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  • 2021-06-16 发布

安徽省十校联盟2020届高三下学期3月线上自主联合检测数学(理)试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 安徽省十校联盟2020届高三线上自主联合检测 理科数学试题2020.3.29‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意,∴,故选C ‎2.在正方形内任取一点,则该点在此正方形的内切圆外的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设正方形边长为,则,故选A.‎ ‎3.复数,是虚数单位,则下列结论正确的是 A. B. 的共轭复数为 C. 的实部与虚部之和为1 D. 在复平面内的对应点位于第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算,求得,在根据复数的模,复数与共轭复数的概念等即可得到结论.‎ ‎【详解】由题意,‎ - 22 -‎ 则,的共轭复数为,‎ 复数的实部与虚部之和为,在复平面内对应点位于第一象限,故选D.‎ ‎【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化,其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为.‎ ‎4.若,,,则,,的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 易知,,,∴,故选B.‎ ‎5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的结果为86,则正整数k的最小值为( )‎ A 1 806 B. 43 C. 48 D. 42‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 根据已知中的程序框图,模拟程序的执行过程,可得答案.‎ ‎【详解】解:开始,n=1,S=1,故S=2×1+1=3,n=1×(1+1)=2,‎ S与输出的结果不符,故2≥k不成立.‎ S=2×3+2=8,n=2×(2+1)=6,‎ S与输出的结果不符,故6≥k不成立.‎ S=2×8+6=22,n=6×(6+1)=42,‎ S与输出的结果不相符,故42≥k不成立.‎ S=2×22+42=86,n=42×(42+1)=1 806.‎ S与输出的结果相符,故1 806≥k成立.‎ 所以k的最小值为43.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图,难度不大,属于基础题.‎ ‎6.已知等差数列的前项和为,若,,则的公差为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵,∴,则,∴,故选B.‎ ‎7.已知,是空间中两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )‎ A. 若,,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,,且,,则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】两个平行平面中的两条直线可能异面,A错;两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行,B正确;C中直线也可能在平面 - 22 -‎ 内,C错;任一二面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直,但这个二面角不一定是直二面角,D错.故选B.‎ ‎8.已知实数,满足,若的最大值为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出可行域,如图内部(含边界),其中,若A是最优解,则,,检验符合题意;若B是最优解,则,,检验不符合题意,若,则最大值为34;若C是最优解,则,,检验不符合题意;所以,故选B.‎ ‎9.某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成,它的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是( )‎ ‎ ‎ ‎(侧视图中间有小圆)‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图即可知半球的直径为2,左右两个圆柱的高为1,底面直径为2,中间圆柱的高为3,底面直径为1,再根据球的表面积公式,圆柱的侧面积公式等即可求出.‎ ‎【详解】由三视图可知,该几何体左、右各是半球,半球的直径为2,左右两个圆柱的高为1,底面直径为2,中间圆柱的高为3,底面直径为1.‎ 所以该几何体的表面积.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用三视图求几何体的表面积,涉及球的表面积公式,圆柱的侧面积公式等的应用,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,属于基础题.‎ ‎10.已知点和,直线:,若直线与线段有公共点,则的最小值为( )‎ A. 24 B. C. 25 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可知,,即可画出点所在区域,根据线性规划的知识和表示的几何意义,即可求出.‎ ‎【详解】依题可得,,点所在的区域,如图所示:‎ - 22 -‎ 直线过点时,得,直线过点时,得.‎ 表示点到原点的距离的平方.‎ 到直线的距离,‎ 到直线的距离,‎ 又,∴的最小值为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式组表示的平面区域,以及非线性目标函数最值的求法应用,属于基础题.‎ ‎11.已知抛物线:()过点,经过焦点的直线与抛物线交于,两点,在轴的上方,.若以为直径的圆经过点,则( )‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点可得抛物线方程为,设直线的倾斜角为,由抛物线的定义可得,,再由以为直径的圆经过点可得,利用三角函数定义可得,解得的值,代回即可求解.‎ ‎【详解】依题意,将代入抛物线的方程中,可得,则,‎ 如图,设直线的倾斜角为,则,‎ ‎∴,同理,‎ ‎∴,‎ - 22 -‎ ‎∵以为直径的圆经过点,∴,∴,‎ 即,∴,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径,考查数形结合思想.‎ ‎12.已知函数在内单调递减,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导可得,转化问题为在上恒成立,即在上恒成立,设,整理可得,即可求得的范围,进而求解.‎ ‎【详解】由题,,‎ 在内单调递减,则,即,‎ 令,则,‎ ‎∴,∴,‎ - 22 -‎ ‎∵,∴,解得,‎ ‎∴,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参,考查转化思想与运算能力.‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知向量,,若,则实数__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,则题意,解得.‎ ‎14.的展开式中,的系数为________(用数字作答).若变量,满足,且,则的最大值是________.‎ ‎【答案】 (1). 10 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的系数分为两部分,一部分为,一部分为,二者求和即可;‎ 由题画出可行域,由,即,找到可行域内的交点使该直线截距最大,即可代入求解.‎ ‎【详解】由题,的系数为;‎ 由不等式组,画出可行域,如图所示,‎ - 22 -‎ 因为,即,则平移该直线,当与点相交时,截距最大,‎ 则的最大值为,‎ 故答案为:10;‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数,考查利用线性规划求最值,考查数形结合思想.‎ ‎15.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出(单位:万元)与年销售额(单位:万元)进行了初步统计,如下表所示.‎ 年广告支出/万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ 年销售额/万元 ‎28‎ ‎37‎ ‎60‎ ‎70‎ 经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为_____.‎ ‎【答案】55‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在线性回归方程上,即可求得的值.‎ ‎【详解】根据所给数据求出:‎ - 22 -‎ ‎ 根据在线性回归方程上 ‎ ,解得: ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】掌握在线性回归方程是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线:()的焦点为,准线:,点在抛物线上,点在准线上,若,直线的倾斜角为,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图,设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,∴,双,∴,又由已知,即,∴.‎ 点睛:破解抛物线上的动点与焦点、定点的距离和最值问题的关键:一是“化折为直”的思想,即借助抛物线的定义化折为直;二是“数形结合”思想,即画出满足题设条件的草图,通过图形的辅助找到破题的入口.本题就是得出=,然后再由已知得等边三角形,从而有.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知数列为等差数列,数列满足,若,,成等比数列,且.‎ ‎(1)求,;‎ - 22 -‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1),,;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意分别求出,,,即可得到,由可求出数列的公差,即可解出,从而求出,;‎ ‎(2)由(1)可知,,即可利用裂项相消法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】(1)设数列是公差为的等差数列,‎ 由,若,,成等比数列,‎ 可得,‎ 即为,‎ 由,即,‎ 可得,‎ 则,‎ 解得, ‎ 则,;‎ ‎,.‎ ‎(2),‎ 则前项和.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,通项公式的求法,裂项相消法的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.‎ ‎18.2019年国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传国际篮联篮球世界杯,某大学从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查,统计数据如下:‎ 会收看 不会收看 男生 ‎60‎ ‎20‎ 女生 ‎20‎ ‎20‎ ‎(1)根据上表说明,能否有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关?‎ ‎(2)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球3次均未命中的概率为.‎ ‎(i)求乙投球的命中率;‎ ‎(ii)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.‎ 附:,其中,‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】(1)有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关;(2)(i);(ii)分布列见解析,‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由数据求得,进而与6.635比较大小即可;‎ ‎(2)(i)根据二项分布的概率公式求解即可;‎ ‎(ii)可取0,1,2,3,利用二项分布及独立事件的概率公式求得概率,即可得到分布列与期望.‎ ‎【详解】(1)由表中数据可得的观测值,‎ 所以有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关.‎ ‎(2)(i)(乙投球3次均未命中),,解得.‎ ‎(ii)可取0,1,2,3,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验解决实际问题,考查独立重复试验的概率,考查离散型随机变量的分布列及期望,考查数据分析能力.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面平面,为的中点,,,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若异面直线与所成角为,求的长;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2);(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)若要证明平面平面,可先证明平面,由面面垂直的性质可得,即证明即可,进而求证;‎ ‎(2)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,分别求得与,进而利用数量积求解即可;‎ ‎(3)由(2),分别求得平面与平面的法向量,进而利用数量积求解.‎ ‎【详解】(1)∵,,为的中点,‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴,‎ ‎∵,∴,∴,‎ 又∵平面底面,且平面平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∵平面,∴平面平面.‎ - 22 -‎ ‎(2)∵,为的中点,∴,‎ ‎∵平面底面,且平面平面,∴底面,‎ 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,‎ 设,则,,,,,‎ ‎∴,,设异面直线与所成角为,‎ ‎∵异面直线与所成角为,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴在中,.‎ ‎(3)由(2)平面的法向量,,,,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取,得,‎ 设平面与平面所成锐二面角为,则,‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查已知异面直线成角求参数,考查空间向量法求二面角,考查运算能力.‎ - 22 -‎ ‎20.已知椭圆:()的左右焦点分别为,,若椭圆上一点满足,且椭圆过点,过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点作轴的垂线,交椭圆于,求证:,,三点共线.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:‎ ‎(1)由椭圆定义可得,再把点的坐标代入可求得,得椭圆方程;‎ ‎(2)由于的坐标为,因此我们可以求出直线的方程,再证明点在此直线上即可.为此设设的方程为,点,,,联立直线方程与椭圆方程,消元后得一元二次方程,用韦达定理得,写出直线方程,并把代入得直线方程,令,求出,利用可得结果,结论得证.‎ 试题解析:‎ ‎(1)依题意,,故.‎ 将代入中,解得,故椭圆:.‎ ‎(2)由题知直线的斜率必存在,设的方程为.‎ 点,,,联立得 即,,,‎ - 22 -‎ 由题可得直线方程为,‎ 又∵,.‎ ‎∴直线方程为,‎ 令,整理得 ‎ ‎,即直线过点.‎ 又∵椭圆的左焦点坐标为,∴三点,,在同一直线上.‎ 点睛:“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量,但并不直接求出其具体值,而是利用某种关系(如和、差、积)来表示变量之间的联系,在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果,在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,步骤一般如下:‎ ‎(1)设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为;‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程组成方程组,消元得一元二次方程;‎ ‎(3)利用韦达定理得,,然后再求弦长以及面积,或求其他量(如本题向量的数量积).‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若是方程两个不同的实数根,求证:.‎ ‎【答案】(1)有极小值,无极大值.(2)见解析 ‎【解析】‎ - 22 -‎ 试题分析:(1)先求函数导数,再求导函数在定义区间上零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数极值,(2)先根据零点得,再代入化简不等式为,构造函数,其中.最后根据导数确定函数单调性,根据单调性证不等式.‎ 试题解析:(1)依题意, ‎ 故当时, ,当时, ‎ 故当时,函数有极小值,无极大值.‎ ‎(2)因为, 是方程的两个不同的实数根.‎ ‎∴两式相减得,解得 要证: ,即证: ,即证: ,‎ 即证,‎ 不妨设,令.只需证.‎ 设,∴;‎ 令,∴,∴在上单调递减,‎ ‎∴ ,∴,∴在为减函数,∴.‎ 即在恒成立,∴原不等式成立,即.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ - 22 -‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角).以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,并在两个坐标系下取相同的长度单位.‎ ‎(1)当时,求直线的极坐标方程;‎ ‎(2)若曲线和直线交于,两点,且,求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将代入直线的参数方程后,消去参数,可得直线的一般方程,再根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可求出其极坐标方程;‎ ‎(2)先将曲线的参数方程化为普通方程,再将直线的参数方程代入,利用参数的几何意义以及弦长公式即可表示出,即可解出直线的倾斜角.‎ ‎【详解】(1)由得,则其极坐标方程,‎ 即.‎ ‎(2)由得.‎ 将代入圆的方程中,‎ 得,‎ 化简得,.‎ - 22 -‎ 设,两点对应的参数分别为、,则,,‎ ‎∴.‎ ‎∴,故,解得或.‎ 则直线的倾斜角为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程之间的互化,参数方程与极坐标方程之间的互化,直线参数方程中的几何意义以及弦长公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.‎ ‎23.已知f(x)=|2x+4|+|x-3|.‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)<8;‎ ‎(2)对于正实数a,b,函数g(x)=f(x)-3a-4b只有一个零点,求的最小值. ‎ ‎【答案】(1)(-3,1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数解析式化成分段函数,用分类讨论的方法解不等式.‎ ‎(2)作出函数的大致图象,的零点,转化为函数与的交点,由图可知,然后利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】解:(1)由题意可得,‎ 故当时,不等式可化为,解得,故此时不等式的解集为;‎ 当时,不等式可化为,解得,故此时不等式的解集为;‎ 当时,不等式可化为,解得,此时不等式无解,‎ 综上,不等式的解集为.‎ ‎(2)作出函数的大致图象及直线,如图.‎ - 22 -‎ 由图可知,当只有一个零点时,,‎ 即,‎ 故 ‎,‎ 当且仅当时等号成立.‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与基本不等式的应用,属于基础题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎