 S  ; B.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; C.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质; D.由平面直角坐标系中圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ,推测空间直角坐 标系中球的方程为 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c r      . 13.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球 切于四个面( ) A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 14.在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC的内切圆面积为 1S ,外接圆 面积为 2S ,则 1 2 1 4 S S  ,推广到空间几何中可以得到类似结论:若正四面体 A BCD 的内切球体积为 1V ,外接球体积为 2V ,则 1 2 V V  ( ) A. 1 4 B. 1 8 C. 1 16 D. 1 27 15.已知结论:“在正 ABC 中, BC中点为D,若 ABC 内一点G到各边 的距离都相等,则 2 GD AG ”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都 相等的四面体 ABCD中,若 BCD 的中心为M ,四面体内部一点O到四面 体各面的距离都相等,则  OM AO ( ▲ ) A.1 B.2 C.3 D.4 16.现有两个推理:①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间 中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”; ②由“若数列 na 为等差数列,则有 155 15211076 aaaaaa     成 立”类比“若数列 nb 为等比数列,则有 15 1521 5 1076 bbbbbb   成立”, 则得出的两个结论 A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. 都正确 D. 都不正确 17.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1:2.则它们的面积之比为 1:4.类 似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为 1:2,则它们的体积比为( ) A.1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:8 18.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 19.由“半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推理出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是( ) A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D.以上都不 是 20.学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子, 甲:由“若三角形周长为 l,面积为 S,则其内切圆半径 r= 2S l ”类比可得“若 三棱锥表面积为 S,体积为 V,则其内切球半径 r= 3V S ”; 乙:由“若直角三角形两直角边长分别为 a、b,则其外接圆半径 r= 2 2 2 a b ”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a、b、c, 则其外接球半径 r= 2 2 2 3 a b c  ”.这两位同学类比得出的结论( ) A.两人都对 B.甲错、乙对 C.甲对、乙错 D.两人都错 21.求“方程3 4 5x x x  的解”有如下解题思路:设 3 4( ) ( ) ( ) 5 5 x xf x   ,则 ( )f x 在 R上单调递减,且 (2) 1f  ,所以原方程有唯一解 2x  .类比上述 解题思路,方程 xx xx 11 3 3  的解为 . 22.已知正三角形内切圆的半径是高的 1 3 ,把这个结论推广到空间正四面体, 类似的结论是____________. 23 . 在 等 差 数 列  na 中 , 若 010 a , 则 有 nn aaaaaa  192121  )19(  Nnn ,且 成立.类比上述性质,在等比数列 nb 中,若 19 b , 则存在的类似等式为________________________. 24.半径为 r 的圆的面积 2( )s r r ,周长 ( ) 2C r r ,若将 r 看作(0,+ ∞)上的变量,则 2( ) ' 2r r  ①,①式用语言可以叙述为:圆的面积函数的 导数等于圆的周长函数.对于半径为 R的球,若将 R看作 (0, )+¥ 上的变量, 请写出类比①的等式:____________________.上式用语言可以叙述为 _________________________. 25.已知圆的方程是 222 ryx  ,则经过圆上一点 ),( 00 yxM 的切线方程为 2 00 ryyxx  类比上述性质,可以得到椭圆 12 2 2 2  b y a x 类似的性质为 ________. 26.在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径 r= 2 2 2 a b ,将此结论类比到空间有________________________ 27.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS 则 4 8 4 12 8 16 12S S S S S S S      成等差 数 列 . 类 比 以 上 结 论 有 : 设 等 比 数 列  nb 的 前 n 项 积 为 nT  则 4T  , , 16 12 T T 成等比数列. 28.在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,斜边 AB 上的高为 h,则有结论 h2= ,运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a,b,c,且三棱锥的直角顶点到底面的高为 h,则有结论: . 29.已知边长分别为 a、b、c 的三角形 ABC 面积为 S,内切圆 O 半径为 r,连 接 OA、OB、OC,则三角形 OAB、OBC、OAC 的面积分别为 cr 2 1 、 ar 2 1 、 br 2 1 , 由 brarcrS 2 1 2 1 2 1  得 cba Sr   2 ,类比得四面体的体积为 V,四个面 的面积分别为 4321 ,,, SSSS ,则内切球的半径 R=_________________ 30.已知点 ),(),,( 21 21 xx axBaxA 是函数 ( 1)xy a a  的图象上任意不同两点, 依据图象可知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 1 21 2 2 2 x xx xa a a   成 立 . 运 用 类 比 思 想 方 法 可 知 , 若 点 )sin,(),sin,( 2211 xxBxxA 是函数 )),0((sin  xxy 的图象上任意不同两 点,则类似地有_________________成立. 31.如图(1)有面积关系: PA B PAB S S    = PA PB PA PB    ,则图(2)有体积关系: P A B C P ABC V V     =________. 32.在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角 形,按如图所标边长,由勾股定理有 222 bac  .设想正方形换成正方体, 把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 LMNO  ,如果用 321 ,, SSS 表示三个侧面面积, 4S 表示截面面积,那么类 比得到的结论是 . 33.已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h的关系是: 1 3 r h ,把这个结论 推广到空间正四面体,则正四面体内切球的半径 r 与正四面体高 h的关系 是 . 34.在平面上,到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空 间中: (1)到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ; (2)到已知平面相等的点的轨迹是 . 35.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a的 正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积 恒为 2 4 a ;类比到空间,有两个棱长均为 a的正方体,其中一个的某顶点在另 一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ . 36.若等差数列 na 的首项为 1,a 公差为d ,前n项的和为 nS ,则数列{ }nS n 为 等差数列,且通项为 1 ( 1) 2 nS da n n     .类似地,请完成下列命题:若各项 均为正数的等比数列 { }nb 的首项为 1b ,公比为 q ,前 n 项的积为 nT , 则 . 37.对于问题:“已知关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为(-1,2), 解关于 x的不等式 02  cbxax ”,给出如下一种解法: 解:由 02  cbxax 的解集为(-1,2),得 0)()( 2  cxbxa 的解 集为(-2,1), 即关于 x的不等式 02  cbxax 的解集为(-2,1) 参考上述解法,若关于 x的不等式 0     cx bx ax k 的解集为(-1, 3 1  ) ( 2 1 ,1),则关于 x的不等式 0 1 1 1      cx bx ax kx 的解集为________________ 38.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4, 类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 ________. 39.已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于 A、B两点, 则当 AB与抛物线的对称轴垂直时, AB的长度最短;试将上述命题类比到其 他曲线,写出相应的一个真命题为 . 40.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”,三棱锥的侧面和底面分别 叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”;过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面 均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质:(1)斜边的中线长等于 斜边边长的一半;(2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方;(3)斜 边与两条直角边所成角的余弦平方和等于 1.写出直角三棱锥相应性质(至少 一条):_____________________. 42.通过圆与球的类比,由“半径为 R的圆的内接矩形中,以正方形的面积为 最大,最大值为 22R .”猜想关于球的相应命题为“半径为 R的球内接六面体 中以 的体积为最大,最大值为 ” 43.在平面内,三角形的面积为 S,周长为 C,则它的内切圆的半径 C Sr 2  .在 空间中,三棱锥的体积为 V,表面积为 S,利用类比推理的方法,可得三棱锥 的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径 R=______________________。 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题都选的只计算第 14 题的得分.) 44.已知结论:“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍”。若把 该结论推广到空间,则有结论: 45 . 在 等 差 数 列  na 中 , 若 010 a , 则 有 等 式 nn aaaaaa  192121 ),19( *Nnn  成立,类比上述性 质 , 在 等 比 数 列  nb 中 , 若 19 b , 则 有 等 式 . 46.已知命题“设 1 2,a a 是正实数,如果 1 2a a m  ,则有 1 2 1 1 4 a a m   ,用 类 比 思 想 推 广 ,” 设 1 2 3, ,a a a 是 正 实 数 , 如 果 1 2 3a a a m   , 则 。 47.在圆中有结论:如图所示,“AB 是圆 O的直径,直线 AC,BD 是圆 O 过 A, B的切线,P 是圆 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PO2 =PC·PD”.类比 到椭圆:“AB 是椭圆的长轴,直线 AC,BD 是椭圆过 A,B 的切线,P是椭圆上 任意一点,CD 是过 P的切线,则有__▲__.” 48.在平面几何中,已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”,类 比到空间写出你认为合适的结论: . . 49.若点 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a b a b     外,过点 0P 作该椭圆的两 条切线的切点分别为 1 2,P P ,则切点弦 1 2PP 所在直线的方程为 0 0 2 2 1x x y y a b   .那 么对于双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x ,类似地,可以得到一个正确的命题 为“若点 0 0 0( , )P x y 不在双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 上,过点 0P 作该双 曲线的两条切线的切点分别为 1 2,P P ,则切点弦 1 2PP 所在直线的方程 为 ”. 50.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几 何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比 命题的真假性是________ 51.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”,三棱锥的侧面和底面分别 叫直角三棱锥的“直角面和斜面”;过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均 称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质:“斜边的中线长等于斜边边 长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质: . 52.试通过圆和球的类比,由“半径为 R的圆内接矩形中,以正方形的面积最 大 , 最 大 值 为 22R ” , 猜 测 关 于 球 的 相 应 命 题 由 。 53.下列使用类比推理所得结论正确的序号是______________ (1)直线 , ,a b c,若 // , //a b b c,则 //a c .类推出:向量 , ,a b c    ,若 // , //a b b c     则 //a c   (2)同一平面内,三条不同的直线 , ,a b c,若 ,a c b c  ,则 //a b .类推出: 空间中,三条不同的直线 , ,a b c,若 ,a c b c  ,则 //a b (3)任意 , , 0a b R a b   则 a b .类比出:任意 , , 0a b C a b   则 a b (4)、以点 (0,0)为圆心, r为半径的圆的方程是 2 2 2x y r  .类推出:以点 (0,0,0)为球心, r为半径的球的方程是 2 2 2 2x y z r   54 . 等 差 数 列 有 如 下 性 质 , 若 数 列 }{ na 是 等 差 数 列 , 则 当 }{,21 n n n b n aaa b 数列时    也是等差数列;类比上述性质,相应地 }{ nc 是正项等比数列,当 nd 时,数列 }{ nd 也是等比数列。 55.在 Rt△ABC 中,CA⊥CB,斜边 AB 上的高为 h1,则 222 1 111 CBCAh  ;类 比此性质,如图,在四面体 P—ABC 中,若 PA,PB,PC 两两垂直,底面 ABC 上 的高为 h,则 h与 PA, PB, PC 有关系式: . D O 56.若{ }nb 是等比数列, , ,m n p是互不相等的正整数,则有正确的结论: 1 nm p p m n n p m b b b b b b                  .类比上述性质,相应地,若{ }na 是等差数列, , ,m n p 是 互 不 相 等 的 正 整 数 , 则 有 正 确 的 结 论: . . 57.我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有 矩形与圆中,圆的面积最大.将这些结论类比到空间,可以得到的结论 是 . 58.在平面直角坐标系中,以点 0 0( , )x y 为圆心, r 为半径的圆的方程为 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y r    ,类比圆的方程,请写出在空间直角坐标系中以点 0 0 0( , , )P x y z 为球心,半径为 r的球的方程为 . 59.在平面几何里,已知直角三角形 ABC 中,角 C 为 90 ,AC=b,BC=a,运用 类比方法探求空间中三棱锥的有关结论: 有三角形的勾股定理,给出空间中三棱锥的有关结论:________ 若三角形 ABC 的外接圆的半径为 2 2 2 a br   ,给出空间中三棱锥的有关结 论:________ 60.已知 P(x0,y0)是抛物线 y 2 =2px(p>0)上的一点,过 P 点的切线方程的斜率可 通过如下方式求得: 在 y 2 =2px 两边同时求导,得: 2yy'=2p,则 y'= p y ,所以过 P 的切线的斜率:k= 0 p y . 试用上述方法求出双曲线 x 2 - =1 在 P( , )处的切线方程为 . 61.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 AE AC EB BC = , 把这个结论类比到空间:在三棱锥 A-BCD 中(如图所示),平面 DEC 平分二面 角 A-CD-B且与 AB 相交于 E,则得到的类比的结论是________. 62.类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”,得空间相应的结 论为________. 63. 已知 O 是△ABC 内任意一点,连结 AO、BO、CO 并延长交对边于 A′,B ′,C′,则 ' ' AA OA + ' ' BB OB + ' ' CC OC =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. ' ' AA OA + ' ' BB OB + ' ' CC OC = ABC OBC S S   + ABC OCA S S   + ABC OAB S S   = ABC ABC S S   =1, 请运用类比思想,对于空间中的四面体 V—BCD,存在什么类似的结论?并用 体积法证明. 64.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比,试由“平行四边形对边相 等”得出平行六面体的相关性质. 65.如图(1),在三角形 ABC中,AB AC ,若 AD BC ,则 2AB BD BC · ; 若类比该命题,如图(2),三棱锥 A BCD 中, AD 面 ABC,若 A点在三角 形 BCD所在平面内的射影为M ,则有什么结论?命题是否是真命题. 66.(本小题 12 分) 类比平面直 角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,并证明。 参考答案 1.C 【解析】 试题分析:设内切球的球心为 O,所以可将四面体 分为四个小的三棱锥,即 ,而四个小三棱锥的底面积分别是四面体 的 四 个 面 的 面 积 , 高 是 内 切 球 的 半 径 , 所 以 故选 C。 考点:类比推理。 【方法点睛】类比推理是一种重要的推理方法,可以根据已知题目方法推理出所求题目的方 法,甚至直接从形式上推理出答案。本题可以通过三角形面积与内切圆半径的关系的推导方 法,推理出四面体的体积与其内切球的半径的关系。三角形的内切圆的圆心与三个顶点相连 可将三角形分为三个小的三角形,每个小三角形的底边是原三角形的边,高为其内切圆的半 径,运用类比推理,可将四面体的内切球的球心将四面体分为四个小的四面体,每个小四面 体的底面是原四面体的四个面,高为其内切球的半径,从而得解。 2.C 【解析】 试题分析:类比,得 K VHHHH 3432 4321  ;证明如下:连接Q与三棱锥的四个顶 点 , 则 将 原 三 棱 锥 分 成 四 个 小 三 棱 锥 , 其 体 积 和 为 V , 即 VVVVV  4321 , VHSHSHSHS  )( 3 1 11111111 ,又由 KSSSS  4321 4321 , 得 KS 1 , KS 22  , KS 33  , KS 44  , 则 VHHHHK  )( 3 4321 , 即 K VHHHH 3432 4321  ,故选 C. 考点:类比推理. 【名师点睛】类比推理的应用一般分类比定义、类比性质和类比方法. 类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解; 类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比性问题,求解时要 认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; 类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,可将这种方法类比应用到其他问题的求解中, 注意知识的迁移. 3.C 【解析】 试题分析:类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其他属性也相 同的推理。本题中描述的都是关于相切问题下的性质,因此属于类比推理 考点:类比推理 4.A 【解析】 试题分析:此四棱锥的高为 2 2 2 3 6 3 2 3 a a a          , 所以此棱锥的体积为 2 31 1 6 2sin 60 3 2 3 12 V a a a        , 棱锥内任意一点到四个面的距离之和为h ,可将此棱锥分成 4个同底的小棱锥根据体积相等 可得 2 31 1 2sin 60 3 2 12 V a h a       , 解得 6 3 h a .故 A 正确. 考点:1 棱锥的体积;2类比推理. 5.C 【解析】 试题分析:一般平面几何中的点对应立体几何中的线,线对应平面,所以对应的是三棱锥. 考点:类比推理 6.C 【解析】 试题分析:设任一点O到四个平面 BCDACDABDABC ,,, 的距离分别为 4321 ,,, dddd , 则 正 四 面 体 的 体 积  43213 1 dSdSdSdSVVVVV BCDACDABDABCBCDOACDOABDOABCOBCDA   正 四 面 体 的 体 积 等 于  43213 1 3 1 ddddShSV   , 所 以 hdddd  4321 ,这样转化为求正四面体的高,求法,如图: 由点 A向平面BCD引垂线,垂足为 P ,连 BP ,这样在直角三角形 ABP内,根据勾股定理: aaaBPABhAP 3 6 3 3 2 222        ,故选 C. 考点:1.类比推理;2.等体积转化求高. 7.B 【解析】 试题分析:类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其他属性也相 同的推理. 考点:类比推理 8.B 【解析】 试题分析:圆的圆心三棱锥的球的球心,相同类型,用类比方法. 考点:类比推理. 9.B 【解析】 试题分析:A 选项用的双曲线的定义进行推理,不符合要求.B 选项根据前 3 个 1 2 3S S S, , 的值,猜想出 Sn的表达式,属于归纳推理,符合要求.C 选项由圆 x 2 +y 2 =r 2 的面积 S=πr 2 , 猜想出椭圆 2 2 2 2 1x y a b  = 的面积 S ab,用的是类比推理,不符合要求.D选项用的是演 绎推理,不符合要求.故选 B. 考点:归纳推理. 10.C 【解析】 试题分析:对于 A,类比推理是从个别到个别的推理,故 A 错;对于B:演绎推理是由一般到 特殊的推理,故B错;对于C:归纳推理是由个别到一般的推理,是正确的;对于D:合情 推理不可以作为证明的步骤,故D错;因此选C. 考点:推理方法. 11.C 【解析】 试题分析:①显然错误,向量没有结合律; ②根据 221  nn aa ,可构造出 )(21 mama nn  ,即 2m ,可得 2 2 21    n n a a ,该数列 是公比为2,首项是 221 a 的等比数列, 所以其通项公式为 n na 22  ,可得 22  n na , 正确; ③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三 个侧面的面积之和大于底面面积.正确. 考点:向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理. 12.A 【解析】 试题分析:根据演绎推理的定义,应该是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论, 只有 A 符合从特殊到一般这一特征. 考点:演绎推理的定义. 13.C 【解析】 试题分析:四面体的面可以与三角形的边类比,因此三边的中点也就类比成各三角形的中心, 故选 C. 考点:类比推理. 14.D 【解析】平面上,若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为 1:4,则它们的半径比为 1: 2,类似地,由平面图形面积类比立体图形的体积,得出:在空间内,若两个正四面体的外 接球的半径比为 1:3,则它以体积比为 1:27,故选 D 15.C 【解析】解:设正四面体 ABCD 边长为 1,易求得 AM= 6 3 ,又 O 到四面体各面的距离都相 等, 所以 O为四面体的内切球的球心,设内切球半径为 r,则有 r=3V /S 表 ,可求得 r即 OM= 6 12 , 所以 AO=AM-OM= 6 4 ,所以 AO OM =3 故答案为:3 16.C 【解析】因为在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个 面的面积之和大于第四个面的面积”成立。同理根据等差中项与等比中项性质可知也成立, 选 C 17.D 【解析】 试题分析: 由平面图形面积类比立体图形的体积,结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即 可解:平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类似地,由 平面图形面积类比立体图形的体积,得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2, 则它们的底面积之比为 1:4,对应高之比为 1:2,所以体积比为 1:8 故选 D 考点:类比推理 点评:本试题主要是考查了类比推理,类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的 一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去。 18.C 【解析】 试题分析:根据题意 ,由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象,那么最适合的 为平行四边形的运用,故可知答案为 C. 考点:类比推理 点评:主要是考查了类比推理的运用,属于基础题。 19.B 【解析】 试题分析:类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类 事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).所以,由“半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推理出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体的 体积最大”是类比推理。选 B。 考点:本题主要考查类比推理。 点评:简单题,类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用 一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). 20.C 【解析】利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的;把三条侧棱两两垂直的 三棱锥补成一个长方体,则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径,可求得其半径 r= 2 2 2 2 a b c  ,因此,乙同学类比的结论是错误的. 21.-1 或 1 【解析】 试 题 分 析 : 设   3 3 1 1f x x x x x         函 数 的 增 区 间 为  ,0  0, 且    1 0, 1 0f f   ,所以方程 xx xx 11 3 3  的解为-1 或 1 考点:方程与函数的互相转化 22.正四面体内切球的半径是高的 1 4 【解析】 试题分析:类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其他属性也相 同的推理。本题中正三角形内切圆类比到空间为正四面体内切球,因此类似的结论为正四面 体内切球的半径是高的 1 4 考点:类比推理 23. nn bbbbbb  172121  )17(  Nnn ,且 【解析】 试题分析:等差是加,等比就是乘,由已知,当 nn -19 时, 10n 右边-左边等于 nnn aaa   1921 .... =   02-19 10 an ,所以原式成立,当 10n 时,左边-右边等于   0192... 102120   anaaa nnn , 所 以 原 式 成 立 当 为 等 比 数 列 时 , 猜 想 nn bbbbbb  172121  )17(  Nnn ,且 ,当 nn 17 时, 9n 时,右边/左边 = 1...... 217 91721    n nnn bbbb 等式成立,当 nn 17 时,即 9n 时,右边/左边 = 1...... 172 91918    n nnn bbbb ,等式成立。 考点:1.类比推理;2.等差数列的性质;3.等比数列的性质. 24. 3 24( ) ' 4 3 R R  ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 【解析】 试题分析:根据导数的计算公式知: 3 24( ) ' 4 3 R R  ,用语言叙述为球的体积函数的导数 等于球的表面积函数. 考点:类比推理 25.经过椭圆 12 2 2 2  b y a x 上一点 )( 00 , yxP 的切线方程为 12 0 2 0  b yy a xx 【解析】圆的性质中,经过圆上一点 ),( 00 yxM 的切线方程就是将圆的方程中的一个 x与 y 分别用 )( 00 , yxM 的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆 12 2 2 2  b y a x 类似的性质为:过椭圆 12 2 2 2  b y a x 上一点 ),( 00 yxP 的切线方程为 12 0 2 0  b yy a xx . 26.在三棱锥 A—BCD 中,若 AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB=a,AC=b,AD=c,则此三 棱锥的外接球半径 R= 2 2 2 2 a b c  【解析】 试题分析:根据类比推理的特点,平面中的直角三角形应类比空间中三十个侧面两垂直的三 棱锥;平面中三角形的外接圆类比空间中三棱锥的外接球,于是答案应填:在三棱锥 A—BCD 中,若 AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥的外接球半径 R = 2 2 2 2 a b c  考点:合情推理. 27. 8 4 T T 12 8 T T 【解析】 试题分析:当数列是等差数列时 4 8 4 12 8 16 12S S S S S S S      成立,所以由类比推理可得: 当数列是等差数列时应为 8 4 T T 12 8 T T . 考点:类比推理. 28.h2= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a  【解析】 试题分析: 如图,设 PA、PB、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱, 三棱锥 P-ABC 的高为 PD=h, 连接 AD 交 BC 于 E, ∵PA、PB、PC 两两互相垂直, ∴PA⊥平面 PBC,PE⊂平面 PBC, ∴PA⊥PE,PA⊥BC, ∴AE⊥BC,PE⊥BC 2 2 2 2 2 b cP E b c    , 2 2 2 2 2 2 PA PEh PD PA PE     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ca b c b ca b c     = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a  考点:类比推理. 29. 1 2 3 4 3V S S S S   【解析】 试题分析:设球心为 O,分别连结四个顶点与球心 O,将四面体分割成底面面积分别为 4321 ,,, SSSS 高为 R 的三棱锥,其体积分别为 1 1 3 S R , 2 1 3 S R , 3 1 3 S R , 4 1 3 S R ,由 V= 1 1 3 S R + 2 1 3 S R + 3 1 3 S R + 4 1 3 S R得,R= 1 2 3 4 3V S S S S   . 考点:类比推理 30. 2 sin 2 sinsin 2121 xxxx    【解析】 试题分析:由于函数 ( 1)xy a a  的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段 AB 总是位 于 A、 B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 1 21 2 2 2 x xx xa a a   成立;而函数 )),0((sin  xxy 的图象上任意不同两点 )sin,(),sin,( 2211 xxBxxA 的线段总是位于 A、 B两点之间函数图象的下方,类比可知应有: 2 sin 2 sinsin 2121 xxxx    成立. 考点:类比推理. 31. PA PB PC PA PB PC       【解析】 试 题 分 析 : 过 点 p 作 直 线 ' 'AH  平 面 PAC , BH  平 面 PAC, ' ' ' ' ' 1 ' ' 3P A B C PB CV A H S  ; 1 3P ABC PACV BHS  2 2 1 1( ) ( 1) 2, (1 0) ( ) ( 1) 2, ( 1) f a a a f a a a             因 为 ' '/ /A H BH , 所 以 由 ( 1 ) 类 比 得 ' ' 'P A B C P ABC V V   = ' ' 1 ' ' 3 1 3 PB C PAC A H S BHS = ' ' ' 'PB PC A H PAPCBH = PA PB PC PA PB PC       考点:类比法. 32. 2 4 2 3 2 2 2 1 ssss  【解析】 试题分析:由正方形截下的一个直角三角形,有勾股定理 222 bac  ,即两边的平方等于 截边的平方,所以类比得 2 4 2 3 2 2 2 1 ssss  。 考点:合情推理的运用 33. 1 4 r h 【解析】 试题分析:球心到正四面体一个面的距离即球的半径 r,连接球心与正四面体的四 个顶点.把正四面体分成四个高为 r 的三棱锥,所以 4× 1 3 ×S×r= 1 3 ×S×h, 所以 r= 1 4 h(其中 S 为正四面体一个面的面积,h 为正四面体的高) 故答案为:r= 1 4 h. 考点:类比推理. 34.(1)圆柱面(2)两个平行平面 【解析】 试题分析:(1)因为在平面上,到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线,当这个 平面绕着定直线旋转半周,就变成了空间的情况,此时原来的两条平行直线绕定直线旋转半 周后变成了圆柱面,故在空间中,到定直线的距离等于定长的点的轨迹是圆柱面;(2)由在 平面上,到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线,当把定直线变成平面时,轨迹 的两条平行直线也相应变成两个平行平面,故到已知平面相等的轨迹是两个平行平面. 考点:类比推理. 35. 3 8 a 【解析】 试题分析:本题主要考查类比推理的知识点,解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类 比推理出空间正方体的性质特征,本题难度不是很大.同一个平面内有两个边长都是 a的正 方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 2 4 a ,类比 到空间有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方体 重叠部分的体积恒为 3 8 a . 考点:合情推理中的类比推理. 36.数列{ }n nT 为等比数列,且通项为 1 1( )nn nT b q  . 【解析】 试题分析:根据等差数列与等比数列类似原理,等差数列和的算术均值对应等比数列积的几 何均值,即数列 { }n nT 为等比数列,且通项为 1 1( )nn nT b q  . 考点:类比 37.(-3,-1)(1,2). 【解析】 试题分析:由 ax 2 +bx+c>0 的解集为(-1,2),得 a(-x) 2 +b(-x)+c>0 的解集为(-2,1), 发现-x∈(-1,2),则 x∈(-2,1) 若关于 x 的不等式 0     cx bx ax k 的解集为(−1, 3 1  )∪( 2 1 ,1), 则关于 x 的不等式 0 1 1 1      cx bx ax kx 可看成前者不等式中的 x用 1 x 代入可得, 则 1 x ∈(−1, 3 1  )∪( 2 1 ,1),即 x∈(-3,-1)∪(1,2), 故答案为(-3,-1)∪(1,2) . 考点:1.归纳推理;2.一元二次不等式的应用. 38.1∶8 【解析】考查类比的方法, 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 13 1 4 2 8 3 S hV S h V S hS h  = = = = ,所以体积比为 1∶8. 39.过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于 A、B两点,则当 AB与椭圆的长轴垂直时,AB的 长度最短( 2 22|| a bAB  ) 【解析】圆锥曲线有很多类似性质,“通径”最短是其中之一,答案可以填:过椭圆的焦点 作一直线与椭圆交于 A、 B 两点,则当 AB与椭圆的长轴垂直时, AB的长度最短 ( 2 22|| a bAB  ) 40.斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 【解析】(1)斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一;(2)三个直角面面积的平方和等于 斜面面积的平方;(3)斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于 1,等等. 41. 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c h    【解析】 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c h    . PA、PB、PC 两两互相垂直,PA⊥平面 PBC. 由已知 有 :PD= 22 cb bc  , . 22 PDa PDaPOh    222222 222 2 accbba cbah   即 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c h    42.正方体, 38 3 9 R 【解析】 43. 【解析】 44.正四面体的中心到顶点的距离是到对面中心距离的 3 倍 【解析】略 45. nn bbbbbb  172121  【解析】 考点:类比推理. 分析:根据等差数列与等比数列通项的性质,结合类比的规则,和类比积,加类比乘,由类 比规律得出结论即可. 解:在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n成立(n<19,n∈N * )., 故相应的在等比数列{bn}中,若 b9=1,则有等式 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N * ) 故答案为:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N * ). 46. 【解析】略 47.PF1•PF2=PC•PD 【解析】略 48.正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值. 【解析】 考点:类比推理. 分析:根据平面中的某些性质类比推理出空间中的某些性质,一般遵循“点到线”,“线到 面”,“面到体”等原则,由在平面几何中,已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个 定值”,是一个与线有关的性质,由此可以类比推出空间中一个与面有关的性质,由此即可 得到答案. 解答:解:∵平面几何中,已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”, 根据平面中边的性质可类比为空间中面的性质 则我们可以将“正三角形”类比为“正四面体”(或“正六面体”,即“正方体”) “到三边距离之和”类比为“到四(六)个面的距离之和” 故答案为:正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值 点评:本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的 相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想). 49. 12 0 2 0  b yy a xx 【解析】 解: 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a b a b     外,过点 0P 作该椭圆的两条切线的切点分别 为 1 2,P P , 则 切 点 弦 1 2PP 所 在 直 线 的 方 程 为 0 0 2 2 1x x y y a b   . 那 么 对 于 双 曲 线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 若点 0 0 0( , )P x y 不在双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 上,过点 0P 作该双曲线的两条切线的切点分别为 1 2,P P ,则切点弦 1 2PP 所在直线的方程为 12 0 2 0  b yy a xx 50.夹在两个平行平面间的平行线段相等;真命题 【解析】平面几何中的平行线类比空间的平行平面就得到相应的命题,根据面面平行的性质 定理可证得命题是真命题. 51.斜面的中面面积等于斜面面积的 1/4 【解析】解:根据题意,可得实施类比的思路:点变成线,线变成面,从二维平面转变到三 维空间; (1)直角三角形具有性质:“两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方”,可得 以下性质:直角三棱锥中,三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方; (2)直角三角形具有性质:“斜边的中线长等于斜边边长的一半”,可得 以下性质:直角三棱锥中,斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一. 故答案为:直角三棱锥中,三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方 直角三棱锥中,斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 52.半径为 R 的球内接长方体中,以正方体的体积最大,最大值为 3 9 38 R ; 【解析】解:在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时, 一般为:由平面几何中点的性质,类比推理空间几何中线的性质; 由平面几何中线的性质,类比推理空间几何中面的性质; 由平面几何中面的性质,类比推理空间几何中体的性质; 故由:“周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大”, 类比到空间可得的结论是: “半径为 R 的球的内接长方体中以正方体的体积为最大,最大值为 3 9 38 R ” 故答案为:“半径为 R 的球的内接长方体中以正方体的体积为最大,最大值为 3 9 38 R .” 53.(4) 【解析】(1)中,当 0, ,a a c     不一定平行.故不正确;(2)在空间中, ,a b可平 行,相交和异面.故不正确;(3)在复数范围内,只有当两个数全为实数时, 才能比较大小.故不正确;(4) 正确 54. 1 2 n nc c c 【 解 析 】 解 : 因 为 等 差 数 列 有 如 下 性 质 , 若 数 列 }{ na 是 等 差 数 列 , 则 当 }{,21 n n n b n aaa b 数列时    也是等差数列;类比上述性质,相应地 }{ nc 是正项等 比数列,当 nd 1 2 n nc c c 时,数列 }{ nd 也是等比数列。 55. 2222 1111 PCPBPAh  【解析】解:∵在平面上的性质,若 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高为 h,则有 222 1 111 CBCAh  我们类比到空间中,可以类比推断出: 在四面体 P-ABC 中,若 PA、PB、PC 两两垂直,底面 ABC 上的高为 h,有: 2222 1111 PCPBPAh  故答案为: 2222 1111 PCPBPAh  56. ( ) ( ) ( ) 0p n m p n mm a a n a a p a a      . 【解析】等差数列中的 nb 和 ma 可以类比等比数列中的 b n 和 a m , 等差数列中的 n mb a 可以类比等比数列中的 n m b a ,等差数列中的“差”可以类比等比数列 中的“商”.故 ( ) ( ) ( ) 0p n m p n mm a a n a a p a a      . 57.表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体与球中,球 的体积最大 【解析】 试题分析:表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体与球 中,球的体积最大 考点:本题主要考查类比推理的意义。 点评:类比推理,是一个观察几个结论是不是通过类比得到,本题解题的关键在于对于所给 的结论的理解. 58. 2 2 2 2 0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r      【解析】 试题分析:设 0 0 0( , , )P x y z 是球面上任一点, 由空间两点的距离公式可得 rzzyyxx  222 )()()(  , 故答案为: 2 2 2 2 0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r      考点:类比推理. 点评:类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其他属性也相同的 推理.简称类推、类比.它是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提,推出两个事物的 其他属性相同的结论的推理.立体几何中的类比推理主要体现在平面几何与立体几何的类 比. 59.在三棱锥 O-ABC 中,若三个侧面两两垂直,则 2 2 2 2 OAB OAC OBC ABCS S S S      ;在三棱 锥 O-ABC 中,若三个侧面两两垂直,且三条侧棱长分别为 a,b,c,则其外接球的半径为 2 2 2 2 a b cr    【解析】 试题分析:平面几何图形边长满足长度关系式,类比立体几何图形面积满足一定关系式,三 角形中同一点出发的两线垂直,类比立体几何中同一条棱出发的三面互相垂直,直角三角形 三边的平方关系类比立体几何中的三面平方关系得关系式 2 2 2 2 OAB OAC OBC ABCS S S S      直角三角形外接圆半径与两直角边有关系式,类比立体几何棱锥外接球半径与互相垂直的三 条棱有关系式 2 2 2 2 a b cr    考点:知识的类比迁移能力 点评:比较已知中给定的条件与所要类比的问题,找到他们之间的类似点,采用已知中的关 系式形式类比写出所求的关系式 60.2x-y- =0 【解析】用类比的方法对 =x 2 -1 两边同时求导得,yy'=2x,∴y'= , ∴y'= = =2, ∴切线方程为 y- =2(x- ),∴2x-y- =0. 61. ACD BCD SAE EB S   = 【解析】△ABC 中作 ED⊥AC 于 D,EF⊥BC 于 F,则 ED=EF. ∴ ACE BCE SAC AE BC S EB   = = , 类比:在三棱锥 A-BCD 中,过直线 AB 作一平面垂直于 CD,并交 CD 于点 H,则∠AHB 是二 面角 A-CD-B的平面角,连结 EH,则 EH 是∠AHB 的角平分线. ∴ ACD BCD SAE AH EB BH S   = = . 62.三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 【解析】平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象,从而有结论. 63.在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中: VE OE = h h1 = hS hS BCD BCD     3 1 3 1 1 = BCDV BCDO V V   . 【解析】在四面体 V—BCD 中,任取一点 O,连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点. 则 VE OE + DF OF + BG OG + CH OH =1. 在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中: VE OE = h h1 = hS hS BCD BCD     3 1 3 1 1 = BCDV BCDO V V   . 同理有: DF OF = VBCD VBCO V V   ; BG OG = VCDB VCDO V V   ; CH OH = VBDC VBDO V V   , ∴ VE OE + DF OF + BG OG + CH OH = BCDV VBDOVCDOVBCOBCDO V VVVV    = BCDV BCDV V V   =1. 64. S ABCD = S 1111 DCBA , S 11AADD = S 11BBCC , S 11AABB = S 11CCDD , 【解析】如图所示, 由平行四边形的性质可知 AB=DC,AD=BC, 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中, 我们猜想: S ABCD = S 1111 DCBA , S 11AADD = S 11BBCC , S 11AABB = S 11CCDD , 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知,此猜想是正确的. 65.命题是:三棱锥 A BCD 中, AD 面 ABC,若 A点在三角形 BCD所在平面内的射影 为M ,则有 2 ABC BCM BCDS S S△ △ △· 是一个真命题. 【解析】命题是:三棱锥 A BCD 中, AD 面 ABC,若 A点在三角形 BCD所在平面内的 射影为M ,则有 2 ABC BCM BCDS S S△ △ △· 是一个真命题. 证明如下: 在图(2)中,连结DM ,并延长交 BC于 E,连结 AE,则有 DE BC . 因为 AD 面 ABC,,所以 AD AE . 又 AM DE ,所以 2AE EM ED · . 于是 2 2 1 1 1 2 2 2ABC BCM BCDS BC AE BC EM BC ED S S                   △ △ △· · · · · . 【答案】(课本 26p 例 4) 猜想四面体有三个“直角面” 1 2 3, ,s s s 和一个斜面 s,类比勾股定理有 2 2 2 2 1 2 3s s s s   6 分 证明略。 【解析】略