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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a版选修4-1阶段质量检测(一)a卷word版含解析

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阶段质量检测(一) A 卷 一、选择题(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.如图,已知 AD DB = 4 5 ,DE∥BC,则 EC AC 等于( ) A.9 5 B.5 4 C.5 9 D.4 9 解析:选 C ∵DE∥BC,AD DB = 4 5 , ∴ AB DB = 9 5 .∴DB AB = 5 9 . 又∵ DB AB = EC AC ,∴ EC AC = 5 9 . 2.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD=3,CD=2,则 AC∶ BC的值是( ) A.3∶2 B.9∶4 C. 3∶ 2 D. 2∶ 3 解析:选 A Rt△ACD∽Rt△CBD, ∴ AC BC = AD CD = 3 2 . 3.在△ABC 中,AB=9,AC=12,BC=18,D 为 AC 上一点,DC=2 3 AC,在 AB上 取一点 E,得到△ADE.若图中的两个三角形相似,则 DE的长是( ) A.6 B.8 C.6或 8 D.14 解析:选 C 依题意,本题有两种情形: (1)如图 1,过 D作 DE∥CB交 AB于 E. 则 AD AC = DE CB . 又∵DC=2 3 AC, ∴ AD AC = 1 3 . ∴DE=1 3 BC=6. (2)如图 2,作∠ADE=∠B,交 AB于 E, 则△ADE ∽△ABC. ∴ AD AB = DE BC . 又∵AD=1 3 AC=4, ∴DE=AD·BC AB = 4×18 9 =8. ∴DE的长为 6或 8. 4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边 BC上的高,DE是 △ACD 的高,且 AC=5,CD=2,则 DE的值为( ) A.2 21 5 B. 21 5 C.3 21 5 D.2 12 5 解析:选 A AC2=CD·BC, 即 52=2×BC, ∴BC=25 2 . ∴AB= BC2-AC2= 252 4 -52=5 21 2 . ∵ DE AB = DC BC ,∴DE=2 21 5 . 5.如图,在 Rt△ABC 中,CD为斜边 AB上的高,若 BD=3 cm, AC=2 cm,则 CD和 BC的长分别为( ) A. 3 cm和 3 2 cm B.1 cm和 3 cm C.1 cm和 3 2 cm D. 3 cm和 2 3 cm 解析:选 D 设 AD=x, 则由射影定理得 x(x+3)=4, 即 x=1(负值舍去), 则 CD= AD·BD= 3(cm), BC= BD·AB= 33+1=2 3(cm). 6.如图,DE∥BC,S△ADE∶S 四边形DBCE=1∶8,则 AD∶DB的值为( ) A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶5 解析:选 C 由 S△ADE∶S 四边形DBCE=1∶8, 得 S△ADE∶S△ABC=1∶9. ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB 2= S△ADE S△ABC = 1 9 . ∴ AD AB = 1 3 , AD DB = 1 2 . 7.△ABC和△DEF满足下列条件,其中不一定使△ABC与△DEF相似的是( ) A.∠A=∠D=45°38′,∠C=26°22′,∠E=108° B.AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=16 C.BC=a,AC=b,AB=c,DE= a,EF= b,DF= c D.AB=AC,DE=DF,∠A=∠D=40° 解析:选 C A项中∠A=∠D,∠B=∠E=108°, ∴△ABC∽△DEF; B项中 AB∶AC∶BC=EF∶DE∶DF=2∶3∶4; ∴△ABC∽△EFD; D项中 AB AC = DE DF ,∠A=∠D, ∴△ABC∽△DEF; 而 C项中不能保证三边对应成比例. 8.在 Rt△ACB 中,∠C=90°,CD⊥AB于 D.若 BD∶AD=1∶4,则 tan∠BCD的值 是( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 解析:选 C 由射影定理得 CD2=AD·BD, 又 BD∶AD=1∶4. 令 BD=x,则 AD=4x(x>0), ∴CD2=4x2, ∴CD=2x,tan∠BCD=BD CD = x 2x = 1 2 . 9.如图,在▱ABCD中,E为 CD上一点,DE∶CE=2∶3,连接 AE, BE,BD且 AE,BD交于点 F,则 S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( ) A.4∶10∶25 B.4∶9∶25 C.2∶3∶5 D.2∶5∶25 解析:选 A ∵AB∥CD,∴△ABF∽△EDF. ∴ DE AB = DF FB = 2 5 . ∴ S△DEF S△ABF = 2 5 2= 4 25 . 又△DEF和△BEF等高. ∴ S△DEF S△EBF = DF FB = 2 5 = 4 10 . ∴S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25. 10.如图,已知 a∥b,AF BF = 3 5 , BC CD =3,则 AE∶EC等于( ) A.12 5 B. 5 12 C.7 5 D.5 7 解析:选 A ∵a∥b,∴ AE EC = AG CD , AF BF = AG BD . ∵ BC CD =3,∴BC=3CD,∴BD=4CD. 又 AF BF = 3 5 , ∴ AG BD = AF BF = 3 5 .∴ AG 4CD = 3 5 .∴AG CD = 12 5 . ∴ AE EC = AG CD = 12 5 . 二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.把答案填写在题中的横线上) 11.如图,设 l1∥l2∥l3,AB∶BC=3∶2,DF=20,则 DE=________. 解析:EF∶DE=AB∶BC=3∶2, ∴ DE DF = 2 5 ,又 DF=20,∴DE=8. 答案:8 12.如图,AB 与 CD相交于点 E,过 E作 BC的平行线与 AD 的延长线交于点 P,已 知∠A=∠C,PD=2DA=2,则 PE=________. 解析:∵PE∥BC,∠C=∠A, ∴∠PED=∠C=∠A. ∴△PDE∽△PEA. ∴ PE PA = PD PE , 即 PE2=PD·PA. 又 PD=2,DA=1, ∴PA=3. ∴PE2=2×3=6,故 PE= 6. 答案: 6 13.如图,在矩形 ABCD中,AB= 3,BC=3,BE⊥AC,垂足为 E, 则 ED=________. 解析:在 Rt△ABC中,BC=3,AB= 3, 所以∠BAC=60°. 因为 BE⊥AC,AB= 3,所以 AE= 3 2 . 在△EAD中,∠EAD=30°,AD=3, 由余弦定理知, ED2=AE2+AD2-2AE·AD·cos∠EAD = 3 4 +9-2× 3 2 ×3× 3 2 = 21 4 , 故 ED= 21 2 . 答案: 21 2 14.如图,▱ABCD中,N是 AB延长线上一点, BC BM - AB BN 的值为________. 解析:∵AD∥BM,∴ AB BN = DM MN . 又∵DC∥AN, ∴ DM MN = MC MB . ∴ DM+MN MN = MC+MB MB , 即 DN MN = BC BM . ∴ BC BM - AB BN = DN MN - DM MN = MN MN =1. 答案:1 三、解答题(本大题共 4小题,共 50分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12分)如图,△ABC 中,BC的中点为 D,∠ADB和∠ADC 的平分线 分别交 AB,AC于点M,N. 求证:MN∥BC. 证明:∵MD平分∠ADB, ∴ AD BD = AM MB . ∵ND平分∠ADC,∴ AD DC = AN NC . ∵BD=DC,∴ AM MB = AD BD = AD DC = AN NC . ∴MN∥BC. 16.(本小题满分 12分)如图,已知△ABC 中,AB=AC,AD是中 线,P是 AD上一点,过 C作 CF∥AB,延长 BP交 AC于点 E,交 CF 于点 F. 求证:BP2=PE·PF. 证明:连接 PC, ∵AB=AC,AD是中线, ∴AD是△ABC的对称轴, 故 PC=PB. ∠PCE=∠ABP. ∵CF∥AB, ∴∠PFC=∠ABP, 故∠PCE=∠PFC. ∵∠CPE=∠FPC, ∴△EPC∽△CPF, 故 PC PF = PE PC , 即 PC2=PE·PF, ∴BP2=PE·PF. 17.(本小题满分 12分)如图,四边形 ABCD是平行四边形,P是 BD上任意一点,过 P点的直线分别交 AB,DC于 E,F,交 DA,BC 的延长线于 G,H. (1)求证:PE·PG=PF·PH; (2)当过 P点的直线绕点 P旋转到 F,H,C重合时,请判断 PE,PC,PG的关系,并 给出证明. 解:(1)证明:∵AB∥CD,∴ PE PF = PB PD . ∵AD∥BC,∴ PH PG = PB PD . ∴ PE PF = PH PG .∴PE·PG=PF·PH. (2)关系式为 PC2=PE·PG. 证明:由题意可得到右图, ∵AB∥CD, ∴ PE PC = PB PD . ∵AD∥BC, ∴ PC PG = PB PD . ∴ PE PC = PC PG ,即 PC2=PE·PG. 18.(本小题满分 14分)如图(1),已知矩形 ABCD中,AB=1,点M在对角线 AC上, AM= 1 4 AC,直线 l过点M且与 AC垂直,与边 AD相交于点 E. (1)如果 AD= 3,求证点 B在直线 l上; (2)如图(2),如果直线 l与边 BC相交于点 H,直线 l把矩形分成的两部分的面积之比为 2∶7,求 AD的长; (3)如果直线 l分别与边 AD,AB相交于 E,G,当直线 l把矩形分成的两部分的面积之 比为 1∶6时,求 AE的长. 解:(1)证明:连接 BD,交 AC于 O点, ∵四边形 ABCD为矩形,∴OA=1 2 AC. ∵AM= 1 4 AC,∴AM=OM. 在 Rt△ABD中,AB=1,AD= 3, ∴BD= AB2+AD2=2. ∴BO=OA=AB=1. ∴△AOB是等边三角形.又 AM=OM, ∴BM⊥AO.∴点 B在直线 l上. (2)设 AD=a,则 AC= 1+a2. ∵∠EAM=∠CAD,∠AME=∠D=90°, ∴△AEM∽△ACD.∴AE AC = AM AD . 又 AM= 1 4 AC=1 4 1+a2, ∴AE=AC·AM AD = 1+a2 4a . 由 AE∥HC,得△AEM∽△CHM, ∴ AE HC = AM MC = 1 3 .∴HC=3AE. 又 BH=BC-HC=a-31+a2 4a = a2-3 4a , 而 S 梯形ABHE= 1 2 (AE+BH)·AB = 1 2 1+a2 4a + a2-3 4a ·1=a2-1 4a . ∵S 梯形ABHE∶S 梯形EHCD=2∶7, ∴S 梯形ABHE= 2 9 S 矩形ABCD= 2 9 a. ∴ a2-1 4a = 2 9 a. 解得 a=3,即 AD=3. (3)如图,由题意知直线 l分别交 AD,AC,AB于 E,M,G三点, 则有△AEG∽△DCA, ∴ AG AD = AE DC . ∵DC=1, ∴AE=AG AD . ∵S△AEG= 1 2 AE·AG, S△AEG S 多边形EGBCD = 1 6 , ∴ S△AEG S 矩形ABCD = 1 7 . ∴ 1 2 AE·AG AD·DC = 1 7 , 即 AE·AG AD = 2 7 . ∴AE2= 2 7 ,AE= 14 7 .