人教a版数学【选修1-1】作业：3-4生活中的优化问题举例（含答案） 6页

§3.4 生活中的优化问题举例 课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决 实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用 ________，可以解决一些生活中的______________． 2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分 析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间， 而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 3．解决优化问题的基本思路是： 用函数表示的数学问题 → 用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程． 一、选择题 1．某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)＝x2 60－x 2 (0400 ，则总利润最大时，年 产量是( ) A．100 B．150 C．200 D．300 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题 7．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ 千米处． 8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小 时，x 与 h 的比为________． 9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是 27π，且用料最省，则圆柱的底面半径 为________． 三、解答题 10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩 之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它 因素．记余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 11．某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件．如果降低价格，销售量可 以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤30)的平方成 正比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 能力提升 12．某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋ 48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平 均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用 建筑总面积) 13．已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C＝100＋4q，价格 p 与产量 q 的 函数关系式为 p＝25－1 8q，求产量 q 为何值时，利润 L 最大． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤． (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变 量之间的函数关系 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案． §3.4 生活中的优化问题举例 答案 知识梳理 1．优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计 1．B [V′(x)＝60x－3 2x2＝0，x＝0 或 x＝40. x (0,40) 40 (40,60) V′(x) ＋ 0 － V(x) 极大值 可见当 x＝40 时，V(x)达到最大值．] 2．C [y′＝－x2＋81，令 y′＝0，得 x＝9 或 x＝－9(舍去)．当 00；当 x>9 时，y′<0，故当 x＝9 时，函数有极大值，也是最大值．] 3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短， 如图所示，设场地宽为 x 米，则长为512 x 米，因此新墙壁总长度 L＝2x＋512 x (x>0)， 则 L′＝2－512 x2 . 令 L′＝0，得 x＝±16.∵x>0，∴x＝16. 当 x＝16 时，L 极小值＝Lmin＝64，此时堆料场的长为512 16 ＝32(米)．] 4．C [设底面边长为 a，直三棱柱高为 h. 体积 V＝ 3 4 a2h，所以 h＝ 4V 3a2 ， 表面积 S＝2· 3 4 a2＋3a· 4V 3a2 ＝ 3 2 a2＋4 3V a ， S′＝ 3a－4 3V a2 ，由 S′＝0，得 a＝3 4V. 经验证，当 a＝3 4V时，表面积最小．] 5．D [设高为 x cm，则底面半径为 202－x2 cm， 体积 V＝π 3x·(202－x2) (00，当 x∈ 20 3 3 ，20 时，V′<0，所以当 x＝20 3 3 时，V 取最大值．] 6．D [由题意，总成本为 c＝20 000＋100x， 所以总利润为 p＝r－c ＝ 300x－x2 2 －20 000 0≤x≤400 60 000－100x x>400 ， p′＝ 300－x 0≤x≤400 －100 x>400 ， p′＝0，当 0≤x≤400 时，得 x＝300； 当 x>400 时，p′<0 恒成立， 易知当 x＝300 时，总利润最大．] 7．5 解析 依题意可设每月土地占用费 y1＝k1 x ，每月库存货物的运费 y2＝k2x，其中 x 是仓库 到车站的距离． 于是由 2＝k1 10 ，得 k1＝20；由 8＝10k2，得 k2＝4 5. 因此两项费用之和为 y＝20 x ＋4x 5 ，y′＝－20 x2 ＋4 5 ， 令 y′＝－20 x2 ＋4 5 ＝0 得 x＝5(x＝－5 舍去)，经验证，此点即为最小值点． 故当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1 解析 设窗户面积为 S，周长为 L，则 S＝π 2x2＋2hx，h＝ S 2x －π 4x，所以窗户周长 L＝πx＋2x＋2h＝π 2x＋2x＋S x ，L′＝π 2 ＋2－S x2. 由 L′＝0，得 x＝ 2S π＋4 ，x∈ 0， 2S π＋4 时，L′<0， x∈ 2S π＋4 ，＋∞ 时，L′>0， 所以当 x＝ 2S π＋4 时，L 取最小值， 此时h x ＝2S－πx2 4x2 ＝2S 4x2 －π 4 ＝π＋4 4 －π 4 ＝1. 9．3 解析 设半径为 r，则高 h＝27π πr2 ＝27 r2 . ∴水桶的全面积 S(r)＝πr2＋2πr·27 r2 ＝πr2＋54π r . S′(r)＝2πr－54π r2 ，令 S′(r)＝0，得 r＝3. ∴当 r＝3 时，S(r)最小． 10．解 (1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m， 即 n＝m x －1 (00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x＝64 处取得最 小值，此时 n＝m x －1＝640 64 －1＝9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小． 11．解 (1)设商品降低 x 元时，多卖出的商品件数为 kx2，若记商品在一个星期的销售 利润为 f(x)，则依题意有 f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2) ＝(21－x)·(432＋kx2)， 又由已知条件 24＝k·22，于是有 k＝6， 所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]． (2)根据(1)，有 f′(x)＝－18x2＋252x－432 ＝－18(x－2)(x－12)． 当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下表： x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小值 极大值 故 x＝12 时，f(x)达到极大值．因为 f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为 30－12＝ 18(元)能使一个星期的商品销售利润最大． 12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则 f(x)＝(560＋48x)＋2 160×10 000 2 000x ＝560＋48x＋10 800 x (x≥10，x∈N*)， f′(x)＝48－10 800 x2 ， 令 f′(x)＝0 得 x＝15. 当 x>15 时，f′(x)>0； 当 00； 当 84