2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科） 8页

‎2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ ‎ ‎1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4}‎，集合A={1, 2, 3}‎，B={2, 4}‎，则‎(‎∁‎UA)∪B为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎{1, 2, 4}‎ B.‎{2, 3, 4}‎ C.‎{0, 2, 4}‎ D.‎‎{0, 2, 3, 4}‎ ‎ ‎ ‎2. 设x∈R，则x=1‎是x‎2‎‎=1‎的（ ） ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎3. 已知函数f(x)‎为奇函数，且当x>0‎时，f(x)=x‎2‎+‎‎1‎x，则f(−1)=‎(        ) ‎ A.‎−2‎ B.‎0‎ C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎4. 函数y=‎xln|x|‎‎|x|‎的图象可能是（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎5. 已知数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且Sn‎=2an−2‎，则a‎2‎等于（ ） ‎ A.‎−2‎ B.‎2‎ C.‎1‎ D.‎‎4‎ ‎ ‎ ‎6. 为了得到函数y＝sin2x的图象，可将函数y＝sin(2x+π‎6‎)‎的图象（ ） ‎ A.向左平移π‎12‎个长度单位 B.向左平移π‎6‎个长度单位 C.向右平移π‎6‎个长度单位 D.向右平移π‎12‎个长度单位 ‎ ‎ ‎ ‎7. 已知各项均为正数的等比数列‎{an}‎，a‎1‎a‎2‎a‎3‎＝‎5‎，a‎7‎a‎8‎a‎9‎＝‎10‎，则a‎4‎a‎5‎a‎6‎＝（ ） ‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎7‎ C.‎6‎ D.‎‎4‎‎2‎ ‎ ‎ ‎8. 已知角α的终边上一点的坐标为‎(sin‎5π‎6‎，cos‎5π‎6‎)‎，则角α的最小正值为（ ） ‎ A.‎5π‎6‎ B.‎2π‎3‎ C.‎5π‎3‎ D.‎‎11π‎6‎ ‎ ‎ ‎9. 设a=log‎3‎6‎，b=log‎5‎10‎，c=log‎7‎14‎，则(        ) ‎ A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.‎a>b>c ‎ ‎ ‎10. 已知向量a‎→‎‎+b‎→‎=(2, −8)‎，a‎→‎‎−b‎→‎=(−8, 16)‎，则a‎→‎与b‎→‎夹角的余弦值为（ ） ‎ A.‎63‎‎65‎ B.‎−‎‎63‎‎65‎ C.‎±‎‎63‎‎65‎ D.‎‎5‎‎13‎ ‎ ‎ ‎11. 若S‎1‎‎=‎1‎‎2‎x‎2‎dx，S‎2‎‎=‎1‎‎2‎‎1‎xdx，S‎3‎‎=‎1‎‎2‎exdx，则S‎1‎，S‎2‎，S‎3‎的大小关系为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.S‎1‎‎0‎，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)=(3−2a‎)‎x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎ 设递增等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn，已知a‎3‎‎=1‎，a‎4‎是a‎3‎和a‎7‎的等比中项， ‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎（2）求数列‎{an}‎的前n项和Sn．‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)=cos(π‎3‎+x)cos(π‎3‎−x)−sinxcosx+‎‎1‎‎4‎ ‎ ‎（1）求函数f(x)‎的最小正周期和最大值；‎ ‎ ‎ ‎（2）求函数f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调递减区间．‎ ‎ ‎ ‎ 已知定义域为R的函数f(x)=‎‎−‎3‎x+b‎3‎x+1‎‎+a是奇函数． ‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）证明函数f(x)‎的单调性．‎ ‎ ‎ ‎ 已知m‎→‎‎=(sinωx+cosωx, ‎3‎cosωx)‎，n‎→‎‎=(cosωx−sinωx, 2sinωx)‎，其中ω>0‎，若函数f(x)=m‎→‎⋅‎n‎→‎，且函数f(x)‎的图象与直线y=2‎两相邻公共点间的距离为π． ‎(l)‎求ω的值； ‎(2)‎在‎△ABC中，以a，b，c（分别是角A，B，C的对边，且a=‎‎3‎，f(A)=1‎，求‎△ABC周长的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎ 设函数f(x)‎＝ax−lnx，g(x)‎＝ex‎−ax，其中a为正实数． ‎(l)‎若x＝‎0‎是函数g(x)‎的极值点，讨论函数f(x)‎的单调性； ‎ 若f(x)‎在‎(1, +∞)‎上无最小值，且g(x)‎在‎(1, +∞)‎上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g(x)‎与曲线y=‎1‎‎2‎ax‎2‎−ax在‎(1, +∞)‎交点个数．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2013-2014学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 交、并、补集的混合运算 ‎【解析】‎ 找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 全集U={0, 1, 2, 3, 4}‎，集合A={1, 2, 3}‎， ∴ ‎∁‎UA={0, 4}‎，又B={2, 4}‎， 则‎(‎∁‎UA)∪B={0, 2, 4}‎． 故选C.‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎【解析】‎ 由x=1‎可推出x‎2‎‎=1‎，但由x‎2‎‎=1‎推不出x=1‎；所以x=1‎是x‎2‎‎=1‎的充分不必要条件．‎ ‎【解答】‎ 解：由x=1‎可推出x‎2‎‎=1‎，但由x‎2‎‎=1‎推不出x=1‎；所以x=1‎是x‎2‎‎=1‎的充分不必要条件．故选A．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 函数的求值 ‎【解析】‎ 利用奇函数的性质，f(−1)=−f(1)‎，即可求得答案．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 函数f(x)‎为奇函数，x>0‎时，f(x)=x‎2‎+‎‎1‎x， ∴ f(−1)=−f(1)=−2‎. 故选A．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 函数的图象 ‎【解析】‎ 当x>0‎时，y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx，当x<0‎时，y=xln|x|‎‎|x|‎=xln(−x)‎‎−x=−ln(−x)‎，作出函数图象为B．‎ ‎【解答】‎ 函数y=‎xln|x|‎‎|x|‎的定义域为‎(−∞, 0)∪(0, +∞)‎关于原点对称． 当x>0‎时，y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx， 当x<0‎时，y=xln|x|‎‎|x|‎=xln(−x)‎‎−x=−ln(−x)‎，此时函数图象与当x>0‎时函数y=xln|x|‎‎|x|‎=xlnxx=lnx的图象关于原点对称．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 数列递推式 ‎【解析】‎ 利用Sn‎=2an−2‎，n分别取‎1‎，‎2‎，则可求a‎2‎的值．‎ ‎【解答】‎ 解：n=1‎时，S‎1‎‎=2a‎1‎−2‎，∴ a‎1‎‎=2‎， n=2‎时，S‎2‎‎=2a‎2‎−2‎，∴ a‎2‎‎=a‎1‎+2=4‎． 故选D．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 ‎【解析】‎ 利用函数y＝sin(2x+π‎6‎)‎的图象变换即可求得答案．‎ ‎【解答】‎ 令y＝f(x)‎＝sin(2x+π‎6‎)‎， 则f(x−π‎12‎)‎＝sin[2(x−π‎12‎)+π‎6‎]‎＝sin2x， ∴ 为了得到函数y＝sin 2x的图象，可将函数y＝sin(2x+π‎6‎)‎的图象向右平移π‎12‎个单位．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 等比数列的性质 ‎【解析】‎ 由数列‎{an}‎是等比数列，则有a‎1‎a‎2‎a‎3‎＝‎5⇒‎a‎2‎‎3‎＝‎5‎；a‎7‎a‎8‎a‎9‎＝‎10⇒‎a‎8‎‎3‎＝‎10‎．‎ ‎【解答】‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎＝‎5⇒‎a‎2‎‎3‎＝‎5‎； a‎7‎a‎8‎a‎9‎＝‎10⇒‎a‎8‎‎3‎＝‎10‎， a‎5‎‎2‎＝a‎2‎a‎8‎， ∴ a‎5‎‎6‎‎=a‎2‎‎3‎a‎8‎‎3‎=50‎，∴ a‎4‎a‎5‎a‎6‎‎=a‎5‎‎3‎=5‎‎2‎，‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 终边相同的角 ‎【解析】‎ 先确定此点的坐标，判断此点的终边所在的象限，并求出此角的正切值，从而得到此角的最小值．‎ ‎【解答】‎ 解：角α的终边上一点的坐标为‎(sin‎5π‎6‎，cos‎5π‎6‎)‎，即‎(‎1‎‎2‎, −‎3‎‎2‎)‎， 此点到原点的距离为‎1‎，此点在第四象限，tanα=−‎‎3‎， 故角α的最小值为 ‎5π‎3‎， 故选：C．‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 对数值大小的比较 ‎【解析】‎ 利用loga‎(xy)=logax+logay(x、y>0)‎，化简a，b，c然后比较log‎3‎‎2‎，log‎5‎‎2‎，log‎7‎‎2‎大小即可．‎ ‎【解答】‎ 解：因为a=log‎3‎6=1+log‎3‎2‎，b=log‎5‎10=1+log‎5‎2‎，c=log‎7‎14=1+log‎7‎2‎， 因为y=log‎2‎x是增函数， 所以log‎2‎‎7>log‎2‎5>log‎2‎3‎. 因为log‎2‎‎7=‎‎1‎log‎7‎‎2‎，log‎2‎‎5=‎‎1‎log‎5‎‎2‎，log‎2‎‎3=‎‎1‎log‎3‎‎2‎， 所以log‎3‎‎2>log‎5‎2>log‎7‎2‎， 所以a>b>c. 故选D．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 数量积表示两个向量的夹角 ‎【解析】‎ 利用向量坐标关系，求出a‎→‎‎=(−3, 4)‎，b‎→‎‎=(5, −12)‎，再利用cosθ=‎a‎→‎‎⋅‎b‎→‎‎|a‎→‎|⋅|b‎→‎|‎求解即可．‎ ‎【解答】‎ 由向量a‎→‎‎+b‎→‎=(2,−8)‎，a‎→‎‎−b‎→‎=(−8,16)‎， 得a‎→‎‎=(−3, 4)‎，b‎→‎‎=(5, −12)‎， 所以‎|a‎→‎|‎＝‎5‎，‎|b‎→‎|‎＝‎13‎，a‎→‎‎⋅b‎→‎=−63‎， 即a‎→‎与b‎→‎夹角的余弦值cosθ=a‎→‎‎⋅‎b‎→‎‎|a‎→‎|⋅|b‎→‎|‎=−‎‎63‎‎65‎．‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 微积分基本定理 ‎【解析】‎ 先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．‎ ‎【解答】‎ 解：由于S‎1‎‎=‎1‎‎2‎x‎2‎dx‎=‎‎1‎‎3‎x‎3‎‎|‎‎1‎‎2‎‎=‎‎7‎‎3‎， S‎2‎‎=‎1‎‎2‎‎1‎xdx‎=lnx‎|‎‎1‎‎2‎‎=ln2‎， S‎3‎‎=‎1‎‎2‎exdx‎=‎ex‎|‎‎1‎‎2‎‎=e‎2‎−e． 且ln2<‎7‎‎3‎0‎，函数在‎[0, 1]‎上是增函数 又由当x∈[0, 1]‎时，‎0≤f(x)≤1‎， 则f(0)=0‎，f(1)=1‎． 而y=lg|x|‎是偶函数，当x>0‎时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数， 由于x=10‎时，y=lg10=1‎， ∴ 其图象与f(x)‎的图象在‎[0, 2]‎上有一个交点，在每个周期上各有两个交点， ∴ 在y轴右侧共有‎9‎个交点． ∵ y=lg|x|‎是偶函数，其图象关于y轴对称， ∴ 在y轴左侧也有‎9‎个交点 ∴ 两函数图象共有‎18‎个交点． 故选：C．‎ 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）‎ ‎【答案】‎ ‎(−2, −4)‎ ‎【考点】‎ 平面向量的坐标运算 ‎【解析】‎ BC‎→‎‎=BA‎→‎−‎CA‎→‎‎，再利用坐标运算求解．‎ ‎【解答】‎ 解：BC‎→‎‎=BA‎→‎−CA‎→‎=(2, 3)−(4, 7)=(−2, −4)‎ 故答案为：‎‎(−2, −4)‎ ‎【答案】‎ ‎4‎n−1‎ ‎【考点】‎ 等比数列的通项公式 ‎【解析】‎ 根据等比数列的通项公式，把q代入前‎3‎项的和，进而求得a‎1‎则数列的通项公式可得．‎ ‎【解答】‎ 由题意知a‎1‎‎+4a‎1‎+16‎a‎1‎＝‎21‎， 解得a‎1‎＝‎1‎， 所以通项an＝‎4‎n−1‎．‎ ‎【答案】‎ ‎2‎ ‎【考点】‎ 子集与交集、并集运算的转换 ‎【解析】‎ 由题意得 ‎5‎在全集中，故a‎2‎‎+2a−3=5‎，‎|2a−1|‎在全集中，且不是‎2‎和‎5‎，故‎|2a−1|=3‎．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意得‎|2a−1|=3‎，且a‎2‎‎+2a−3=5‎， 解得a=2‎， 故答案为‎2‎．‎ ‎【答案】‎ ‎[−1, 0]‎ ‎【考点】‎ 对数函数的图象与性质 ‎【解析】‎ 画出函数f(x)‎的图象，通过讨论①a=0‎，②a>0‎，③a<0‎时的情况，从而求出a的范围．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ f(x)=‎‎−ln(x+1),(−10)‎， 令g(x)=ax， 画出函数f(x)‎和g(x)‎的图象， 如图示： ， ①a=0‎，可以确定； ②a>0‎是不可能的，f(x)=ln(x+1)‎迟早会被g(x)=ax追上； ③a<0‎时，f′(x)=−‎‎1‎x+1‎，∴ f′0)=−1‎， ∴ a≥−1‎， 综上：‎−1≤a≤0‎， 故答案为：‎[−1, 0]‎．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎【答案】‎ 解：∵ p∨q为真，p∧q为假，∴ p为真，q为假，或p为假，q为真． ①当p为真，q为假时， ‎△=4a‎2‎−16<0‎‎0<3−2a<1‎，解得‎11‎，解得a≤−2‎ 综上，实数a的取值范围是‎{a|a≤−2或11‎，解得a≤−2‎ 综上，实数a的取值范围是‎{a|a≤−2或10‎， ∵ a‎4‎‎2‎‎=a‎3‎×‎a‎7‎a‎3‎‎=1‎， ∴ ‎(a‎1‎+3d‎)‎‎2‎=1×(a‎1‎+6d)‎a‎1‎‎+2d=1‎， 解得a‎1‎‎=−3‎d=2‎…． ∴ an‎=−3+(n−1)×2=2n−5‎．‎ ‎（2）由（1）知，在等差数列中，a‎1‎‎=−3‎d=2‎， ∴ Sn‎=n(−3+2n−5)‎‎2‎=n‎2‎−4n 故Sn‎=n‎2‎−4n…‎ ‎【考点】‎ 等差数列的前n项和 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ ‎（1）在递增等差数列‎{an}‎中，由a‎4‎‎2‎‎=a‎3‎×‎a‎7‎a‎3‎‎=1‎，解得a‎1‎‎=−3‎d=2‎，由此能求出an．   ‎ ‎（2）在等差数列中，由a‎1‎‎=−3‎d=2‎，能求出数列‎{an}‎的前n项和Sn．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）在递增等差数列‎{an}‎中，设公差为d>0‎， ∵ a‎4‎‎2‎‎=a‎3‎×‎a‎7‎a‎3‎‎=1‎， ∴ ‎(a‎1‎+3d‎)‎‎2‎=1×(a‎1‎+6d)‎a‎1‎‎+2d=1‎， 解得a‎1‎‎=−3‎d=2‎…． ∴ an‎=−3+(n−1)×2=2n−5‎．‎ ‎（2）由（1）知，在等差数列中，a‎1‎‎=−3‎d=2‎， ∴ Sn‎=n(−3+2n−5)‎‎2‎=n‎2‎−4n 故Sn‎=n‎2‎−4n…‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵ f(x)=cos(π‎3‎+x)cos(π‎3‎−x)−‎1‎‎2‎sin2x+‎‎1‎‎4‎ ‎=(‎1‎‎2‎cosx−‎3‎‎2‎sinx)(‎1‎‎2‎cosx+‎3‎‎2‎sinx)−‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎cos‎2‎x−‎3‎‎4‎sin‎2‎x−‎1‎‎2‎sin2x+‎‎1‎‎4‎ ‎=‎1+cos2x‎8‎−‎3−3cos2x‎8‎−‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎4‎=‎1‎‎2‎(cos2x−sin2x)=‎2‎‎2‎cos(2x+π‎4‎)‎； ∴ 函数f(x)‎的最小正周期为 T=π，函数f(x)‎的最大值为‎2‎‎2‎；‎ ‎（2）设‎2kπ≤2x+π‎4‎≤2kπ+π(k∈z)‎，解得kπ−π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎(k∈z)‎． ∴ 函数f(x)‎的单调递减区间是‎[kπ−π‎8‎，kπ+‎3π‎8‎](k∈z)‎； 又∵ x∈[0, π]‎， ∴ 分别取k=0‎和‎1‎，取交集可得f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调递减区间为‎[0,‎3π‎8‎]‎和‎[‎7π‎8‎，π]‎．‎ ‎【考点】‎ 三角函数的最值 三角函数的和差化积公式 余弦函数的单调性 三角函数的周期性及其求法 函数的单调性及单调区间 ‎【解析】‎ ‎（1）利用两角和与差的余弦公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，得f(x)=‎2‎‎2‎cos(2x+π‎4‎)‎，由此可得函数f(x)‎的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）根据三角函数的单调区间公式解不等式，得出f(x)‎的单调递减区间是‎[kπ−π‎8‎，kπ+‎3π‎8‎](k∈z)‎，再将此区间与‎[0, π]‎取交集，即可得到f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调递减区间．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）∵ f(x)=cos(π‎3‎+x)cos(π‎3‎−x)−‎1‎‎2‎sin2x+‎‎1‎‎4‎ ‎=(‎1‎‎2‎cosx−‎3‎‎2‎sinx)(‎1‎‎2‎cosx+‎3‎‎2‎sinx)−‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎cos‎2‎x−‎3‎‎4‎sin‎2‎x−‎1‎‎2‎sin2x+‎‎1‎‎4‎ ‎=‎1+cos2x‎8‎−‎3−3cos2x‎8‎−‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎4‎=‎1‎‎2‎(cos2x−sin2x)=‎2‎‎2‎cos(2x+π‎4‎)‎； ∴ 函数f(x)‎的最小正周期为 T=π，函数f(x)‎的最大值为‎2‎‎2‎；‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎（2）设‎2kπ≤2x+π‎4‎≤2kπ+π(k∈z)‎，解得kπ−π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎(k∈z)‎． ∴ 函数f(x)‎的单调递减区间是‎[kπ−π‎8‎，kπ+‎3π‎8‎](k∈z)‎； 又∵ x∈[0, π]‎， ∴ 分别取k=0‎和‎1‎，取交集可得f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调递减区间为‎[0,‎3π‎8‎]‎和‎[‎7π‎8‎，π]‎．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）因为f(x)‎是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0‎，即‎−1+b‎3+a‎=0‎，解得b=1‎．--- 从而有 f(x)=‎‎−‎3‎x+1‎‎3‎x+1‎‎+a又由f(1)=−f(−1)‎知‎−3+1‎‎9+a‎=−‎‎−‎1‎‎3‎+1‎‎1+a，解得a=3‎．---------- ∴ a=3‎，b=1‎．‎ ‎（2）由（1）知f(x)=‎−‎3‎x+1‎‎3‎x+1‎‎+3‎=−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x+1)‎−−−−−−−−−−−−−−−−‎ 对于任意的x‎1‎‎∈R，x‎2‎‎∈R且x‎1‎‎<‎x‎2‎，--------------- ∴ ‎△x=x‎2‎−x‎1‎>0‎， ∴ ‎△y=f(x‎2‎)−f(x‎1‎)‎ ‎=(−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x‎2‎+1)‎)−(−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x‎1‎+1)‎)‎ ‎=‎2(‎3‎x‎1‎−‎‎3‎x‎2‎‎)‎‎3(‎3‎x‎1‎+1)(‎3‎x‎2‎+1)‎<0‎ 所以函数f(x)‎在全体实数上为单调减函数．----------------‎ ‎【考点】‎ 函数奇偶性的性质 函数单调性的判断与证明 ‎【解析】‎ ‎（1）根据奇函数的性质f(0)=0‎和奇函数的性质求解；‎ ‎（2）利用函数单调性的定义进行证明．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）因为f(x)‎是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0‎，即‎−1+b‎3+a‎=0‎，解得b=1‎．--- 从而有 f(x)=‎‎−‎3‎x+1‎‎3‎x+1‎‎+a又由f(1)=−f(−1)‎知‎−3+1‎‎9+a‎=−‎‎−‎1‎‎3‎+1‎‎1+a，解得a=3‎．---------- ∴ a=3‎，b=1‎．‎ ‎（2）由（1）知f(x)=‎−‎3‎x+1‎‎3‎x+1‎‎+3‎=−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x+1)‎−−−−−−−−−−−−−−−−‎ 对于任意的x‎1‎‎∈R，x‎2‎‎∈R且x‎1‎‎<‎x‎2‎，--------------- ∴ ‎△x=x‎2‎−x‎1‎>0‎， ∴ ‎△y=f(x‎2‎)−f(x‎1‎)‎ ‎=(−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x‎2‎+1)‎)−(−‎1‎‎3‎+‎2‎‎3(‎3‎x‎1‎+1)‎)‎ ‎=‎2(‎3‎x‎1‎−‎‎3‎x‎2‎‎)‎‎3(‎3‎x‎1‎+1)(‎3‎x‎2‎+1)‎<0‎ 所以函数f(x)‎在全体实数上为单调减函数．----------------‎ ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎∵ 函数f(x)=m‎→‎⋅n‎→‎=cos‎2‎ωx−sin‎2‎ωx+2‎3‎sinωxcosωx ‎=cos2ωx+‎3‎sin2ωx ‎=2sin(2ωx+π‎6‎)‎． 函数f(x)‎的图象与直线y=2‎两相邻公共点间的距离为π，ω>0‎． ∴ T=‎2π‎2ω=π，解得ω=1‎． ‎(2)‎由‎(1)‎可知：f(x)=2sin(2x+π‎6‎)‎， ∵ f(A)=1‎，∴ ‎2sin(2A+π‎6‎)=1‎．∴ sin(2A+π‎6‎)=‎‎1‎‎2‎， ∵ ‎00‎． ∴ T=‎2π‎2ω=π，解得ω=1‎． ‎(2)‎由‎(1)‎可知：f(x)=2sin(2x+π‎6‎)‎， ∵ f(A)=1‎，∴ ‎2sin(2A+π‎6‎)=1‎．∴ sin(2A+π‎6‎)=‎‎1‎‎2‎， ∵ ‎0e．故两曲线没有公共点．‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 ‎【解析】‎ ‎（1）求出g(x)‎的导数，令它为‎0‎，求出a＝‎1‎，再求f(x)‎的导数，令它大于‎0‎或小于‎0‎，即可得到单调区间； （2）求出f(x)‎的导数，讨论a的范围，由条件得到a≥1‎，再由g(x)‎的导数不小于‎0‎在‎(1, +∞)‎上恒成立，求出a≤e，令g(x)=‎1‎‎2‎ax‎2‎−ax即a=‎‎2‎exx‎2‎，令h(x)=‎‎2‎exx‎2‎，求出导数，求出单调区间，判断极值与e的大小即可．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）由g′(x)‎＝ex‎−a， g′(0)‎＝‎1−a＝‎0‎得a＝‎1‎，f(x)‎＝x−lnx ∵ f(x)‎的定义域为：‎(0, +∞)‎，f‎​‎‎′‎‎(x)=1−‎‎1‎x， ∴ 函数f(x)‎的增区间为‎(1, +∞)‎，减区间为‎(0, 1)‎． （2）由f‎​‎‎′‎‎(x)=a−‎1‎x=‎ax−1‎x 若‎0e．故两曲线没有公共点．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页