高考数学命题角度2_2利用正弦、余弦定理解与三角形面积有关的问题大题狂练理 12页

命题角度 2.2：利用正弦、余弦定理解与三角形面积有关的问题 1.已知 的三个内角 的对边分别为 . （Ⅰ）若 ，求证： ； （Ⅱ）若 ，且 的面积 ，求角 . 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） 【解析】试题分析: （Ⅰ）有条件及三角形内角和关系可得 ，再根据诱导公式可得 ，然后利用两角和余弦公式展开，结合二倍角公式及平方关系， 将 式 子 转 化 为 关 于 的 关 系 式 ，（ Ⅱ ） 由 三 角 形 面 积 公 式 及 余 弦 定 理 ， 代 入 条 件 化 简 得 ； 再 根 据 正 弦 定 理 将 条 件 化 角 ： ， 最 后根 据 三 角形 内 角 关系 消 去 C 角 得 ： ，根据二倍角及配角公式可得 ，结合 B 角范围可得 结果. （Ⅱ）在 中， 由余弦定理知： 2.在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， AD BD ， 4AC  ， BC 5 . （1）若 60C   ，求 ABC 外接圆半径 R 的值； （2）设 CAB B    ，若 15tan 7   ，求 ABC 的面积. 【答案】（1） 7R  ;（2）15 15 8 . 试题解析：（1）由余弦定理，得 2 2 2 2 cos60 21AB BC AC BC AC      ， 解得 21AB  . 由正弦定理得， 21 2 , 7sin sin60 AB R RC    . （2）设CD x ，则 5 , 5BD x AD x    ， ∵ AD BD ，∴ B DAB   . ∴ CAD CAB DAB CAB B         . ∵ 15tan 7   ，∴ 70 ,cos2 8     . ∴ 2 2 2 cos cos 2 AD AC CDCAD AD AC       ， 即     2 2 25 4 7 2 4 5 8 x x x       ，解得 2x  . ∴ 3BD AD  . ∵ sin sin AD CD C CAD   ，∴ 3 3 15sinC sin2 16   . ∴ 1 1 3 15 15 15sin 4 52 2 16 8ABCS AC BC C         . 3.如图，在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,  cosCa b sinC  . （1）求角 B 的大小； （2）若 ,2A D 为 ABC 外一点， 2, 1DB DC  ，求四边形 ABCD 面积的最大值. 【答案】（1） 4B  （2） 5 24  【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系  sin cos ,sinA B sinC C  再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得 cos ,BsinC sinBsinC 即得 tan 1B  ， 4B  .（2） 1 1 1 2 2 2ABCD ABC BDCS S S BC BC BD DCsinD          ， 由余弦定理得 2 2 21 2 2 1 2 cos 5 4cosBC D D        ，将数据代入可得 5 cos4ABCDS D sinD   ，利用配角公式得 5 24 4ABCDS sin D       ，最后根据三角形 有界性可得四边形 ABCD 的面积最大值。 4.在 ABC 中，三边 cba ,, 所对应的角分别是 CBA ,, ，已知 cba ,, 成等比数列. （1）若 3 32 tan 1 tan 1  CA ，求角 B 的值； （2）若 ABC 外接圆的面积为 4 ，求 ABC 面积的取值范围. 【答案】（1） 3 B ；（2） ]33,0(ABCS . 【解析】 试题分析：（1）先将切化弦变形得 3 32 sinsin )sin(  CA CA ，利用等比数列性质和正弦定理得 CAB sinsinsin 2  ，进而得 3 32 sin sin 2  B B ，即 2 3sin B ，由b 不是最大边得 3 B ；（2） 易得外接圆半径 2R  ，利用余弦定理和均值不等式得 2 1cos B ，即 30  B ，再利用正 弦 定 理 和 三 角 形 正 弦 公 式 得 BBbBacS ABC 32 sin8sin2 1sin2 1  ， 利 用 2 3sin0  B ，进而解得 ]33,0(ABCS . （2）∵ ABC 外接圆的面积为 4 ，∴ ABC 的外接圆的半径 2R ， 由余弦定理 Baccab cos2222  ，得 ac bcaB 2cos 222  ，又 acb 2 ， ∴ 2 1cos B .当且仅当 ca  时取等号，又∵ B 为 ABC 的内角，∴ 30  B ， 由正弦定理 RB b 2sin  ，得 Bb sin4 . ∴ ABC 的面积 BBbBacS ABC 32 sin8sin2 1sin2 1  ， ∵ 30  B ，∴ 2 3sin0  B ，∴ ]33,0(ABCS . 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、均值不等式. 5.已知函数   sin ( 0)f x x   在区间 0, 3      上单调递增，在区间 2,3 3       上单调递减．如 图 ， 四 边 形 OACB 中 ， , ,a b c 为 ABC 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 ， 且 满 足 4 cos cossin sin 3 sin cos B CB C A A     ． （1）证明： 2b c a  ； （2）若b c ，设 AOB   ， (0 )   ， 2 2OA OB  ，求四边形OACB 面积的最 大值． 【答案】（1）见解析;（2） 5 32 4  . 试题解析:（1）由题意知： 2 4 3     ，解得： 3 2   ， ∵ sin sin 2 cos cos sin cos B C B C A A    ， ∴sin cos sin cosB A C A  2sin cos sin cos sinA B A C A  ， ∴ sinBcosA cosBsinA sinCcosA  cos sin 2sinC A A  ， ∴     2sin A B sin A C sinA    . ∴sin sin 2sin 2C B A b c a     . （2）因为 2b c a  ， b c ，所以 a b c  ，所以 ABC 为等边三角形， OACB OAB ABCS S S    21 3•2 4OA OBsin AB  3sin 4    2 2 2 •OA OB OA OBcos  5 33 4sin cos    5 32sin 3 4       ， ∵  0,  ，∴ 2,3 3 3          ， 当且仅当 3 2     ，即 5 6   时取最大值， OACBS 的最大值为 5 32 4  . 6.已知 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 A B C  ， 2C A . （1）若 3c a ，求 A 的大小； （2）若 , ,a b c 为三个连续正整数，求 ABC 的面积. 【答案】（1） 6A  （2） ABC 的面积为 1 15 7sin2 4bc A  【解析】试题分析： (1)由题意边化角，结合三角函数的性质可得 3cos 2A  ，则 6A  . (2)由题意可设 a n ， 1b n  ， 2c n  ， *n N ，结合余弦定理得 4n  ，据此可得 ABC 的面积为 15 7 4 . 试题解析： （1）∵ 3c a ，∴由正弦定理有sin 3sinC A ， 又 2C A ，即sin2 3sinA A ，于是 2sin cos 3sinA A A ， 在 ABC 中， sin 0A  ，于是 3cos 2A  ， 6A  . （2）因为 A B C  ，故 a b c  ，故设 a n ， 1b n  ， 2c n  ， *n N ； 由 2C A ，得sin sin2 2sin cosC A A A  ， ∴ sincos 2sin 2 C cA A a   . 由余弦定理得： 2 2 2 2 2 b c a c bc a    ，代入 , ,a b c 可得：        2 2 21 2 2 2 1 2 2 n n n n n n n       ，解得： 4n  ，∴ 4a  ， 5b  ， 6c  ， 故 3cos 2 4 cA a   ，故 7sin 4A  ， 故 ABC 的面积为 1 1 7 15 7sin 5 62 2 4 4bc A      . 7.在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边， , ,a b c 成等比数列，且 2 2a c ac bc   ． （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 3a  ，且  sin sin 2sin2A B C C   ，求 ABC 的面积． 【答案】（Ⅰ） 3  ;（Ⅱ） 3 2S  . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由 a b c， ， 是一个等比数列得： 2b ac ，得 2 2 2b c a bc   ， 再由余弦定理，即可求解角 A 的值. （Ⅱ）由题意得 2C  或 2b c ，分类讨论，利用正、余弦定理，即可求解 ABC 的面积. 试题解析：（Ⅰ）由 a b c， ， 是一个等比数列得： 2b ac ，所以由 2 2a c ac bc   得 2 2 2a c b bc   ， 2 2 2b c a bc    ， 2 2 2 1 2 2 2 b c a bccosA bc bc      ， 又  0,A  3A   （Ⅱ）由   2 2sinA sin B C sin C   得：     2 2sin B C sin B C sin C    ， 2 · 4 ·sinB cosC sinC cosC  0 2cosC sinB sinC  或 22C b c 即 或 ①当 2C  ，由题意， 3A   ， 3a  ，所以由正弦定理得： 3 2 3 c sin sin  ， 2c  ， 故由勾股定理得： 1b  ， 1 1 3· 3·1·2 2 2 2S absinC sin     ②当 2b c 时，由题意， 3A   ， 3a  ， 所以由余弦定理得： 2 2 2 2 c·a b c b cosA   ， 2 2 2 213 4 4 · 32c c c c     ， 1c  ， 2b  ， 1 1 3·2·1·2 2 3 2S bcsinA sin     综上①②得： ABC 的面积： 3 2S  8.在 中，已知 分别是角 的对边，且 。 （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的面积的最大值。 【答案】(1) ；(2)1. 【解析】试题分析： (1)由题意结合正弦定理可得 是等腰直角三角形，则 ； (2)结合余弦定理得到面积的表达式，然后利用均值不等式的结论可得 的面积的最大值 是 1. 法 2：因为 ， 所以由余弦定理，得 即 所以 （2）因为 ， ， 所以 由余弦定理，得 所以 因为 ,所以 所以 的面积 由 ， 所以 时， 的最大值为 2 故 的面积 所以 的面积的最大值为 1 9.四边形 ABCD 如图所示，已知 2AB BC CD   ， 2 3AD  . （1）求 3cos cosA C 的值； （2）记 ABD 与 BCD 的面积分别是 1S 与 2S ，求 2 2 1 2S S 的最大值. 【答案】（1）1;（2）14. 【解析】试题分析: (1)在 ,ABD BCD  中,分别用余弦定理,列出等式,得出 3cos cosA C 的值; (2)分别求出 1 2S S， 的表达式,利用(1)的结果,得到 2 2 1 2S S 是关于 cosC 的二次函数, 利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出 BD 的范围,由 BD 的范围求出 cosC 的范围,再求出 2 2 1 2S S 的最大值. 试题解析:（1）在 ABD 中， 2 2 2 2 cos 16 8 3cosBD AB AD AB AD A A      ， 在 BCD 中， 2 2 2 2 cos 8 8cosBD BC CD BC CD C C      ， 所以 3cos cos 1A C  . （ 2 ） 依 题 意 2 2 2 2 2 1 1 sin 12 12cos4S AB AD A A    ， 2 2 2 2 2 2 1 sin 4 4cos4S BC CD C C    ， 所以  22 2 2 2 2 1 2 12 12cos 4 4cos 16 4 cos 1 4cosS S A C C C         2 2 18cos 8cos 12 8 cos 142C C C           ， 因为 2 3 2 4BD   ，所以  28 8cos 16 8 3,16C BD    . 解得 1 cos 3 1C    ，所以 2 2 1 2 14S S  ，当 1cos 2C   时取等号，即 2 2 1 2S S 的最大值 为 14. 10.如图，在边长为 2 的正三角形 ABC 中， D 为 BC 的中点， ,E F 分别在边 ,CA AB 上. （1）若 2DE  ，求CE 的长； （2）若 060EDF  ，问：当 CDE 取何值时， DEF 的面积最小？并求出面积的最小 值． 【答案】（1） 5 1 2CE  （2） 060CDE  时， DEF 的面积的最小值为 3 4 （2）设 0 0,30 90CDE      ， 在 CDE 中，由正弦定理，得 sin sin DE DC DCE CED   ， 所以     0 0 0 sin60 3 sin 60 2sin 60 DE       ，同理 3 2sinDF  ， 故    0 0 1 3 3 3 3sin2 16sin sin 60 4 8sin 2 30DEFS DE DF EDF              ， 因为 0 0 0 0 030 90 ,30 2 30 150      ，所以当 060  时，  0sin 2 30  的最大值为 1，此时 DEF 的面积取到最小值．即 060CDE  时， DEF 的面积的最小值为 3 4 ． 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解 与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和 角以外，恒等变形过程中 ,当条件中同时出现 ab 及 2b 、 2a 时，往往用余弦定理，而题设 中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、 倍角的正余弦公式进行解答.