2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章4.5.3 函数模型的应用 33页

第四章　4.5　函数的应用(二) 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能自建确定性函数模型解决实际问题. 3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点二　应用函数模型解决问题的基本过程 1.审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2.建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知 识建立相应的数学模型； 3.求模——求解数学模型，得出数学模型； 4.还原——将数学结论还原为实际问题. 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　) 2.利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与 实际意义是否相符.(　　) 3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(　 　) × √ × 2 题型探究 PART TWO 例1　目前某县有100万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%，请回答下列 问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005) (1)写出y关于x的函数解析式； 一、指数型函数模型 解　当x＝1时， y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x＝2时， y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时， y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…. 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*). (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； 解　当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人. (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年). 解　设x年后该县的人口总数为120万， 即100×(1＋1.2%)x＝120， 故大约16年后该县的人口总数将达到120万. 反思 感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可 以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数， p为增长率，x为时间)的形式. 跟踪训练1　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. (已知：lg 0.5≈0.301 0，lg 0.9≈0.045 8) (1)求t年后，这种射放性元素的质量ω的表达式； 解　最初的质量为500 g. 经过1年，ω＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，ω＝500×0.92； 所以t年后，ω＝500×0.9t. (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1). 解　由题意得500×0.9t＝250，即 0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得 lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5， 即这种放射性元素的半衰期为6.6年. 二、对数型函数模型 例2　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现， 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝ ，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量. (1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ 解　由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式， 可得0＝ ，解得O＝10个单位. (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 反思 感悟 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况 求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关 系式求值，然后根据值回答其实际意义. 跟踪训练2　“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝ －144 中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟 打出的字数.则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)36.72 ＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72. 三、建立拟合函数模型解决实际问题 例3　某纪念章从2019年1月6日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念章每枚的市 场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下： 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 (1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市 场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝ alogbx； 解　∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和 y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意， ∴用函数y＝ax2＋bx＋c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系. (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 解　把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中， ∴当x＝20时，y有最小值26. 故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元. 反思 感悟 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量， 尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、 推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应 具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题. 跟踪训练3　芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化 空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦 荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本 Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表： t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变 化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并说明理由； 解　由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可 能是常数函数， 若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述 三个函数均为单调函数， 这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述. 将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得： (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 3 随堂演练 PART THREE 1 2 3 4 5 1.一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对 应的函数模型是 A.分段函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 √ 1 2 3 4 5 2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x 1 2 3 … y 1 3 8 … 则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是 A.y＝2x－1 B.y＝x2－1 C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2√ 1 3 4 52 3.国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表： 运送距离x(km) 0