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- 2021-06-16 发布
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阶段质量检测(一) A 卷
一、选择题(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.如图,已知
AD
DB
=
4
5
,DE∥BC,则
EC
AC
等于( )
A.9
5
B.5
4
C.5
9
D.4
9
解析:选 C ∵DE∥BC,AD
DB
=
4
5
,
∴
AB
DB
=
9
5
.∴DB
AB
=
5
9
.
又∵
DB
AB
=
EC
AC
,∴
EC
AC
=
5
9
.
2.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD=3,CD=2,则 AC∶
BC的值是( )
A.3∶2 B.9∶4
C. 3∶ 2 D. 2∶ 3
解析:选 A Rt△ACD∽Rt△CBD,
∴
AC
BC
=
AD
CD
=
3
2
.
3.在△ABC 中,AB=9,AC=12,BC=18,D 为 AC 上一点,DC=2
3
AC,在 AB上
取一点 E,得到△ADE.若图中的两个三角形相似,则 DE的长是( )
A.6 B.8 C.6或 8 D.14
解析:选 C 依题意,本题有两种情形:
(1)如图 1,过 D作 DE∥CB交 AB于 E.
则
AD
AC
=
DE
CB
.
又∵DC=2
3
AC,
∴
AD
AC
=
1
3
.
∴DE=1
3
BC=6.
(2)如图 2,作∠ADE=∠B,交 AB于 E,
则△ADE ∽△ABC.
∴
AD
AB
=
DE
BC
.
又∵AD=1
3
AC=4,
∴DE=AD·BC
AB
=
4×18
9
=8.
∴DE的长为 6或 8.
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边 BC上的高,DE是
△ACD 的高,且 AC=5,CD=2,则 DE的值为( )
A.2 21
5
B. 21
5
C.3 21
5
D.2 12
5
解析:选 A AC2=CD·BC,
即 52=2×BC,
∴BC=25
2
.
∴AB= BC2-AC2=
252
4
-52=5 21
2
.
∵
DE
AB
=
DC
BC
,∴DE=2 21
5
.
5.如图,在 Rt△ABC 中,CD为斜边 AB上的高,若 BD=3 cm,
AC=2 cm,则 CD和 BC的长分别为( )
A. 3 cm和 3 2 cm B.1 cm和 3 cm
C.1 cm和 3 2 cm D. 3 cm和 2 3 cm
解析:选 D 设 AD=x,
则由射影定理得 x(x+3)=4,
即 x=1(负值舍去),
则 CD= AD·BD= 3(cm),
BC= BD·AB= 33+1=2 3(cm).
6.如图,DE∥BC,S△ADE∶S 四边形DBCE=1∶8,则 AD∶DB的值为( )
A.1∶4 B.1∶3
C.1∶2 D.1∶5
解析:选 C 由 S△ADE∶S 四边形DBCE=1∶8,
得 S△ADE∶S△ABC=1∶9.
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.
∴
AD
AB 2=
S△ADE
S△ABC
=
1
9
.
∴
AD
AB
=
1
3
,
AD
DB
=
1
2
.
7.△ABC和△DEF满足下列条件,其中不一定使△ABC与△DEF相似的是( )
A.∠A=∠D=45°38′,∠C=26°22′,∠E=108°
B.AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=16
C.BC=a,AC=b,AB=c,DE= a,EF= b,DF= c
D.AB=AC,DE=DF,∠A=∠D=40°
解析:选 C A项中∠A=∠D,∠B=∠E=108°,
∴△ABC∽△DEF;
B项中 AB∶AC∶BC=EF∶DE∶DF=2∶3∶4;
∴△ABC∽△EFD;
D项中
AB
AC
=
DE
DF
,∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF;
而 C项中不能保证三边对应成比例.
8.在 Rt△ACB 中,∠C=90°,CD⊥AB于 D.若 BD∶AD=1∶4,则 tan∠BCD的值
是( )
A.1
4
B.1
3
C.1
2
D.2
解析:选 C 由射影定理得 CD2=AD·BD,
又 BD∶AD=1∶4.
令 BD=x,则 AD=4x(x>0),
∴CD2=4x2,
∴CD=2x,tan∠BCD=BD
CD
=
x
2x
=
1
2
.
9.如图,在▱ABCD中,E为 CD上一点,DE∶CE=2∶3,连接 AE,
BE,BD且 AE,BD交于点 F,则 S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( )
A.4∶10∶25 B.4∶9∶25
C.2∶3∶5 D.2∶5∶25
解析:选 A ∵AB∥CD,∴△ABF∽△EDF.
∴
DE
AB
=
DF
FB
=
2
5
.
∴
S△DEF
S△ABF
=
2
5 2=
4
25
.
又△DEF和△BEF等高.
∴
S△DEF
S△EBF
=
DF
FB
=
2
5
=
4
10
.
∴S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.
10.如图,已知 a∥b,AF
BF
=
3
5
,
BC
CD
=3,则 AE∶EC等于( )
A.12
5
B. 5
12
C.7
5
D.5
7
解析:选 A ∵a∥b,∴
AE
EC
=
AG
CD
,
AF
BF
=
AG
BD
.
∵
BC
CD
=3,∴BC=3CD,∴BD=4CD.
又
AF
BF
=
3
5
,
∴
AG
BD
=
AF
BF
=
3
5
.∴ AG
4CD
=
3
5
.∴AG
CD
=
12
5
.
∴
AE
EC
=
AG
CD
=
12
5
.
二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.把答案填写在题中的横线上)
11.如图,设 l1∥l2∥l3,AB∶BC=3∶2,DF=20,则 DE=________.
解析:EF∶DE=AB∶BC=3∶2,
∴
DE
DF
=
2
5
,又 DF=20,∴DE=8.
答案:8
12.如图,AB 与 CD相交于点 E,过 E作 BC的平行线与 AD 的延长线交于点 P,已
知∠A=∠C,PD=2DA=2,则 PE=________.
解析:∵PE∥BC,∠C=∠A,
∴∠PED=∠C=∠A.
∴△PDE∽△PEA.
∴
PE
PA
=
PD
PE
,
即 PE2=PD·PA.
又 PD=2,DA=1,
∴PA=3.
∴PE2=2×3=6,故 PE= 6.
答案: 6
13.如图,在矩形 ABCD中,AB= 3,BC=3,BE⊥AC,垂足为 E,
则 ED=________.
解析:在 Rt△ABC中,BC=3,AB= 3,
所以∠BAC=60°.
因为 BE⊥AC,AB= 3,所以 AE= 3
2
.
在△EAD中,∠EAD=30°,AD=3,
由余弦定理知,
ED2=AE2+AD2-2AE·AD·cos∠EAD
=
3
4
+9-2× 3
2
×3× 3
2
=
21
4
,
故 ED= 21
2
.
答案:
21
2
14.如图,▱ABCD中,N是 AB延长线上一点,
BC
BM
-
AB
BN
的值为________.
解析:∵AD∥BM,∴
AB
BN
=
DM
MN
.
又∵DC∥AN,
∴
DM
MN
=
MC
MB
.
∴
DM+MN
MN
=
MC+MB
MB
,
即
DN
MN
=
BC
BM
.
∴
BC
BM
-
AB
BN
=
DN
MN
-
DM
MN
=
MN
MN
=1.
答案:1
三、解答题(本大题共 4小题,共 50分.解答应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 12分)如图,△ABC 中,BC的中点为 D,∠ADB和∠ADC 的平分线
分别交 AB,AC于点M,N.
求证:MN∥BC.
证明:∵MD平分∠ADB,
∴
AD
BD
=
AM
MB
.
∵ND平分∠ADC,∴
AD
DC
=
AN
NC
.
∵BD=DC,∴
AM
MB
=
AD
BD
=
AD
DC
=
AN
NC
.
∴MN∥BC.
16.(本小题满分 12分)如图,已知△ABC 中,AB=AC,AD是中
线,P是 AD上一点,过 C作 CF∥AB,延长 BP交 AC于点 E,交 CF
于点 F.
求证:BP2=PE·PF.
证明:连接 PC,
∵AB=AC,AD是中线,
∴AD是△ABC的对称轴,
故 PC=PB.
∠PCE=∠ABP.
∵CF∥AB,
∴∠PFC=∠ABP,
故∠PCE=∠PFC.
∵∠CPE=∠FPC,
∴△EPC∽△CPF,
故
PC
PF
=
PE
PC
,
即 PC2=PE·PF,
∴BP2=PE·PF.
17.(本小题满分 12分)如图,四边形 ABCD是平行四边形,P是
BD上任意一点,过 P点的直线分别交 AB,DC于 E,F,交 DA,BC
的延长线于 G,H.
(1)求证:PE·PG=PF·PH;
(2)当过 P点的直线绕点 P旋转到 F,H,C重合时,请判断 PE,PC,PG的关系,并
给出证明.
解:(1)证明:∵AB∥CD,∴
PE
PF
=
PB
PD
.
∵AD∥BC,∴
PH
PG
=
PB
PD
.
∴
PE
PF
=
PH
PG
.∴PE·PG=PF·PH.
(2)关系式为 PC2=PE·PG.
证明:由题意可得到右图,
∵AB∥CD,
∴
PE
PC
=
PB
PD
.
∵AD∥BC,
∴
PC
PG
=
PB
PD
.
∴
PE
PC
=
PC
PG
,即 PC2=PE·PG.
18.(本小题满分 14分)如图(1),已知矩形 ABCD中,AB=1,点M在对角线 AC上,
AM=
1
4
AC,直线 l过点M且与 AC垂直,与边 AD相交于点 E.
(1)如果 AD= 3,求证点 B在直线 l上;
(2)如图(2),如果直线 l与边 BC相交于点 H,直线 l把矩形分成的两部分的面积之比为
2∶7,求 AD的长;
(3)如果直线 l分别与边 AD,AB相交于 E,G,当直线 l把矩形分成的两部分的面积之
比为 1∶6时,求 AE的长.
解:(1)证明:连接 BD,交 AC于 O点,
∵四边形 ABCD为矩形,∴OA=1
2
AC.
∵AM=
1
4
AC,∴AM=OM.
在 Rt△ABD中,AB=1,AD= 3,
∴BD= AB2+AD2=2.
∴BO=OA=AB=1.
∴△AOB是等边三角形.又 AM=OM,
∴BM⊥AO.∴点 B在直线 l上.
(2)设 AD=a,则 AC= 1+a2.
∵∠EAM=∠CAD,∠AME=∠D=90°,
∴△AEM∽△ACD.∴AE
AC
=
AM
AD
.
又 AM=
1
4
AC=1
4
1+a2,
∴AE=AC·AM
AD
=
1+a2
4a
.
由 AE∥HC,得△AEM∽△CHM,
∴
AE
HC
=
AM
MC
=
1
3
.∴HC=3AE.
又 BH=BC-HC=a-31+a2
4a
=
a2-3
4a
,
而 S 梯形ABHE=
1
2
(AE+BH)·AB
=
1
2
1+a2
4a
+
a2-3
4a ·1=a2-1
4a
.
∵S 梯形ABHE∶S 梯形EHCD=2∶7,
∴S 梯形ABHE=
2
9
S 矩形ABCD=
2
9
a.
∴
a2-1
4a
=
2
9
a.
解得 a=3,即 AD=3.
(3)如图,由题意知直线 l分别交 AD,AC,AB于 E,M,G三点,
则有△AEG∽△DCA,
∴
AG
AD
=
AE
DC
.
∵DC=1,
∴AE=AG
AD
.
∵S△AEG=
1
2
AE·AG, S△AEG
S 多边形EGBCD
=
1
6
,
∴
S△AEG
S 矩形ABCD
=
1
7
.
∴
1
2
AE·AG
AD·DC
=
1
7
,
即
AE·AG
AD
=
2
7
.
∴AE2=
2
7
,AE= 14
7
.
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