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  • 2021-06-16 发布

2018-2019学年湖北黄冈高二下数学期中试卷

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‎2018-2019学年湖北黄冈高二下数学期中试卷 一、选择题 ‎ ‎ ‎1. 已知复数z=‎‎1+2i‎2−i(其中i为虚数单位),则其共轭复数z‎¯‎的虚部是(        ) ‎ A.i B.‎1‎ C.‎−i D.‎‎−1‎ ‎ ‎ ‎2. 抛物线y‎2‎‎=4x的准线方程为(        ) ‎ A.x=1‎ B.x=−1‎ C.y=1‎ D.‎y=−1‎ ‎ ‎ ‎3. ‎ 某校高二年级‎1‎班、‎2‎班分别有‎10‎人和‎8‎人骑自行车上学,他们每天骑行路程(单位:千米)的茎叶图如图所示:则‎1‎班‎10‎人每天骑行路程的极差和‎2‎班‎8‎人每天骑行路程的中位数分别是(        )‎ A.‎14,9.5‎ B.‎9,9‎ C.‎9,10‎ D.‎‎14,9‎ ‎ ‎ ‎4. “m>0,n>0‎,且m≠n”是方程“x‎2‎m‎+y‎2‎n=1‎表示的曲线为椭圆”的(        ) ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎5. 函数f(x)=ex‎+‎e‎−xsinxe‎2‎(−π≤x≤π)‎的图象大致是(        ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎6. 如图给出了计算‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎4‎+‎1‎‎6‎+⋯+‎‎1‎‎2018‎的值的程序框图,其中①②分别是(        ) ‎ A.i<1008,n=n+1‎ B.i>1008,n=n+1‎ C.i<1009,n=n+2‎ D.‎i>1009,n=n+2‎ ‎ ‎ ‎7. 已知y=sinx,在区间‎[−π, π]‎上任取一个实数x,则y≥−‎‎1‎‎2‎的概率为(        ) ‎ A.‎7‎‎12‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎5‎‎6‎ ‎ ‎ ‎8. 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2, y‎0‎)‎.若点M到该抛物线焦点的距离为‎4‎,则‎|OM|=(‎        ‎)‎ ‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎2‎‎5‎ ‎ ‎ ‎9. 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集): ①“若a,b∈R,则a−b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a−b=0⇒a=b”; ②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b‎2‎=c+d‎2‎⇒a=c,b=d”; ③“若a,b∈R,则a−b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a−b>0⇒a>b”; 其中类比得到的结论正确的个数是(        ) ‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎10. 已知f′(x)‎是函数f(x)‎的导函数,若函数f(x)‎的图象在点x=2‎处的切线方程是x+2y−5=0‎,则f(2)+f′(2)=(‎        ‎)‎ ‎ A.‎1‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎−‎‎1‎‎2‎ D.‎‎0‎ ‎ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎11. 已知F‎1‎,F‎2‎是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的两焦点,以线段F‎1‎F‎2‎为边作正三角形MF‎1‎F‎2‎,若边MF‎1‎的中点在椭圆C上,则椭圆C的离心率是(        ) ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎3‎‎−1‎ D.‎‎4−2‎‎3‎ ‎ ‎ ‎12. 设直线x=t与函数f(x)=2‎x‎2‎,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当‎|MN|‎达到最小时t的值为(        ) ‎ A.‎1‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ 二、解答题 ‎ ‎ ‎ 已知p:‎∀m∈[−1,1]‎,a‎2‎‎−5a−3≥‎m‎2‎‎+8‎;q:‎∃x∈R,x‎2‎‎+ax+2<0‎成立.若p为真而q为假,求a的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ 设Z‎1‎是虚数,Z‎2‎‎=Z‎1‎+‎‎2‎Z‎1‎是实数,且‎−1≤Z‎2‎≤2‎. ‎ ‎(1)‎求‎|Z‎1‎|‎的值以及Z‎1‎的实部的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若ω=‎‎2‎‎−‎Z‎1‎‎2‎‎+‎Z‎1‎,求证ω为纯虚数.‎ ‎ ‎ ‎ 已知a是实数,函数f(x)=x‎2‎(x−a)‎.求f(x)‎在区间‎[−1, 0]‎上的最大值. ‎ ‎ ‎ ‎ 某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动.会员每天走‎5‎千步可获积分‎30‎分(不足‎5‎千步不积分),每多走‎2‎千步再积‎20‎分(不足‎2‎千步不积分).为了解会员的健步走情况,工会在某天从系统中随机抽取了‎1000‎名会员,统计了当天他们的步数,并将样本数据分为‎[3, 5)‎,‎[5, 7)‎,‎[7, 9)‎,‎[9, 11)‎,‎[11, 13)‎,‎[13, 15)‎,‎[15, 17)‎,‎[17, 19)‎,‎[19, 21]‎九组,整理得到如下频率分布直方图: ‎ ‎(1)‎从当天步数在‎[11, 13)‎,‎[13, 15)‎,‎[15, 17)‎的会员中按分层抽样的方式抽取‎6‎人,再从这‎6‎人中随机抽取‎2‎人,求这‎2‎人积分之和不少于‎220‎分的概率;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求该组数据的中位数.‎ ‎ ‎ ‎ 如图,已知定点D(2,0)‎,点P是圆C:(x+2‎)‎‎2‎+y‎2‎=36‎上任意一点,线段PD的垂直平分线与半径CP相交于点M. ‎ ‎(1)‎当点P在圆上运动时,求点M的轨迹方程 ‎ ‎ ‎(2)‎过定点Q(0,1)‎且斜率为k的直线l与M的轨迹交于A,B两点,若OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=−6‎,求点O到直线l的距离.‎ ‎ ‎ ‎ 已知f(x)=x−ax−(a+1)lnx. ‎ ‎(1)‎当a=−1‎时,以P‎2,‎‎5‎‎2‎为切点作曲线y=f(x)‎的切线,求切线的方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎,使fx‎0‎>‎x‎0‎成立,求a的取值范围.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2018-2019学年湖北黄冈高二下数学期中试卷 一、选择题 ‎1.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 ‎【解析】‎ 先将复数z+iz化简为代数形式,再根据复数实部的概念作答 ‎【解答】‎ 解:z=‎1+2i‎2−i=‎‎(1+2i)(2+i)‎‎(2−i)(2+i)‎ ‎=‎5i‎5‎=i. ∴ 其共轭复数z‎¯‎‎=−i, 故虚部是‎−1‎. 故选D.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 抛物线的性质 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解:由抛物线的性质可得y‎2‎‎=4x的准线方程为x=−1‎. 故选B. ‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解:由图可得: ‎1‎班的极差为:‎22−8=14‎, ‎2‎班的中位数为:‎9+10‎‎2‎‎=9.5‎. 故选A. ‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 椭圆的定义 必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎【解析】‎ m>n>0‎‎,显然方程x‎2‎m‎2‎‎+y‎2‎n‎2‎=1‎表示椭圆;方程x‎2‎m‎2‎‎+y‎2‎n‎2‎=1‎表示椭圆不能推出m>n>0‎,从而得知正确答案.‎ ‎【解答】‎ 解:若m>0,n>0‎,且m≠n,则方程x‎2‎m‎+y‎2‎n=1‎表示椭圆,前者是后者的充分条件; 方程x‎2‎m‎+y‎2‎n=1‎表示椭圆,只需m>0‎,n>0‎,且m≠n即可,后者能推出前者, 故前者是后者的充分必要条件. 故选C.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 函数奇偶性的性质 函数的图象 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解:因为f(x)‎为奇函数,所以选项B错误; 又fπ‎2‎=ex‎2‎‎+‎e‎−‎π‎2‎sinπ‎2‎e‎2‎=eπ‎2‎‎+‎e‎−‎π‎2‎e‎2‎>0‎,所以选项D错误; f‎′‎π‎2‎‎=eπ‎2‎‎−‎e‎−‎π‎2‎sinπ‎2‎+eπ‎2‎‎+‎e‎−‎π‎2‎cosπ‎2‎e‎2‎>0‎,所以选项C错误. 故选A. ‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 程序框图 ‎【解析】‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解:∵ i的初始为‎1‎,每进行一次加法i+1‎, 根据所要计算内容的规律,得知共进行‎1008‎次之后i符合①处的条件, ∴ ①处应该是i>1009‎, ②处应为n=n+2‎. 故选D. ‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 正弦函数的单调性 几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型)‎ ‎【解析】‎ 根据题意先确定是几何概型中的长度类型,由“此数小于‎1‎“求出构成的区域长度,再求出在区间‎[0, 3]‎上任取一个数x构成的区域长度,再求两长度的比值.‎ ‎【解答】‎ 解:当x∈[−‎5π‎6‎,−π‎6‎]‎时,y≤−‎‎1‎‎2‎, 此时P=‎−π‎6‎+‎‎5π‎6‎‎2π=‎‎1‎‎3‎. ∴ y≥−‎‎1‎‎2‎的概率为‎1−‎1‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎. 故选B.‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 抛物线的求解 椭圆的标准方程 ‎【解析】‎ 关键点M(2, y‎0‎)‎到该抛物线焦点的距离为‎3‎,利用抛物线的定义,可求抛物线方程,进而可得点M的坐标,由此可求‎|OM|‎.‎ ‎【解答】‎ 解:由题意,抛物线关于x轴对称,开口向右,设方程为y‎2‎‎=2px(p>0)‎ ∵ 点M(2, y‎0‎)‎到该抛物线焦点的距离为‎4‎, ∴ ‎2+p‎2‎=4,‎ ∴ p=4,‎ ∴ 抛物线方程为y‎2‎‎=8x,‎ ∵ M(2, y‎0‎)‎, ∴ y‎0‎‎2‎‎=16,‎ ∴ ‎|OM|=‎4+16‎=2‎5‎.‎ 故选D.‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 类比推理 ‎【解析】‎ 在数集的扩展过程中,有些性质是可以传递的,但有些性质不能传递,因此,要判断类比的结果是否正确,关键是要在新的数集里进行论证,要想证明一个结论是错误的,也可直接举一个反例.‎ ‎【解答】‎ 解:①在复数集C中,若两个复数满足a−b=0‎,则它们的实部和虚部均相等,则a,b相等.故①正确; ②在有理数集Q中,由a+b‎2‎=c+d‎2‎得,‎(a−c)+‎2‎(b−d)=0‎,易得:a=c,b=d.故②正确; ③在复数范围内,a−b>0‎不能推出a>b,比如a=2+i,b=1+i,显然有a−b=1>0‎成立,但a,b不能比较大小,故③错误. 故选C.‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】‎ 由导数的几何意义求出该点处切线的导数以及该点处的函数值,代入求值即可 ‎【解答】‎ 解:由题意函数f(x)‎的图象在点x=2‎处的切线方程是x+2y−5=0‎, f′(2)=−‎‎1‎‎2‎,f(2)=‎3‎‎2‎.‎ 故f(2)+f′(2)=1‎ 故选A.‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 椭圆的离心率 椭圆的定义 ‎【解析】‎ 设边PF‎1‎的中点为Q,连接F‎2‎Q,Rt△QF‎1‎F‎2‎中,算出‎|QF‎1‎|=c且‎|QF‎2‎|=‎3‎c,根据椭圆的定义得‎2a=|QF‎1‎|+|QF‎2‎|=(1+‎3‎)c,由此不难算出该椭圆的离心率.‎ ‎【解答】‎ 解:由题意,设边MF‎1‎的中点为Q,连接F‎2‎Q, 在‎△QF‎1‎F‎2‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 中,‎∠QF‎1‎F‎2‎=‎‎60‎‎∘‎,‎∠QF‎2‎F‎1‎=‎‎30‎‎∘‎ Rt△QF‎1‎F‎2‎中,‎|F‎1‎F‎2‎|=2c(椭圆的焦距), ∴ ‎|QF‎1‎|=‎1‎‎2‎|F‎1‎F‎2‎|=c,‎|QF‎2‎|=‎3‎‎2‎|F‎1‎F‎2‎|=‎3‎c, 根据椭圆的定义,得‎2a=|QF‎1‎|+|QF‎2‎|=(1+‎3‎)c, ∴ 椭圆的离心率为e=ca=‎2c‎(1+‎3‎)c=‎3‎−1‎, 故选C.‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 导数在最大值、最小值问题中的应用 ‎【解析】‎ 将两个函数作差,得到函数y=f(x)−g(x)‎,再求此函数的最小值对应的自变量x的值.‎ ‎【解答】‎ 解:设函数y=f(x)−g(x)=2x‎2‎−lnx,求导数得 y‎′‎‎=4x−‎1‎x=‎4x‎2‎−1‎x.‎ 当‎0‎‎1‎‎2‎时,y′>0‎,函数在‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎上为单调增函数 所以当x=‎‎1‎‎2‎时,所设函数的最小值为‎1‎‎2‎‎−ln‎1‎‎2‎.‎ 所求t的值为‎1‎‎2‎‎.‎ 故选B.‎ 二、解答题 ‎【答案】‎ 解:若p成立,由m∈[−1, 1]‎得m‎2‎‎+8‎‎∈[2‎2‎,3]‎, 即a‎2‎‎−5a−3≥3‎,解得a≥6‎或a≤−1‎; 若q成立,则不等式中Δ>0‎,解得a>2‎‎2‎或a<−2‎‎2‎; 若p真q假,则‎−2‎2‎≤a≤−1‎.‎ ‎【考点】‎ 复合命题及其真假判断 一元二次不等式的解法 ‎【解析】‎ 分别求出命题p和q中m的范围和a的范围,若“p或q”为真,“p且q”为假,可知命题p与q一真一假,从而求出a的取值范围;‎ ‎【解答】‎ 解:若p成立,由m∈[−1, 1]‎得m‎2‎‎+8‎‎∈[2‎2‎,3]‎, 即a‎2‎‎−5a−3≥3‎,解得a≥6‎或a≤−1‎; 若q成立,则不等式中Δ>0‎,解得a>2‎‎2‎或a<−2‎‎2‎; 若p真q假,则‎−2‎2‎≤a≤−1‎.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎解:设Z‎1‎‎=a+bi,‎(a,b∈R,且b≠0)‎, 则Z‎2‎‎=Z‎1‎+‎2‎Z‎1‎=a+bi+‎‎2‎a+bi ‎=(a+‎2aa‎2‎‎+‎b‎2‎)+(b−‎2ba‎2‎‎+‎b‎2‎)i, ∵ Z‎2‎是实数,b≠0‎,∴ a‎2‎‎+b‎2‎=2‎,即‎|Z‎1‎|=‎‎2‎,且Z‎2‎‎=2a, 由‎−1≤Z‎2‎≤2‎,得‎−1≤2a≤2‎,解得‎−‎1‎‎2‎≤a≤1‎, 即Z‎1‎的实部的取值范围为‎[−‎1‎‎2‎, 1]‎.‎ ‎(2)‎证明:ω=‎2‎‎−‎Z‎1‎‎2‎‎+‎Z‎1‎=‎‎2‎‎−a−bi‎2‎‎+a+bi ‎=‎2−a‎2‎−b‎2‎−2‎2‎bi‎(‎2‎+a‎)‎‎2‎+‎b‎2‎=‎−ba+‎‎2‎i, ∵ a∈[−‎1‎‎2‎, 1]‎,b≠0‎, ∴ ‎−ba+‎‎2‎‎≠0‎, 故ω是纯虚数.‎ ‎【考点】‎ 复数的模 复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 ‎【解析】‎ ‎(1)设z‎1‎‎=a+bi,‎(a,b∈R,且b≠0)‎,则z‎2‎‎=z‎1‎+‎1‎z‎1‎=(a+aa‎2‎‎+‎b‎2‎)+(b−ba‎2‎‎+‎b‎2‎)‎,由z‎1‎是实数,得a‎2‎‎+b‎2‎=1‎,由此求出z‎1‎的实部的取值范围为‎[−‎1‎‎2‎, ‎1‎‎2‎]‎.‎ ‎(2)ω=‎1−‎Z‎1‎‎1+‎Z‎1‎=‎1−a−bi‎1+a+bi=‎1−a‎2‎−b‎2‎−2bi‎(1+a‎)‎‎2‎+‎b‎2‎=ba+1‎i,由此能证明ω=‎‎1−‎Z‎1‎‎1+‎Z‎1‎是纯虚数.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解:设Z‎1‎‎=a+bi,‎(a,b∈R,且b≠0)‎, 则Z‎2‎‎=Z‎1‎+‎2‎Z‎1‎=a+bi+‎‎2‎a+bi ‎=(a+‎2aa‎2‎‎+‎b‎2‎)+(b−‎2ba‎2‎‎+‎b‎2‎)i, ∵ Z‎2‎是实数,b≠0‎,∴ a‎2‎‎+b‎2‎=2‎,即‎|Z‎1‎|=‎‎2‎,且Z‎2‎‎=2a, 由‎−1≤Z‎2‎≤2‎,得‎−1≤2a≤2‎,解得‎−‎1‎‎2‎≤a≤1‎, 即Z‎1‎的实部的取值范围为‎[−‎1‎‎2‎, 1]‎.‎ ‎(2)‎证明:ω=‎2‎‎−‎Z‎1‎‎2‎‎+‎Z‎1‎=‎‎2‎‎−a−bi‎2‎‎+a+bi ‎=‎2−a‎2‎−b‎2‎−2‎2‎bi‎(‎2‎+a‎)‎‎2‎+‎b‎2‎=‎−ba+‎‎2‎i, ∵ ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ a∈[−‎1‎‎2‎, 1]‎,b≠0‎, ∴ ‎−ba+‎‎2‎‎≠0‎, 故ω是纯虚数.‎ ‎【答案】‎ 解:令f‎′‎‎(x)=0‎, 解得x‎1‎‎=0,x‎2‎=‎‎2a‎3‎. ①当‎2a‎3‎‎≥0‎,即a≥0‎时,f(x)‎在‎[−1, 0]‎上单调递增, 从而f(x‎)‎max=f(0)=0‎. ②当‎2a‎3‎‎≤−1‎时,即a≤−‎‎3‎‎2‎时,f(x)‎在‎[−1, 0]‎上单调递减, 从而f(x‎)‎max=f(−1)=−1−a. ③当‎−1<‎2a‎3‎<0‎,即‎−‎3‎‎2‎‎x‎0‎成立, 所以存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎,使a+(a+1)x‎0‎lnx‎0‎<0‎成立, 令g(x)=a+(a+1)xlnx, 则g‎′‎‎(x)=(a+1)(lnx+1)‎.‎ ‎①若‎(a+1)>0‎, 则x∈‎‎0,‎‎1‎e时,g‎′‎‎(x)<0‎, g(x)‎为减函数;‎ x∈‎‎1‎e‎,+∞‎时,g‎′‎‎(x)>0‎, g(x)‎为增函数.‎ 所以当x=‎‎1‎e时, g(x‎)‎min=a+(a+1)‎1‎eln‎1‎e=‎a(e−1)−1‎e. 由a(e−1)−1‎e‎<0,‎a+1>0‎,‎ 得‎−11‎时,有g(x)<0‎恒成立,即存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎,‎ 使a+(a+1)x‎0‎lnx‎0‎<0‎,‎ 综上,a的取值范围是‎−∞,‎‎1‎e−1‎.‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎因为a=−1‎, 所以f(x)=x+‎1‎x, f‎′‎(x)=1−‎‎1‎x‎2‎.‎ 则f‎′‎‎(2)=1−‎1‎‎4‎=‎‎3‎‎4‎.‎ 则切线方程为y=‎3‎‎4‎(x−2)+‎5‎‎2‎=‎3‎‎4‎x+1‎.‎ 所以切线方程为‎3x−4y+4=0‎.‎ ‎(2)‎因为存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎,使fx‎0‎>‎x‎0‎成立, 所以存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎,使a+(a+1)x‎0‎lnx‎0‎<0‎成立, 令g(x)=a+(a+1)xlnx, 则g‎′‎‎(x)=(a+1)(lnx+1)‎.‎ ‎①若‎(a+1)>0‎, 则x∈‎‎0,‎‎1‎e时,g‎′‎‎(x)<0‎, g(x)‎为减函数;‎ x∈‎‎1‎e‎,+∞‎时,g‎′‎‎(x)>0‎, g(x)‎为增函数.‎ 所以当x=‎‎1‎e时, g(x‎)‎min=a+(a+1)‎1‎eln‎1‎e=‎a(e−1)−1‎e. 由a(e−1)−1‎e‎<0,‎a+1>0‎,‎ 得‎−11‎时,有g(x)<0‎恒成立,即存在x‎0‎‎∈(0,+∞)‎,‎ 使a+(a+1)x‎0‎lnx‎0‎<0‎,‎ 综上,a的取值范围是‎−∞,‎‎1‎e−1‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页