人教A版数学必修一2-3幂函数 3页

§2.3 幂函数 一．教学目标： 1．知识技能 （1）理解幂函数的概念； （2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法 类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质. 3．情感、态度、价值观 （1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点 重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具 （1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知 阅读教材 P77 的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？ （2）以上问题中的函数有什么共同特征？ 让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以 1 （2）求平方 （3）求立方 （4）求算术平方根 （5）求－1 次方 2、上述的问题涉及到的函数，都是形如： y x ，其中 x 是自变量， 是常数. 探究新知 1．幂函数的定义 一般地，形如 y x （ xR）的函数称为幂孙函数，其中 x 是自变量， 是常数. 如 1 1 2 3 4, ,y x y x y x     等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2．研究函数的图像 （1） y x （2） 1 2y x （3） 2y x （4） 1y x （5） 3y x 一．提问：如何画出以上五个函数图像 引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电 脑软件画出以上五个数数的图像. 2y x 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 15 让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研 究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像，填 P91 探究中的表格 y x 2y x 3y x 1 2y x 1y x 定义域 R R R  | 0x x   | 0x x  奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限 单调增减性 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1 1x  ）； （2） x ＞0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐 渐上升）. 特别地，当 x ＞1， x ＞1 时， x ∈（0，1）， 2y x 的图象都在 y x 图象的下方，形状向下凸越大， 下凸的程度越大（你能找出原因吗？） 当∠α＜1 时， x ∈（0，1）， 2y x 的图象都在 y x 的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程 度越大（你能说出原因吗？） （3）α＜0 时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 在第一家限内，当 x 向原点靠近时，图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴，当 x 慢慢地变大时，图 象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 例题： 1．证明幂函数 ( ) [0, ]f x x 在 上是增函数 证：任取 1 2 1, [0, ),x x x  且 ＜ 2x 则 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   y x 1 2y x y=x3 y=x-1 0 = 1 2 1 2 1 2 ( )( )x x x x x x    = 1 2 1 2 x x x x   因 1 2x x ＜0， 1 2x x ＞0 所以 1 2( ) ( )f x f x ，即 ( ) [0, ]f x x  在 上是增函数. 思考： 我们知道 ，若 1 2 ( )( ) 0, 1( ) f xy f x f x   若 得 1 2( ) ( )f x f x ，你能否 用这种作比的方 法来证明 ( ) [0, ]f x x 在 上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？ 2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1） 1 1 6 62 , 3 （2） 3 3 2 2( 1) , ( 0)x x x  （3） 2 2 2 4 4( 4) , 4a    分析：利用幂函数的单调性来比较大小. 5．课堂练习 画出 2 3y x 的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式 （1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ 作业：P79 习题 2.3 第 2、3 题