人教A数学必修二 圆的标准方程与圆的一般方程 4页

‎4.1 圆的标准方程与圆的一般方程 一、知识导学：1、掌握圆的标准方程、一般方程的代数特征，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程；2、会根据圆的一般方程确定圆的圆心、半径；3、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为标准方程，掌握方程表示圆的条件．‎ 二、基础知识（圆的标准方程）：‎ ‎1、确定圆的两种方法：‎ ‎（1）圆心半径定圆：圆心确定圆的________，半径确定圆的________。‎ ‎（2）____________________________的三点确定一个圆。‎ 引例：求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的圆心坐标和半径长。‎ ‎2、圆是到定点的距离等于定长的点的集合。在平面直角坐标系中：‎ 圆心A（，），半径为（，，都是常数），点M（，）为圆上 任意一点，则该圆可用集合表示为_________________________。‎ 圆的标准方程为：_________________________________。‎ 当圆的圆心在原点时，圆的方程为________________________。‎ 引例中的圆的标准方程为_______________________________。‎ ‎3、点M（）与圆的位置关系：‎ ‎（1），点M在圆外；‎ ‎（2），点M在圆上；‎ ‎（3），点M在圆内。‎ 例1、写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，‎ 并判断点（5，-7），是否在这个圆上．‎ 例2、△ABC的三个顶点的坐标是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），‎ 求它的外接圆的方程。‎ 例3、已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），‎ 且圆心在直线上，求圆心为C的圆的标准方程．‎ 小结：求圆的标准方程的两种方法：‎ ‎（1）根据题设条件，列出关于，，的方程组，‎ 解方程组得到，，的值，写出圆的标准方程；‎ ‎（2）根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，‎ 然后再写出圆的标准方程．‎ 四、练习：‎ ‎1、圆心在C（-3，4），半径长是的圆的标准方程是_____________。‎ ‎2、圆心在C（8，-3），且经过点M（5，1）的圆的标准方程是__________。‎ ‎3、已知两点A（4，9），B（6，3），则以线段AB为直径的圆的标准方程是____。‎ ‎4、已知△AOB的顶点坐标分别是A（4，0），B（0，3），O（0，0），‎ 则△AOB的外接圆的方程是___________________。‎ ‎5、点P（m，5）与圆的位置关系是_________________。‎ ‎6、过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线上的圆的方程为_____。‎ ‎7、已知圆与y轴相切，圆心在直线上，且这圆经过点A（6，1），‎ 求这个圆的方程。‎ 五、基础知识（圆的一般方程）：‎ ‎1、引例：把方程配方得_______________________，‎ ‎ 所以，此方程表示以__________为圆心，______为半径的圆。‎ ‎ 方程配方得_____________，此方程___________。‎ ‎2、把方程配方得 ‎ （1）当时，表示以________为圆心，以________为半径的圆；‎ ‎（2）当时，表示一个点______________；‎ ‎（3）当时，它不表示任何图形。‎ 方程（）叫做圆的一般方程。‎ ‎3、求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤如下：‎ ‎ （1）根据题意，选择标准方程或一般方程；‎ ‎ （2）根据条件列出关于，，或D，E，F的方程组；‎ ‎ （3）解出，，或D，E，F，代入标准方程或一般方程。‎ 例4、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上 运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。‎ 七、达标训练：‎ ‎1、圆的方程表示的圆的圆心坐标为________，半径为_______。‎ 圆的方程表示的圆的圆心坐标为________，半径为_______。‎ 圆的方程表示的圆的圆心坐标为____________，‎ 半径为______________________。‎ ‎2、圆心为点C（8，-3），且过点A（5，1）的圆的方程为__________________。‎ ‎3、过A（-1，5），B（5，5），（6，-2）三点的圆的方程为__________________。‎ ‎4、已知点（）在圆的外部，‎ 则的取值范围是____________________________。‎ ‎5、圆C的圆心在直线上，并且经过原点和A（2，1），‎ 则圆C的标准方程为____________________。‎ ‎6、圆C的圆心在x轴上，并且过点A（-1，1）和B（1，3），‎ 则圆C的方程为_________________________________________。‎ ‎7、已知一曲线是与两定点A（-1，2），B（3，2）的距离之比为的点的轨迹，‎ ‎ 则此曲线的方程是________________________。‎ ‎8、已知圆与以原点为圆心的某圆关于直线对称，‎ ‎ 则____________，____________。‎ ‎9、方程表示圆，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A．或 B． C． D．‎ ‎10、圆与轴交于A、B两点，圆心为P，‎ 且∠APB=90º，则的值是（ ）‎ A．-3 B．‎3 ‎‎ C．8 D．2‎ ‎11、在平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4）三点，‎ 则以下各点在过A、B、C三点的圆上的是（ ）‎ ‎ A．（-1，2） B．（1，3） C．（3，5） D．‎ ‎12、下列方程表示的图形是圆的是（ ）‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎13、在方程，若，则圆的位置满足（ ）‎ ‎ A．截两坐标轴所得弦的长度相等 B．与两坐标轴都相切 C．与两坐标轴相离 D．上述情况都有可能 ‎14、如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的 外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长。‎ ‎15、已知圆的一条直径的端点分别是A（），B（），‎ 求证此圆的方程是：。‎ ‎16、等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2），底边一个端点B的坐标是（3，5），‎ 求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形。‎ ‎17、长为的线段AB的两个端点A和B分别在轴和轴上滑动，‎ 求线段AB的中点的轨迹方程。‎ ‎18、已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，‎ 求点M的轨迹方程。‎ ‎19、已知二次方程 ‎（1）当为何值时，方程表示圆；‎ ‎（2）当为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程。‎