2021届高考数学一轮复习第七章不等式第2节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件新人教A版 51页

第 2 节　二元一次不等式 ( 组 ) 与简单的线性规划问题 考试要求　 1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 2. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 知 识 梳 理 1. 二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 不等式 表示区域   Ax ＋ By ＋ C >0 直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 某一侧的所有点组成的平面区域 不包括 _____________ Ax ＋ By ＋ C ≥ 0 包括 _____________ 不等式组 各个不等式所表示平面区域的 _____________ 边界直线 边界直线 公共部分 2. 点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) 和 P 2 ( x 2 ， y 2 ) 位于直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的两侧的充要条件是 ( Ax 1 ＋ By 1 ＋ C )( Ax 2 ＋ By 2 ＋ C )<0 ；位于直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 同侧的充要条件是 ( Ax 1 ＋ By 1 ＋ C )( Ax 2 ＋ By 2 ＋ C )>0. 3. 线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由 x ， y 的一次不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式组，是对 x ， y 的约束条件 目标函数 关于 x ， y 的解析式 线性目标函数 关于 x ， y 的一次解析式 可行解 满足 _____________________ 的解 ( x ， y ) 可行域 所有 __________ 组成的集合 最优解 使目标函数达到 __________ 或 __________ 的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的 _________ 或 _________ 的问题 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1) 直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2) 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取 (0 ， 1) 或 (1 ， 0) 来验证 . 2. 判定二元一次不等式表示的区域 (1) 若 B ( Ax ＋ By ＋ C )>0 时，区域为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方 . (2) 若 B ( Ax ＋ By ＋ C )<0 时，区域为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的下方 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 不等式 Ax ＋ By ＋ C ＞ 0 表示的平面区域一定在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方 .( 　　 ) (2) 线性目标函数的最优解可能是不唯一的 .( 　　 ) (3) 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 .( 　　 ) (4) 在目标函数 z ＝ ax ＋ by ( b ≠ 0) 中， z 的几何意义是直线 ax ＋ by － z ＝ 0 在 y 轴上的截距 .( 　　 ) 解析　 (1) 不等式 x － y ＋ 1>0 表示的平面区域在直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 的下方 . 答案　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 解析　 x － 3 y ＋ 6 ≥ 0 表示直线 x － 3 y ＋ 6 ＝ 0 及其右下方部分， x － y ＋ 2 ＜ 0 表示直线 x － y ＋ 2 ＝ 0 左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项 B. 答案　 B A.3 ，－ 3 B.2 ，－ 4 C.4 ，－ 2 D.4 ，－ 4 解析　 不等式组所表示的平面区域如图所示 . 答案　 C A.1 B.2 C.3 D.4 答案　 B 5. (2018· 北京卷 ) 若 x ， y 满足 x ＋ 1 ≤ y ≤ 2 x ，则 2 y － x 的最小值是 ________. 答案　 3 解析　 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分 ( 含边界 ) 所示，当直线 z ＝ ax ＋ y 和直线 AB 重合时， z 取得最大值的点 ( x ， y ) 有无数个， ∴ － a ＝ k AB ＝ 1 ， ∴ a ＝－ 1. 答案　 － 1 考点一　二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 答案　 (1)B 　 (2)D 规律方法　 平面区域的形状问题主要有两种题型： (1) 确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； (2) 根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论 . 考点二　求目标函数的最值　 多维探究 角度 1 　求线性目标函数的最值 答案　 C 规律方法　 求目标函数 z ＝ ax ＋ by 的最大值或最小值，先准确作出可行域，令目标函数 z ＝ 0 ，将直线 ax ＋ by ＝ 0 平行移动，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 . 角度 2 　求非线性目标函数的最值 解析　 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示 ( 包括边界 ). 答案　 A 角度 3 　求参数值或取值范围 答案　 B 规律方法　 当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件 . 解析　 (1) 作出已知约束条件对应的可行域 ( 图中阴影部分 ) ，由图易知，当直线 y ＝ 3 x － z 过点 C 时，－ z 最小，即 z 最大 . (2) 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示， z ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ y 2 ＝ ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 － 1 ，其几何意义是平面区域内的点 ( x ， y ) 到定点 ( － 1 ， 0) 的距离的平方再减去 1. 答案　 (1)9 　 (2)D 　 (3)C 考点三　实际生活中的线性规划问题 【例 3 】 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A ， B 两种原料 . 已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示 . 如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( 　　 )   甲 乙 原料限额 A ( 吨 ) 3 2 12 B ( 吨 ) 1 2 8 A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 可得目标函数在点 A 处取到最大值 . 则 z max ＝ 3 × 2 ＋ 4 × 3 ＝ 18( 万元 ). 答案　 D 规律方法　 1. 解线性规划应用题的步骤 . (1) 转化 —— 设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2) 求解 —— 解这个纯数学的线性规划问题； (3) 作答 —— 将数学问题的答案还原为实际问题的答案 . 2. 解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题 . 【训练 3 】 某旅行社租用 A ， B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行， A ， B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元 / 辆和 2 400 元 / 辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为 ( 　　 ) A.31 200 元 B.36 000 元 C.36 800 元 D.38 400 元 画出可行域如图中阴影部分所示， 答案　 C 直观想象 —— 高考命题中线性规划问题类型探析 直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律 . 线性规划问题是在一组约束条件下，利用数形结合求最优解，求解方法灵活，常考常新 . 类型 1 　目标函数含参数 解析　 由可行域 ( 如图 ) 易知直线 y ＝ a ( x ＋ 1) 过定点 P ( － 1 ， 0). 思维升华　 1. “ 目标函数 ” 含参，使问题从 “ 静态 ” 化为 “ 动态 ” ，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力 . 2. 当 “ 目标函数 ” 含参时，可先画出可行域，然后用数形结合思想，通过比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解 . 解析　 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z ＝ 2 x ＋ y 得 y ＝－ 2 x ＋ z ， 由图可知当直线 y ＝－ 2 x ＋ z 经过点 A 时，直线的纵截距最大， z 取最大值 . 当直线 y ＝－ 2 x ＋ z 经过点 B 时，直线的纵截距最小，此时 z 最小 . 答案　 B 思维升华　 当 “ 约束条件 ” 含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定 “ 约束条件 ” 中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题 . 答案　 B 思维升华　 1. 本例以函数为载体隐蔽 “ 约束条件 ” ，有效实现了知识模块的交汇，例 3 要求从题设中抓住本质条件，转化为关于 “ m ， n ” 的约束条件 . 2. 解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义 . 该题立意新颖，在注意基础知识的同时，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力 .