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- 2021-06-16 发布
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课时分层作业(五) 复数的几何意义
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.在复平面内,复数z=sin 2+icos 2对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D [∵sin 2>0,cos 2<0,
∴复数z对应的点(sin 2,cos 2)在第四象限.故选D.]
2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,则下列各式正确的是( )
A.z1>z2 B.z1<z2 C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|
D [不全为实数的两个复数不能比较大小,排除选项A,B.
又|z1|=,|z2|=,∴|z1|<|z2|.
故选D.]
3.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2+i,则z2=( )
A.2+i B.-2+i C.2-i D.-2-i
B [因为z1=2+i,所以z1在复平面内对应点的坐标为(2,1),由复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,可知z2在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),所以z2=-2+i.]
4.已知复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则( )
A.a≠2或a≠1 B.a≠2,且a≠1
C.a=0 D.a=2或a=0
D [由题意,得a2-2a=0,得a=0或a=2.故选D.]
5.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量对应的复数为( )
A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i
B [因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为
B(-2,1),所以对应的复数为-2+i.]
二、填空题
6.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=______.
-2+3i [复数z1=2-3i对应的点为(2,-3),则z2对应的点为(-2,3),所以z2=-2+3i.]
7.已知在△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________.
-1-5i [因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3),又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.]
8.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=______.
[因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|==.]
三、解答题
9.已知复数z1=-i,z2=-+i.
(1)求||,||的值并比较大小;
(2)设z∈C,且z在复平面内对应的点为Z,则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形?作图表示.
[解] (1)||=|+i|==2,
||===1.
所以||>||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|,得1≤|z|≤2.
不等式1≤|z|≤2等价于不等式组
因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界),
而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界),
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界),如图中阴影部分所示.
10.已知x,y∈R,若x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1)i互为共轭复数,求复数z=x+yi和.
[解] 若两个复数a+bi与c+di共轭,
则a=c,且b=-d.
由此可得到关于x,y的方程组
解得或所以或
11.向量对应的复数是5-4i,向量2对应的复数是-5+4i,则1+2对应的复数是( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
C [因为向量对应的复数是5-4i,向量2对应的复数是-5+4i,所以1=(5,-4),2=(-5,4),所以1+2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以1+2对应的复数是0.]
12.(多选题)下列命题中,真命题是( )
A.复数的模是非负实数
B.复数等于零的充要条件是它的模等于零
C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
ABC [任意复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=≥0总成立.∴A正确;
由复数相等的条件z=0⇔⇔|z|=0,故B正确;
若z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),
若z1=z2,则有a1=a2,b1=b2,∴|z1|=|z2|,
反之由|z1|=|z2|,推不出z1=z2,
如z1=1+3i,z2=1-3i时|z1|=|z2|,故C正确;
不全为零的两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,∴D错.]
13.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C,若=x+y(x,y∈R),则x+y的值是________.
5 [由复数的几何意义可知,
=x+y,
即3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),
∴3-2i=(y-x)+(2x-y)i,
由复数相等可得,
解得
∴x+y=5.]
14.(一题两空)若t∈R,t≠-1且t≠0,复数z=+i,则当t=________时,|z|的最小值为________.
- [|z|2=+≥2··=2,
当且仅当=,即t=-时取等号,∴|z|min=.]
15.已知O为坐标原点,O1对应的复数为-3+4i,O2对应的复数为2a+i(a∈R).若O1与O2共线,求a的值.
[解] 因为O1对应的复数为-3+4i,O2对应的复数为2a+i,所以O1=(-3,4),O2=(2a,1).因为O1与O2共线,所以存在实数k使O2=k1,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以所以
即a的值为-.
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