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- 2021-06-16 发布
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安徽省十校联盟2020届高三线上自主联合检测
理科数学试题2020.3.29
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
依题意,∴,故选C
2.在正方形内任取一点,则该点在此正方形的内切圆外的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设正方形边长为,则,故选A.
3.复数,是虚数单位,则下列结论正确的是
A. B. 的共轭复数为
C. 的实部与虚部之和为1 D. 在复平面内的对应点位于第一象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算,求得,在根据复数的模,复数与共轭复数的概念等即可得到结论.
【详解】由题意,
- 22 -
则,的共轭复数为,
复数的实部与虚部之和为,在复平面内对应点位于第一象限,故选D.
【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化,其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为.
4.若,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
易知,,,∴,故选B.
5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的结果为86,则正整数k的最小值为( )
A 1 806 B. 43 C. 48 D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】
- 22 -
根据已知中的程序框图,模拟程序的执行过程,可得答案.
【详解】解:开始,n=1,S=1,故S=2×1+1=3,n=1×(1+1)=2,
S与输出的结果不符,故2≥k不成立.
S=2×3+2=8,n=2×(2+1)=6,
S与输出的结果不符,故6≥k不成立.
S=2×8+6=22,n=6×(6+1)=42,
S与输出的结果不相符,故42≥k不成立.
S=2×22+42=86,n=42×(42+1)=1 806.
S与输出的结果相符,故1 806≥k成立.
所以k的最小值为43.
故选:B.
【点睛】本题考查的知识点是程序框图,难度不大,属于基础题.
6.已知等差数列的前项和为,若,,则的公差为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵,∴,则,∴,故选B.
7.已知,是空间中两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A. 若,,,则
B. 若,,则
C. 若,,则
D. 若,,,且,,则
【答案】B
【解析】
【详解】两个平行平面中的两条直线可能异面,A错;两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行,B正确;C中直线也可能在平面
- 22 -
内,C错;任一二面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直,但这个二面角不一定是直二面角,D错.故选B.
8.已知实数,满足,若的最大值为,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
作出可行域,如图内部(含边界),其中,若A是最优解,则,,检验符合题意;若B是最优解,则,,检验不符合题意,若,则最大值为34;若C是最优解,则,,检验不符合题意;所以,故选B.
9.某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成,它的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是( )
(侧视图中间有小圆)
A. B. C. D.
- 22 -
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图即可知半球的直径为2,左右两个圆柱的高为1,底面直径为2,中间圆柱的高为3,底面直径为1,再根据球的表面积公式,圆柱的侧面积公式等即可求出.
【详解】由三视图可知,该几何体左、右各是半球,半球的直径为2,左右两个圆柱的高为1,底面直径为2,中间圆柱的高为3,底面直径为1.
所以该几何体的表面积.
故选:A.
【点睛】本题主要考查利用三视图求几何体的表面积,涉及球的表面积公式,圆柱的侧面积公式等的应用,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,属于基础题.
10.已知点和,直线:,若直线与线段有公共点,则的最小值为( )
A. 24 B. C. 25 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可知,,即可画出点所在区域,根据线性规划的知识和表示的几何意义,即可求出.
【详解】依题可得,,点所在的区域,如图所示:
- 22 -
直线过点时,得,直线过点时,得.
表示点到原点的距离的平方.
到直线的距离,
到直线的距离,
又,∴的最小值为.
故选:B.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式组表示的平面区域,以及非线性目标函数最值的求法应用,属于基础题.
11.已知抛物线:()过点,经过焦点的直线与抛物线交于,两点,在轴的上方,.若以为直径的圆经过点,则( )
A. B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由点可得抛物线方程为,设直线的倾斜角为,由抛物线的定义可得,,再由以为直径的圆经过点可得,利用三角函数定义可得,解得的值,代回即可求解.
【详解】依题意,将代入抛物线的方程中,可得,则,
如图,设直线的倾斜角为,则,
∴,同理,
∴,
- 22 -
∵以为直径的圆经过点,∴,∴,
即,∴,
故选:D
【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径,考查数形结合思想.
12.已知函数在内单调递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求导可得,转化问题为在上恒成立,即在上恒成立,设,整理可得,即可求得的范围,进而求解.
【详解】由题,,
在内单调递减,则,即,
令,则,
∴,∴,
- 22 -
∵,∴,解得,
∴,
故选:C
【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参,考查转化思想与运算能力.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量,,若,则实数__________.
【答案】
【解析】
,则题意,解得.
14.的展开式中,的系数为________(用数字作答).若变量,满足,且,则的最大值是________.
【答案】 (1). 10 (2).
【解析】
【分析】
的系数分为两部分,一部分为,一部分为,二者求和即可;
由题画出可行域,由,即,找到可行域内的交点使该直线截距最大,即可代入求解.
【详解】由题,的系数为;
由不等式组,画出可行域,如图所示,
- 22 -
因为,即,则平移该直线,当与点相交时,截距最大,
则的最大值为,
故答案为:10;
【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数,考查利用线性规划求最值,考查数形结合思想.
15.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出(单位:万元)与年销售额(单位:万元)进行了初步统计,如下表所示.
年广告支出/万元
2
3
5
7
8
年销售额/万元
28
37
60
70
经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为_____.
【答案】55
【解析】
【分析】
根据在线性回归方程上,即可求得的值.
【详解】根据所给数据求出:
- 22 -
根据在线性回归方程上
,解得:
故答案为:.
【点睛】掌握在线性回归方程是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
16.已知抛物线:()的焦点为,准线:,点在抛物线上,点在准线上,若,直线的倾斜角为,则__________.
【答案】
【解析】
如图,设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,∴,双,∴,又由已知,即,∴.
点睛:破解抛物线上的动点与焦点、定点的距离和最值问题的关键:一是“化折为直”的思想,即借助抛物线的定义化折为直;二是“数形结合”思想,即画出满足题设条件的草图,通过图形的辅助找到破题的入口.本题就是得出=,然后再由已知得等边三角形,从而有.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列为等差数列,数列满足,若,,成等比数列,且.
(1)求,;
- 22 -
(2)求数列的前项和.
【答案】(1),,;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意分别求出,,,即可得到,由可求出数列的公差,即可解出,从而求出,;
(2)由(1)可知,,即可利用裂项相消法求出数列的前项和.
【详解】(1)设数列是公差为的等差数列,
由,若,,成等比数列,
可得,
即为,
由,即,
可得,
则,
解得,
则,;
,.
(2),
则前项和.
- 22 -
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,通项公式的求法,裂项相消法的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.
18.2019年国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传国际篮联篮球世界杯,某大学从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查,统计数据如下:
会收看
不会收看
男生
60
20
女生
20
20
(1)根据上表说明,能否有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关?
(2)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球3次均未命中的概率为.
(i)求乙投球的命中率;
(ii)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.
附:,其中,
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【答案】(1)有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关;(2)(i);(ii)分布列见解析,
- 22 -
【解析】
【分析】
(1)由数据求得,进而与6.635比较大小即可;
(2)(i)根据二项分布的概率公式求解即可;
(ii)可取0,1,2,3,利用二项分布及独立事件的概率公式求得概率,即可得到分布列与期望.
【详解】(1)由表中数据可得的观测值,
所以有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关.
(2)(i)(乙投球3次均未命中),,解得.
(ii)可取0,1,2,3,
则,
,
,
,
∴的分布列为:
0
1
2
3
∴.
- 22 -
【点睛】本题考查独立性检验解决实际问题,考查独立重复试验的概率,考查离散型随机变量的分布列及期望,考查数据分析能力.
19.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面平面,为的中点,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若异面直线与所成角为,求的长;
(3)在(2)的条件下,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)若要证明平面平面,可先证明平面,由面面垂直的性质可得,即证明即可,进而求证;
(2)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,分别求得与,进而利用数量积求解即可;
(3)由(2),分别求得平面与平面的法向量,进而利用数量积求解.
【详解】(1)∵,,为的中点,
∴四边形为平行四边形,∴,
∵,∴,∴,
又∵平面底面,且平面平面,
∴平面,
∵平面,∴平面平面.
- 22 -
(2)∵,为的中点,∴,
∵平面底面,且平面平面,∴底面,
以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则,,,,,
∴,,设异面直线与所成角为,
∵异面直线与所成角为,
∴,解得,
∴在中,.
(3)由(2)平面的法向量,,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
设平面与平面所成锐二面角为,则,
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查已知异面直线成角求参数,考查空间向量法求二面角,考查运算能力.
- 22 -
20.已知椭圆:()的左右焦点分别为,,若椭圆上一点满足,且椭圆过点,过点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作轴的垂线,交椭圆于,求证:,,三点共线.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
试题分析:
(1)由椭圆定义可得,再把点的坐标代入可求得,得椭圆方程;
(2)由于的坐标为,因此我们可以求出直线的方程,再证明点在此直线上即可.为此设设的方程为,点,,,联立直线方程与椭圆方程,消元后得一元二次方程,用韦达定理得,写出直线方程,并把代入得直线方程,令,求出,利用可得结果,结论得证.
试题解析:
(1)依题意,,故.
将代入中,解得,故椭圆:.
(2)由题知直线的斜率必存在,设的方程为.
点,,,联立得
即,,,
- 22 -
由题可得直线方程为,
又∵,.
∴直线方程为,
令,整理得
,即直线过点.
又∵椭圆的左焦点坐标为,∴三点,,在同一直线上.
点睛:“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量,但并不直接求出其具体值,而是利用某种关系(如和、差、积)来表示变量之间的联系,在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果,在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,步骤一般如下:
(1)设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为;
(2)联立直线与椭圆的方程组成方程组,消元得一元二次方程;
(3)利用韦达定理得,,然后再求弦长以及面积,或求其他量(如本题向量的数量积).
21.已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)若是方程两个不同的实数根,求证:.
【答案】(1)有极小值,无极大值.(2)见解析
【解析】
- 22 -
试题分析:(1)先求函数导数,再求导函数在定义区间上零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数极值,(2)先根据零点得,再代入化简不等式为,构造函数,其中.最后根据导数确定函数单调性,根据单调性证不等式.
试题解析:(1)依题意,
故当时, ,当时,
故当时,函数有极小值,无极大值.
(2)因为, 是方程的两个不同的实数根.
∴两式相减得,解得
要证: ,即证: ,即证: ,
即证,
不妨设,令.只需证.
设,∴;
令,∴,∴在上单调递减,
∴ ,∴,∴在为减函数,∴.
即在恒成立,∴原不等式成立,即.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
- 22 -
22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角).以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,并在两个坐标系下取相同的长度单位.
(1)当时,求直线的极坐标方程;
(2)若曲线和直线交于,两点,且,求直线的倾斜角.
【答案】(1);(2)或
【解析】
【分析】
(1)将代入直线的参数方程后,消去参数,可得直线的一般方程,再根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可求出其极坐标方程;
(2)先将曲线的参数方程化为普通方程,再将直线的参数方程代入,利用参数的几何意义以及弦长公式即可表示出,即可解出直线的倾斜角.
【详解】(1)由得,则其极坐标方程,
即.
(2)由得.
将代入圆的方程中,
得,
化简得,.
- 22 -
设,两点对应的参数分别为、,则,,
∴.
∴,故,解得或.
则直线的倾斜角为或.
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程之间的互化,参数方程与极坐标方程之间的互化,直线参数方程中的几何意义以及弦长公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.
23.已知f(x)=|2x+4|+|x-3|.
(1)解关于x的不等式f(x)<8;
(2)对于正实数a,b,函数g(x)=f(x)-3a-4b只有一个零点,求的最小值.
【答案】(1)(-3,1);(2).
【解析】
【分析】
(1)将函数解析式化成分段函数,用分类讨论的方法解不等式.
(2)作出函数的大致图象,的零点,转化为函数与的交点,由图可知,然后利用基本不等式求的最小值.
【详解】解:(1)由题意可得,
故当时,不等式可化为,解得,故此时不等式的解集为;
当时,不等式可化为,解得,故此时不等式的解集为;
当时,不等式可化为,解得,此时不等式无解,
综上,不等式的解集为.
(2)作出函数的大致图象及直线,如图.
- 22 -
由图可知,当只有一个零点时,,
即,
故
,
当且仅当时等号成立.
的最小值为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与基本不等式的应用,属于基础题.
- 22 -
- 22 -
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