2021届高考数学一轮总复习课时作业53直线与椭圆的位置关系含解析苏教版 6页

课时作业53　直线与椭圆的位置关系 一、选择题 ‎1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　B　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)‎ C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)‎ 解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.‎ 由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.‎ ‎2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　A　)‎ A．±　　　B．± C．±　　　D．±2‎ 解析：由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同理可得当k<0时k＝－.‎ ‎3．(2020·长春检测)椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　A　)‎ A．－　　　B．－ C．－　　　D．－ 解析：设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.‎ ‎4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　C　)‎ A．＋y2＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ 解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.‎ 6‎ ‎5．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　B　)‎ A．－3 B．－ C．－或－3 D．± 解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1.代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以两个交点坐标为A(0，－1)，B，所以·＝(0，－1)·＝－.同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.‎ ‎6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　C　)‎ A．2 B． C． D． 解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，‎ 消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，‎ 由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0即t2<5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎|AB|＝ ‎＝≤(当且仅当t＝0时取等号)．‎ ‎7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝(　B　)‎ A．60° B．90°‎ C．120° D．150°‎ 解析：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，‎ 由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，‎ 得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A，‎ 6‎ 又F(c,0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°.‎ ‎8.过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝.‎ 解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1‎ 6‎ ‎，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以‎2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.‎ ‎12．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为－.‎ 解析：过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆方程化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝，所以点P，直线OP的斜率k2＝－，所以k1k2＝－.‎ 三、解答题 ‎13．(2010·福州市模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(1，)在E上．‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋2与E交于A，B两点，若·＝2(O为坐标原点)，求k的值．‎ 解：(1)由题意得e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝a2　①，‎ 又点(1，)在E上，所以＋＝1　②，‎ 联立①②，解得 所以椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 联立得 消去y得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.‎ 由Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)>0，得k2>.‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4‎ ‎＝(1＋k2)·＋2k·＋4‎ ‎＝＋4，‎ 6‎ 因为·＝2，所以＋4＝2，‎ 得k2＝>，所以k＝±.‎ ‎14．(2020·合肥市模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．‎ 解：(1)由题意知，‎4a＝4，a＝.‎ 又e＝，∴c＝，b＝，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线，‎ 当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，‎ 则两式相减，‎ 得＋－＝0，‎ ‎∴＝－，‎ ＝－，‎ ‎∴·＝－，·＝－，‎ 即k·kOM＝－，∴kOM＝－.‎ 同理可得kON＝－，‎ ‎∴kOM＝kON，‎ ‎∴O，M，N三点共线．‎ ‎15．过椭圆＋＝1(a>b>0)上的动点M作圆x2＋y2＝的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求△EOF面积的最小值．‎ 解：设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 6‎ 由题意知PQ斜率存在，且不为0，所以x0y0≠0，‎ 则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝，所以直线PQ的方程为x0x＋y0y＝，‎ 可得E和F，‎ 所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，‎ 因为b2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，‎ 所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，‎ 当且仅当b2y＝a2x＝时取“＝”，‎ 故△EOF面积的最小值为.‎ 6‎