2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：第一章　三角函数 单元质量评估1 11页

第一章单元质量评估(一) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．下列各组角中，终边相同的是( C ) A.3 2π和 2kπ－3 2π(k∈Z) B．－π 5 和22 5 π C．－7 9π和11 9 π D．20 3 π和122 9 π 解析：∵11 9 π＝2π＋ －7π 9 ，∴－7π 9 和11π 9 的终边相同． 2．若角α的终边经过点 P(－1,3)，则 tanα的值为( B ) A．－1 3 B．－3 C．－ 10 10 D．3 10 10 解析：由定义得，若角α的终边经过点 P(－1,3)，则 tanα＝－3. 故选 B. 3．已知角α的终边上一点的坐标为 sin2π 3 ，cos2π 3 ，则角α的最小 正值为( D ) A.5π 6 B.2π 3 C.5π 3 D.11π 6 解析：∵sin2π 3 >0，cos2π 3 <0，∴点 sin2π 3 ，cos2π 3 在第四象限．又 ∵tanα＝ cos2π 3 sin2π 3 ＝－ 3 3 ，∴α的最小正值为 2π－1 6π＝11 6 π. 4．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则θ 2 的终边在( D ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在 x 轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在 x 轴的非负半轴上 解析：由题意知，cosθ≥0，tanθ≤0，所以θ的终边在 x 轴的非负 半轴上或在第四象限，故θ 2 的终边在第二、四象限或在 x 轴的非负半 轴上． 5．已知 f(sinx)＝x，且 x∈ 0，π 2 ，则 f 1 2 的值等于( D ) A．sin1 2 B.1 2 C．－π 6 D．π 6 解析：∵f(sinx)＝x，且 x∈ 0，π 2 ，∴求 f 1 2 ，即解 sinx＝1 2 ，又 x ∈ 0，π 2 ，∴x＝π 6.故选 D. 6．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当 0≤x<π时，f(x) ＝0，则 f 23π 6 ＝( A ) A.1 2 B. 3 2 C．0 D．－1 2 解析：f 23 6 π ＝f 17 6 π ＋sin17 6 π＝f 11 6 π ＋sin11 6 π＋sin17 6 π＝f 5 6π ＋ sin5 6π＋sin11 6 π＋sin17 6 π＝0＋1 2 －1 2 ＋1 2 ＝1 2. 7．已知函数 f(x)＝1 2(sinx＋cosx)－1 2|sinx－cosx|，则 f(x)的值域是 ( C ) A．[－1,1] B. － 2 2 ，1 C. －1， 2 2 D． －1，－ 2 2 解析：当 sinx≥cosx，f(x)＝cosx；当 sinx0)的最小正周期为π，将 y＝f(x)的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于 y 轴对称，则φ 的一个值是( D ) A.π 2 B.3π 8 C.π 4 D．π 8 9．已知函数 f(x)＝sin x＋π 3 －m 2 在[0，π]上有两个零点，则实数 m 的取值范围为( B ) A．[－ 3，2] B．[ 3，2) C．( 3，2] D．[ 3，2] 解析： 由 f(x)＝0 得 sin x＋π 3 ＝m 2 ，作出函数 g(x)＝sin x＋π 3 在[0，π]上 的图像，如图．由图像可知当 x＝0 时，g(0)＝sinπ 3 ＝ 3 2 ，函数 g(x)的 最大值为 1，所以要使 f(x)在[0，π]上有两个零点，则 3 2 ≤m 2<1，即 3≤m<2. 10．已知α∈ 0，π 2 ，且 4tan(2π＋α)＋3sin(6π＋β)－10＝0，－ 2tan(－α)－12sin(－β)＋2＝0，则 tanα的值为( B ) A．－3 B．3 C．±3 D．不确定 解析：将条件化为 4tanα＋3sinβ－10＝0，① 2tanα＋12sinβ＋2＝0.② 由①×4－②，得 14tanα－42＝0.∴tanα＝3.故选 B. 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案 填写在题中横线上) 11．sin －23π 6 ＋cos13π 7 ·tan4π－cos13π 3 ＝0. 解析：原式＝－sin 4π－π 6 ＋cos13π 7 ·0－cos 4π＋π 3 ＝－sin －π 6 － cosπ 3 ＝sinπ 6 －cosπ 3 ＝1 2 －1 2 ＝0. 12．函数 f(sinx)＝cos2x，那么 f 1 2 的值为1 2. 解析：因为 sinx＝1 2 ，则 x＝2kπ＋π 6 或 x＝2kπ＋5π 6 ，k∈Z，则 f 1 2 ＝cosπ 3 ＝1 2. 13．已知把函数 y＝f(x)的图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的 4 倍，横坐标伸长到原来的 2 倍，然后把所得的图像沿 x 轴向左平移 π 2 个单位长度，这样得到的曲线和 y＝2sinx 的图像相同，则已知函数 y＝f(x)的解析式为 y＝1 2sin 2x－π 2 . 14．已知函数 f(x)＝3sin ωx－π 6 (ω>0)和 g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的 图像的对称轴完全相同．若 x∈ 0，π 2 ，则 f(x)的取值范围是 －3 2 ，3 . 解析：由对称轴完全相同知两函数的周期相同，∴ω＝2.∴f(x) ＝3sin 2x－π 6 .由 x∈ 0，π 2 ，得－π 6 ≤2x－π 6 ≤5 6π.∴－3 2 ≤f(x)≤3. 15．已知函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的奇函数， 其图像关于点 M(3π 4 ，0)对称，且函数 f(x)在区间＝f(x)＝－sin4 3x. 解析：由函数 f(x)是 R 上的奇函数，得 f(0)＝cosφ＝0 ①， 由函数 f(x)的图像关于点 M(3π 4 ，0)对称，得 f(3π 4 )＝cos(3πω 4 ＋φ) ＝0 ②， 由函数 f(x)在区间[0，π 3]上是单调函数，得π 3 ≤T 4 ＝ π 2|ω| ③. 联立①②③并结合ω>0,0≤φ≤π，解得 φ＝π 2 ， ω＝4 3 ， 故函数 f(x)的 解析式为 f(x)＝cos(4 3x＋π 2)＝－sin4 3x. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 16．(本小题 12 分)已知角α的终边过点 P(1， 3)． (1)求 sin(π－α)－sin π 2 ＋α 的值； (2)写出角α的集合 S. 解：(1)∵角α的终边过点 P(1， 3)，可设 x＝1，y＝ 3，则 r＝2， ∴sinα＝ 3 2 ，cosα＝1 2.∴sin(π－α)－sin π 2 ＋α ＝sinα－cosα＝ 3－1 2 . (2)S＝ α|α＝2kπ＋π 3 ，k∈Z . 17．(本小题 12 分)(1)计算： 3sin －20 3 π tan11 3 π －cos13 4 π·tan －37 4 π . (2)已知 tanα＝4 3 ，求sin2α＋2sinαcosα 2cos2α－sin2α 的值． 解：(1)原式＝ 3sin4 3π tan5 3π －cosπ 4tanπ 4 ＝－ 3·sinπ 3· 1 －tanπ 3 －cosπ 4tanπ 4 ＝ － 3× 3 2 × － 3 3 － 2 2 ×1＝ 3 2 － 2 2 ＝ 3－ 2 2 . (2)原式＝tan2α＋2tanα 2－tan2α ＝ 4 3 2＋2×4 3 2－ 4 3 2 ＝20. 18．(本小题 12 分)如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的 一段图像． (1)求此函数解析式； (2)分析一下该函数是如何通过 y＝sinx 的图像变换得来的． 解：(1)由题中图像知，A＝ －1 2 － －3 2 2 ＝1 2 ，k＝－ 1 2 ＋3 2 2 ＝－1，T ＝2× 2π 3 －π 6 ＝π，∴ω＝2π T ＝2. ∴y＝1 2sin(2x＋φ)－1. 当 x＝π 6 时，2×π 6 ＋φ＝π 2 ，∴φ＝π 6.∴所求函数解析式为 y＝ 1 2sin 2x＋π 6 －1. (2)把 y＝sinx 的图像向左平移π 6 个单位长度，得到 y＝sin x＋π 6 的 图像．然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 2 ，得到 y＝sin 2x＋π 6 的图像，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1 2 ，得到 y＝1 2sin 2x＋π 6 的图像．最后把函数 y＝1 2sin 2x＋π 6 的图像向下平移 1 个单位长度， 得到 y＝1 2sin 2x＋π 6 －1 的图像． 19．(本小题 12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)－b(ω>0,0<φ<π)的 图像两相邻对称轴之间的距离是π 2 ，若将 f(x)的图像先向右平移π 6 个单 位长度，再向上平移 3个单位长度，所得图像对应的函数 g(x)为奇函 数． (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)的对称轴及单调区间； (3)若对任意 x∈ 0，π 3 ，f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0 恒成立，求 实数 m 的取值范围． 解：(1)因为2π ω ＝2×π 2 ，所以ω＝2，所以 f(x)＝sin(2x＋φ)－b.又 g(x)＝sin 2 x－π 6 ＋φ －b＋ 3为奇函数，且 0<φ<π， 则φ＝π 3 ，b＝ 3，故 f(x)＝sin 2x＋π 3 － 3. (2)令 2x＋π 3 ＝π 2 ＋kπ，k∈Z，得 x＝ π 12 ＋kπ 2 ，k∈Z，所以 f(x)的对 称轴为 x＝ π 12 ＋kπ 2 ，k∈Z. 由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z，得－5π 12 ＋kπ≤x≤ π 12 ＋kπ，k ∈Z，所以 f(x)的单调递增区间为 －5π 12 ＋kπ， π 12 ＋kπ (k∈Z)，由 2kπ ＋π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋3π 2 ，k∈Z，得 π 12 ＋kπ≤x≤7π 12 ＋kπ，k∈Z，所以 f(x) 的单调递减区间为 π 12 ＋kπ，7π 12 ＋kπ (k∈Z)． (3)由于 x∈ 0，π 3 ，则 2x＋π 3 ∈ π 3 ，π ，故－ 3≤f(x)≤1－ 3，所 以－1－ 3≤f(x)－1≤－ 3. 因为 f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0 恒成立，整理可得 m≤ 1 fx－1 ＋ f(x)－1，由－1－ 3≤f(x)－1≤－ 3，得－3－4 3 3 ≤ 1 fx－1 ＋f(x)－ 1≤1－3 3 2 ，故 m≤－3－4 3 3 ，即 m 的取值范围是 －∞，－3－4 3 3 . 20．(本小题 13 分)单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距 离 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式为 s＝6sin 2πt＋π 6 (t≥0)． (1)作出它的图像． (2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 解：(1)找出曲线上的六个特殊点，列表如下： t 0 1 6 5 12 2 3 11 12 1 2πt＋π 6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 13π 6 s 3 6 0 －6 0 3 用光滑曲线连接这些点，则得函数 s＝6sin 2πt＋π 6 在[0，＋∞) 上的图像(如图)． (2)当 t＝0 时，s＝6sinπ 6 ＝3(cm)，即单摆开始摆动时，离开平移 位置 3 cm. (3)s＝6sin 2πt＋π 6 的振幅为 6，所以单摆摆动到最右边时，离开 平衡位置 6 cm. (4)s＝6sin 2πt＋π 6 的周期 T＝2π 2π ＝1，所以单摆来回摆动一次需 要的时间为 1 s. 21 ． ( 本 小 题 14 分 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) ＋ B A>0，ω>0，|φ|<π 2 的一系列对应值如下表： x －π 6 π 3 5π 6 4π 3 11π 6 7π 3 17π 6 f(x) －1 1 3 1 －1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数 f(x)的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数 y＝f(kx)(k>0)的周期为2π 3 ，当 x∈ 0，π 3 时，方程 f(kx)＝m 恰有两个不同的解，求实数 m 的取值范围． 解：(1)设 f(x)的最小正周期为 T，则 T＝11π 6 － －π 6 ＝2π，由 T＝ 2π ω ，得ω＝1.又由 B＋A＝3， B－A＝－1， 解得 A＝2， B＝1. 令ω·5π 6 ＋φ＝π 2 ＋2kπ，k∈Z，即5π 6 ＋φ＝π 2 ＋2kπ，k∈Z，解得φ＝ －π 3 ＋2kπ，k∈Z， ∵|φ|<π 2 ，∴φ＝－π 3.∴f(x)＝2sin x－π 3 ＋1. (2)∵函数 y＝f(kx)＝2sin kx－π 3 ＋1 的周期为2π 3 ，k>0，∴k＝3. 令 t＝3x－π 3. ∵x∈ 0，π 3 ，∴t∈ －π 3 ，2π 3 ，y＝sint 的图像如图． 由图可知当 sint＝s 在 －π 3 ，2π 3 上有两个不同的解时，s∈ 3 2 ，1 ， ∴若方程 f(kx)＝m 在 x∈ 0，π 3 时恰有两个不同的解，则 m∈[ 3 ＋1,3)，即实数 m 的取值范围是[ 3＋1,3)．