河南省2020届高三下学期3月在线网络联考数学（文）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com 高三数学（文科）试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知（为虚数单位），则复数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的除法可得，得解.‎ ‎【详解】解:由,‎ 则,‎ 即,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法，属基础题.‎ ‎2.设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数定义域的求法求出集合，再结合集合交集的运算求解即可.‎ ‎【详解】解：解不等式得或，‎ 即，‎ 又，‎ 即，‎ 故选：B.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求法及集合交集的运算，属基础题.‎ ‎3.已知数列的前项和为，且，则( )‎ A. 512 B. 1025 C. 256 D. 1024‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列的前项和与第项的关系可得，代入求解即可.‎ ‎【详解】解：由数列的前项和为，且，‎ 则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的前项和与第项的关系，属基础题.‎ ‎4.已知函数，则的单调递减区间为( )‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用正弦、余弦的二倍角公式可得，再令，，然后解不等式即可得解.‎ ‎【详解】解：， ‎ 令，，‎ 得，.‎ - 23 -‎ 故的单调递减区间为，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数单调区间的求法，属基础题.‎ ‎5.已知偶函数的定义域为，则函数在上的最大值为( )‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为偶函数，得及，可得，再求最值即可.‎ ‎【详解】解：由为偶函数，得，即，‎ 又定义域关于原点对称，‎ 故，‎ 得，‎ 则，‎ 故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，重点考查了对数函数最值的求法，属基础题.‎ ‎6.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则( )‎ A. B. -2 C. 0 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 由导数的几何意义可得，由两直线垂直可得，再求解即可.‎ ‎【详解】解：由函数，‎ 则，‎ 则，‎ 由曲线在点处的切线与直线垂直，‎ 则，即，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线的斜率，重点考查了直线垂直的运算，属基础题.‎ ‎7.如图所示的程序框图输出的的值为( )‎ A. 4 B. 6 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用程序框图的功能，逐步运算即可得解.‎ ‎【详解】解：当，，；‎ 当，，；‎ 当，，；‎ 当，，；‎ - 23 -‎ 当，，，跳出循环，‎ 故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的功能，重点考查了数据处理能力，属基础题.‎ ‎8.已知向量，，且，则的夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由向量的数量积求出，再结合向量夹角公式求解即可.‎ ‎【详解】解：因为，，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以，‎ 故的夹角为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的夹角的运算，重点考查了向量数量积的运算，属基础题.‎ ‎9.在四面体中，且，，，所成的角为30°，，，，则四面体的体积为( )‎ A. 8 B. 6 C. 7 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的面积，再求出点到面的距离，然后结合棱锥体积公式求解即可.‎ - 23 -‎ ‎【详解】解：由题意，如图所示，，，过点作的平行线，则平面，且为30°或150°，‎ 从点向作垂线，垂足为，‎ 易证平面.‎ 则点到平面的距离，‎ ‎，‎ 则四面体的体积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎10.设是的前项和，，且，则( )‎ A. -66 B. 77 C. 88 D. 99‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与的关系可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列前项和公式求解即可.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ - 23 -‎ 又，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了与的关系，重点考查了等差数列前项和公式，属基础题.‎ ‎11.某正四面体的外接球与内切球的表面积之差为，则该四面体的棱长为( )‎ A. 3 B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出正四面体外接球、内切球的半径，再结合球的表面积公式求解即可.‎ ‎【详解】解：设该正四面体的棱长为，外接球的半径为，内切球的半径为,‎ 由，得.‎ 由，得.‎ 因为，‎ 所以 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体外接球、内切球的求法，重点考查了球的表面积公式，属中档题.‎ ‎12.已知抛物线的准线与轴的交点为，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且，当最大时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的方程为( )‎ A. B. ‎ - 23 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先由抛物线的定义及点到直线的距离公式可得，设，再结合二次函数最值的求法可得，再求双曲线方程即可得解.‎ ‎【详解】解：过作准线的垂线交准线于，则，由，可得.‎ 设，则，‎ 令，则，‎ 当时，取到最大值，‎ 即当时，取到最大值，此时.‎ 不妨设，‎ 又因为双曲线的焦点坐标为，‎ 所以可设双曲线的方程为，‎ 将代入上式，求得，‎ 所以双曲线的方程为.‎ - 23 -‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义，重点考查了双曲线方程的求法，属中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设函数，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析分段函数解析式，再结合指数函数及对数函数求值问题求解即可.‎ ‎【详解】解：由函数，‎ 则，‎ 又，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了指数函数及对数函数求值问题，属基础题.‎ ‎14.一组数据的平均值为7，则的平均值是_________.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数为，则数据的平均数为，即可求解.‎ ‎【详解】设的平均值为，‎ 则的平均值为，‎ 所以，故的平均值为.‎ 故答案为：11‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查线性关系平均数的性质，属于基础题.‎ ‎15.若圆锥曲线的离心率为，则__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先讨论方程所表示的曲线类型，再结合离心率的求法求解即可.‎ ‎【详解】解：若表示椭圆，‎ 则，得，‎ 设离心率为，则，‎ 解得或，两解均不合题意；‎ 若表示双曲线，‎ 则，得，‎ 设离心率为，则，‎ 得（舍去）或.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题考查了方程所表示的曲线类型，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.‎ ‎16.定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为，则函数的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先理解新定义，再结合二次函数在闭区间上的最值的求法求解即可.‎ - 23 -‎ ‎【详解】解：设的“完美区间”为，易知.‎ 当时，由的图象知在上单调递减，‎ 所以，解得.‎ 此时.‎ 当时，①若，则，解得，此时；‎ ‎②若，则最小值为，不合题意；‎ ‎③若，则由图象知在上单调递增，‎ 所以，解得（舍去）， ‎ 综上，函数的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.在中，分别为角的对边，且，.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若，求外接圆的半径.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理，再结合三角形面积公式求解即可；‎ ‎（2）由余弦定理先求出，再结合正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由在中，分别为角的对边，且，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴外接圆的半径为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理得应用，重点考查了三角形面积公式，属基础题.‎ ‎18.拉丁舞，又称拉丁风情舞或自由社交舞，它是拉丁人民在漫长的历史长河中形成的，包含伦巴、恰恰、牛仔舞、桑巴、斗牛舞、深受人民的喜爱.某艺术培训机构为了调查本校学院对拉丁舞的学习情况，分别在刚学习了一个季度的本校大班（8岁以下）及种子班（8岁以上）的学员中各随机抽取了15名学员进行摸底考试，这30名学员考试成绩的茎叶图如图所示.‎ - 23 -‎ 规定：成绩不低于85分，则认为成绩优秀；成绩低于85分，则认为成绩一般.‎ ‎（1）根据上述数据填写下列2×2联表：‎ 成绩优秀 成绩一般 总计 大班 种子班 总计 判断是否有95%的把握认为成绩优秀或成绩一般与学员的年龄有关；‎ ‎（2）在大班及种子班的参加摸底考试且成绩优秀的学员中以分层抽样的方式抽取6名学员进行特别集训，集训后，再对这6名学员进行测试，按测试成绩，取前3名授予“舞蹈小精灵”称号，在被授予“舞蹈小精灵”称号的学员中，求种子班的学员恰好有2人的概率.‎ 参考公式及数据：，. ‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，有；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先阅读题意，再分析数据，填写列联表即可；‎ ‎（2）由茎叶图中 - 23 -‎ 数据，分别列出所求事件的基本事件，然后结合古典概型概率公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由茎叶图的数据，填写2×2列联表如下：‎ 成绩优秀 成绩一般 总计 大班 ‎6‎ ‎9‎ ‎15‎ 种子班 ‎12‎ ‎3‎ ‎15‎ 总计 ‎18‎ ‎12‎ ‎30‎ 根据列联表中的数据，得到 因此有95%的把握认为成绩优秀或成绩一般与学员的年龄有关.‎ ‎（2）由茎叶图中的数据可知，大班学员中成绩优秀的人数为6，种子班学员中成绩优秀的人数为12，以分层抽样的方式抽取6人，则大班抽取的人数为，记为，‎ 种子班抽取人数为，记为，‎ 则被授予“舞蹈小精灵”称号的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个，‎ 其中种子班学员的人数恰有2人的基本时间有，，，，，，，，，，，，共12个，‎ 故被授予“舞蹈小精灵”称号的学员中，求种子班的学员恰好有2人的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表及独立性检验，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.‎ - 23 -‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）若，求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证，再由线面平行判断定理证明即可；‎ ‎（2）先求三棱锥的体积，再结合等体积法求到平面的距离即可.‎ ‎【详解】证明：（1）记的中点为，连接，.‎ 因为分别为的中点，‎ 则，且.‎ 因为，且，‎ 所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 则.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：因为，，为的中点，‎ 所以的面积为，‎ 所以三棱锥的体积为.‎ 在中，，‎ ‎，‎ - 23 -‎ 所以的面积为.‎ 设到平面的距离为.‎ 由，得.‎ 即到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了等体积法求点到面的距离，属中档题.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知向量，，且.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知直线过坐标原点，且与（1）中的轨迹交于两点，在第三象限，且轴，垂足为，连接并延长交于点，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得，再结合椭圆的定义即可得解；‎ ‎（2）联立直线与椭圆的方程，求出其交点坐标，再结合直线斜率公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）设，，则，‎ ‎.‎ ‎，，‎ - 23 -‎ 由椭圆的定义可知的轨迹是以，为焦点，4为长轴的椭圆.‎ 故的方程为.‎ ‎（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在，‎ 设直线的方程为（），‎ 与椭圆联立可得，‎ 所以，‎ ‎，.‎ 则点的坐标为，直线的方程为，‎ 代入，可得，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 的坐标为，‎ 于是，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义，重点考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题.‎ ‎21.已知函数，.‎ - 23 -‎ ‎（1）设函数，若，求的极值；‎ ‎（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求函数的导函数，再利用导数判断函数的单调性，然后求极值即可；‎ ‎（2）函数的图象与的图象有两个不同的交点，等价于关于的方程，即有两个不同的根，再构造函数 ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以，‎ ‎.‎ 令，得，‎ 所以在，上单调递增；‎ 令，得，‎ 所以在上单调递减.‎ 故的极大值为，‎ 故的极小值为.‎ ‎（2）证明：，‎ - 23 -‎ 因为函数的图象与的图象有两个不同的交点，‎ 所以关于的方程，即有两个不同的根.‎ 由题知①，②，‎ ‎①+②得③，‎ ‎②-①得④.‎ 由③，④得，‎ 不妨设，记.‎ 令，则，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以,‎ 则，即，‎ 所以.‎ 因为 所以，‎ 即.‎ 令，‎ 则在上单调递增.‎ - 23 -‎ 又，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以.‎ 两边同时取对数可得，‎ 得证.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了曲线的交点个数与方程的解的个数的关系，属综合性较强的题型.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线经过点且倾斜角为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于点，且满足，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消参数即可求得曲线的直角坐标方程，由直线的参数方程的求法即可得解；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程，再设对应的参数分别为，然后利用韦达定理求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）将曲线：，（为参数），消参得，‎ 直线的参数方程为，（为参数，）.‎ - 23 -‎ ‎（2）设对应的参数分别为，将直线的参数方程代入的直角坐标方程，‎ 整理得，‎ 所以，.‎ 因为，所以，‎ 因此，，‎ 所以，‎ 展开整理可得，‎ ‎，‎ 即或 ，经检验符合题意，‎ ‎∴或.‎ ‎【点睛】本题考查了普通方程与参数方程的互化，重点考查了正弦及余弦的二倍角公式，属中档题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若正数满足，证明：.‎ ‎【答案】（1）1；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由不等式的性质，即可得，再求解即可；‎ ‎（2）证等价于证，再利用“1”的应用，构造均值不等式求证即可.‎ ‎【详解】解：（1）令，则关于的不等式的解集为.‎ - 23 -‎ 等价于， ‎ 因为.‎ 当且仅当时取等号，‎ ‎，‎ 由，得，‎ 所以.‎ ‎（2）证明：要证，只需证.‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 当且仅当，，时，等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，重点考查了均值不等式的应用，属中档题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎