高中数学（人教版a版必修一）配套课时作业：第二章基本初等函数（ⅰ）2-2-1第2课时word版含解析 9页

第 2 课时 对数的运算 课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、 求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用 对数． 1．对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝____________________； (2)loga M N ＝____________________； (3)logaMn＝__________(n∈R)． 2．对数换底公式 logab＝logcb logca(a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)； 特别地：logab·logba＝____(a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1)． 一、选择题 1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax C.logax n ＝loga n x D.logax logay ＝logax－logay 2．计算：log916·log881 的值为( ) A．18B. 1 18C.8 3D.3 8 3．若 log5 1 3·log36·log6x＝2，则 x 等于( ) A．9B.1 9C．25D. 1 25 4．已知 3a＝5b＝A，若1 a ＋1 b ＝2，则 A 等于( ) A．15B. 15 C．± 15D．225 5．已知 log89＝a，log25＝b，则 lg3 等于( ) A. a b－1B. 3 2b－1 C. 3a 2b＋1D.3a－1 2b 6．若 lga，lgb 是方程 2x2－4x＋1＝0 的两个根，则(lga b)2 的值等于( ) A．2B.1 2C．4D.1 4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．2log510＋log50.25＋(3 25－ 125)÷4 25＝ _____________________________________. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________. 9．2008 年 5 月 12 日，四川汶川发生里氏 8.0 级特大地震，给人民的生命财产 造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在 1935 年由美国加州理工学院的 地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级 M＝2 3lgE－3.2，其中 E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏 6.0 级地震释放的能量相当于 1 颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么 汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题 10．(1)计算：lg1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log89·log34； (2)已知 3a＝4b＝36，求2 a ＋1 b 的值． 11．若 a、b 是方程 2(lgx)2－lgx4＋1＝0 的两个实根，求 lg(ab)·(logab＋logba) 的值． 能力提升 12．下列给出了 x 与 10x 的七组近似对应值： 组号 一 二 三 四 五 六 七 x 0.30103 0.47711 0.69897 0.77815 0.90309 1.00000 1.07918 10x 2 3 5 6 8 10 12 假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________ 组．( ) A．二 B．四 C．五 D．七 13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的 75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的1 3 ？(结果保留 1 位有效数 字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 1．在运算过程中避免出现以下错误： loga(MN)＝logaM·logaN. loga M N ＝logaM logaN. logaNn＝(logaN)n. logaM±logaN＝loga(M±N)． 2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式： logab＝logcb logca(a>0 且 a≠1，c>0 且 c≠1，b>0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)logab·logba＝1； (2)log n m a b ＝m nlogab. 3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收 成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对 数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 第 2 课时 对数的运算 知识梳理 1．(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN (3)nlogaM 2.1 作业设计 1．C 2．C [log916·log881＝lg16 lg9 ·lg81 lg8 ＝4lg2 2lg3·4lg3 3lg2 ＝8 3.] 3．D [由换底公式，得－lg3 lg5 ·lg6 lg3·lgx lg6 ＝2， lgx＝－2lg5，x＝5－2＝ 1 25.] 4．B [∵3a＝5b＝A>0， ∴a＝log3A，b＝log5A. 由1 a ＋1 b ＝logA3＋logA5＝logA15＝2， 得 A2＝15，A＝ 15.] 5．C [∵log89＝a，∴lg9 lg8 ＝a. ∴log23＝3 2a. lg3＝ log23 log210 ＝ log23 1＋log25 ＝ 3a 2b＋1.] 6．A [由根与系数的关系可知 lga＋lgb＝2， lgalgb＝1 2. 于是(lga b)2＝(lga－lgb)2 ＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝22－4×1 2 ＝2.] 7.6 5－3 解析 原式＝2(log510＋log50.5)＋( 3 25 4 25 － 125 4 25 ) ＝2log5(10×0.5)＋ 2 1 3 1 3 2 2 25 5    ＝2＋ 1 65 －5＝6 5－3. 8．1 解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. 9．1000 解析 设里氏 8.0 级、6.0 级地震释放的能量分别为 E2、E1， 则 8－6＝2 3(lgE2－lgE1)，即 lgE2 E1 ＝3. ∴E2 E1 ＝103＝1000， 即汶川大地震所释放的能量相当于 1000 颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log89·log34 ＝lg(1 2 ×8 5 ×12.5)－2lg3 3lg2·2lg2 lg3 ＝1－4 3 ＝－1 3. 方法二 lg1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log89·log34 ＝lg1 2 －lg5 8 ＋lg25 2 －lg9 lg8·lg4 lg3 ＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－2lg3 3lg2·2lg2 lg3 ＝(lg2＋lg5)－4 3 ＝1－4 3 ＝－1 3. (2)方法一 由 3a＝4b＝36 得：a＝log336，b＝log436， 所以2 a ＋1 b ＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1. 方法二 因为 3a＝4b＝36，所以 1 36a ＝3, 1 36b ＝4， 所以( 1 36a )2· 1 36b ＝32×4， 即 2 1 36a b  ＝36，故2 a ＋1 b ＝1. 11．解 原方程可化为 2(lgx)2－4lgx＋1＝0. 设 t＝lgx，则方程化为 2t2－4t＋1＝0， ∴t1＋t2＝2，t1·t2＝1 2. 又∵a、b 是方程 2(lgx)2－lgx4＋1＝0 的两个实根， ∴t1＝lga，t2＝lgb， 即 lga＋lgb＝2，lga·lgb＝1 2. ∴lg(ab)·(logab＋logba) ＝(lga＋lgb)·(lgb lga ＋lga lgb) ＝(lga＋lgb)·lgb2＋lga2 lga·lgb ＝(lga＋lgb)·lga＋lgb2－2lga·lgb lga·lgb ＝2× 22－2×1 2 1 2 ＝12， 即 lg(ab)·(logab＋logba)＝12. 12．A [由指数式与对数式的互化可知， 10x＝N⇔x＝lgN， 将已知表格转化为下表： 组号 一 二 三 四 五 六 七 N 2 3 5 6 8 10 12 lgN 0.30103 0.47711 0.69897 0.77815 0.90309 1.00000 1.07918 ∵lg2＋lg5＝0.30103＋0.69897＝1， ∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确， ∵lg8＝3lg2＝3×0.30103＝0.90309， ∴第五组对应值正确． ∵lg12＝lg2＋lg6＝0.30103＋0.77815＝1.07918， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．] 13．解 设这种放射性物质最初的质量是 1，经过 x 年后，剩余量是 y，则有 y＝0.75x. 依题意，得1 3 ＝0.75x，即 x＝ lg1 3 lg0.75 ＝ －lg3 lg3－lg4 ＝ lg3 2lg2－lg3 ＝ 0.4771 2×0.3010－0.4771 ≈4. ∴估计约经过 4 年，该物质的剩余量是原来的1 3.