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  • 2021-06-16 发布

人教a版数学【选修1-1】作业:3-4生活中的优化问题举例(含答案)

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§3.4 生活中的优化问题举例 课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题,使学生体会导数在解决 实际问题中的作用,会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 ____________,通过前面的学习,我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具,运用 ________,可以解决一些生活中的______________. 2.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系,这需通过分 析、联想、抽象和转化完成.函数的最值要由极值和端点的函数值确定,当定义域是开区间, 而且其上有惟一的极值,则它就是函数的最值. 3.解决优化问题的基本思路是: 用函数表示的数学问题 → 用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程. 一、选择题 1.某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2 60-x 2 (0400 ,则总利润最大时,年 产量是( ) A.100 B.150 C.200 D.300 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________ 千米处. 8.如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小 时,x 与 h 的比为________. 9.做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 27π,且用料最省,则圆柱的底面半径 为________. 三、解答题 10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩 之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它 因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 11.某商品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销售量可 以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0≤x≤30)的平方成 正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 能力提升 12.某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+ 48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平 均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用 建筑总面积) 13.已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的 函数关系式为 p=25-1 8q,求产量 q 为何值时,利润 L 最大. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤. (1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变 量之间的函数关系 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)写出答案. §3.4 生活中的优化问题举例 答案 知识梳理 1.优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计 1.B [V′(x)=60x-3 2x2=0,x=0 或 x=40. x (0,40) 40 (40,60) V′(x) + 0 - V(x) 极大值 可见当 x=40 时,V(x)达到最大值.] 2.C [y′=-x2+81,令 y′=0,得 x=9 或 x=-9(舍去).当 00;当 x>9 时,y′<0,故当 x=9 时,函数有极大值,也是最大值.] 3.A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短, 如图所示,设场地宽为 x 米,则长为512 x 米,因此新墙壁总长度 L=2x+512 x (x>0), 则 L′=2-512 x2 . 令 L′=0,得 x=±16.∵x>0,∴x=16. 当 x=16 时,L 极小值=Lmin=64,此时堆料场的长为512 16 =32(米).] 4.C [设底面边长为 a,直三棱柱高为 h. 体积 V= 3 4 a2h,所以 h= 4V 3a2 , 表面积 S=2· 3 4 a2+3a· 4V 3a2 = 3 2 a2+4 3V a , S′= 3a-4 3V a2 ,由 S′=0,得 a=3 4V. 经验证,当 a=3 4V时,表面积最小.] 5.D [设高为 x cm,则底面半径为 202-x2 cm, 体积 V=π 3x·(202-x2) (00,当 x∈ 20 3 3 ,20 时,V′<0,所以当 x=20 3 3 时,V 取最大值.] 6.D [由题意,总成本为 c=20 000+100x, 所以总利润为 p=r-c = 300x-x2 2 -20 000 0≤x≤400 60 000-100x x>400 , p′= 300-x 0≤x≤400 -100 x>400 , p′=0,当 0≤x≤400 时,得 x=300; 当 x>400 时,p′<0 恒成立, 易知当 x=300 时,总利润最大.] 7.5 解析 依题意可设每月土地占用费 y1=k1 x ,每月库存货物的运费 y2=k2x,其中 x 是仓库 到车站的距离. 于是由 2=k1 10 ,得 k1=20;由 8=10k2,得 k2=4 5. 因此两项费用之和为 y=20 x +4x 5 ,y′=-20 x2 +4 5 , 令 y′=-20 x2 +4 5 =0 得 x=5(x=-5 舍去),经验证,此点即为最小值点. 故当仓库建在离车站 5 千米处时,两项费用之和最小. 8.1∶1 解析 设窗户面积为 S,周长为 L,则 S=π 2x2+2hx,h= S 2x -π 4x,所以窗户周长 L=πx+2x+2h=π 2x+2x+S x ,L′=π 2 +2-S x2. 由 L′=0,得 x= 2S π+4 ,x∈ 0, 2S π+4 时,L′<0, x∈ 2S π+4 ,+∞ 时,L′>0, 所以当 x= 2S π+4 时,L 取最小值, 此时h x =2S-πx2 4x2 =2S 4x2 -π 4 =π+4 4 -π 4 =1. 9.3 解析 设半径为 r,则高 h=27π πr2 =27 r2 . ∴水桶的全面积 S(r)=πr2+2πr·27 r2 =πr2+54π r . S′(r)=2πr-54π r2 ,令 S′(r)=0,得 r=3. ∴当 r=3 时,S(r)最小. 10.解 (1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m, 即 n=m x -1 (00,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以 f(x)在 x=64 处取得最 小值,此时 n=m x -1=640 64 -1=9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 11.解 (1)设商品降低 x 元时,多卖出的商品件数为 kx2,若记商品在一个星期的销售 利润为 f(x),则依题意有 f(x)=(30-x-9)·(432+kx2) =(21-x)·(432+kx2), 又由已知条件 24=k·22,于是有 k=6, 所以 f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30]. (2)根据(1),有 f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表: x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f′(x) - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 故 x=12 时,f(x)达到极大值.因为 f(0)=9 072,f(12)=11 664,所以定价为 30-12= 18(元)能使一个星期的商品销售利润最大. 12.解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,则 f(x)=(560+48x)+2 160×10 000 2 000x =560+48x+10 800 x (x≥10,x∈N*), f′(x)=48-10 800 x2 , 令 f′(x)=0 得 x=15. 当 x>15 时,f′(x)>0; 当 00; 当 84