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  • 2021-06-16 发布

北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第2节

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第四章 第二节 一、选择题 1.sin600°+tan240°的值是( ) A.- 3 2 B. 3 2 C.-1 2 + 3 D.1 2 + 3 [答案] B [解析] sin600°+tan240°=sin240°+tan240° =sin(180°+60°)+tan(180°+60°) =-sin60°+tan60°=- 3 2 + 3= 3 2 . 2.(文)若 tanα=2,则2sinα-cosα sinα+2cosα 的值为( ) A.0 B.3 4 C.1 D.5 4 [答案] B [解析] 2sinα-cosα sinα+2cosα =2tanα-1 tanα+2 =2×2-1 2+2 =3 4. (理)已知 tanθ=2,则 sin π 2 +θ -cosπ+θ sin π 2 -θ -sinπ-θ =( ) A.2 B.-2 C.0 D.2 3 [答案] B [解析] sin π 2 +θ -cosπ+θ sin π 2 -θ -sinπ-θ =cosθ+cosθ cosθ-sinθ = 2 1-tanθ = 2 1-2 =-2. 3.已知 sinα=2 3 ,α∈(π 2 ,3π 2 ),则 cos(π-α)=( ) A.- 5 3 B.-1 9 C.1 9 D. 5 3 [答案] D [解析] 由诱导公式,得 cos(π-α)=-cosα. ∵cos2α=1-sin2α=1-4 9 =5 9 , 又 sinα>0 且α∈(π 2 ,3π 2 ), ∴cosα=- 5 3 ,∴cos(π-α)= 5 3 . 4.(文)“x=2kπ+π 4(k∈Z)”是“tanx=1”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] tan(2kπ+π 4)=tanπ 4 =1(k∈Z);反之 tanx=1,则 x=kπ+π 4(k∈Z).所以“x=2kπ +π 4(k∈Z)”是“tanx=1”的充分不必要条件. (理)“θ=2π 3 ”是“tanθ=2cos(π 2 +θ)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] ∵tanθ=2cos(π 2 +θ)=-2sinθ,即sinθ cosθ =-2sinθ. ∴sinθ=0 或 cosθ=-1 2.显然θ=2π 3 时,cosθ=-1 2 ,但 sinθ=0 时,θ≠2 3π. 故“θ=2π 3 ”是“tanθ=2cos(π 2 +θ)”的充分不必要条件. 5.(文)(2015·深圳调研)若角α的终边落在直线 x+y=0 上,则 sinα 1-sin2α + 1-cos2α cosα 的 值等于( ) A.-2 B.2 C.-2 或 2 D.0 [答案] D [解析] 原式= sinα |cosα| +|sinα| cosα ,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与 cosα的符号 相反,所以原式=0. (理)(2015·桂林调研)若 tanθ+ 1 tanθ =4,则 sin2θ的值为( ) A.1 5 B.1 4 C.1 3 D.1 2 [答案] D [解析] ∵tanθ+ 1 tanθ =1+tan2θ tanθ =4, ∴4tanθ=1+tan2θ, ∴sin2θ=2sinθcosθ= 2sinθcosθ sin2θ+cos2θ = 2tanθ 1+tan2θ =2tanθ 4tanθ =1 2. 6.若α为三角形的一个内角,且 sinα+cosα=2 3 ,则这个三角形是( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 [答案] D [解析] ∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4 9 , ∴sinαcosα=- 5 18<0,∴α为钝角,故选 D. 二、填空题 7.若 sin(π+α)=-1 2 ,α∈(π 2 ,π),则 cosα=________. [答案] - 3 2 [解析] ∵sin(π+α)=-sinα,∴sinα=1 2 , 又α∈(π 2 ,π), ∴cosα=- 1-sin2α=- 3 2 . 8.如果 sinα=1 5 ,且α为第二象限角,则 sin(3π 2 +α)=________. [答案] 2 6 5 [解析] ∵sinα=1 5 ,且α为第二象限角, ∴cosα=- 1-sin2α=- 1- 1 25 =-2 6 5 , ∴sin(3π 2 +α)=-cosα=2 6 5 . 9.(2014·杭州调研)设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a,b,α,β∈R,且 ab≠0, α≠kπ(k∈Z).若 f(2 014)=-5,则 f(2 015)=________. [答案] 5 [解析] ∵f(2 014)=asin(2 014π+α)+bcos(2 014π+β)=asinα+bcosβ=-5, ∴f(2 015)=asin(2 015π+α)+bcos(2 015π+β)=-asinα-bcosα=5. 三、解答题 10.(文)已知 cos(π+α)=-1 2 ,且α在第四象限,计算: (1)sin(2π-α); (2)sin[α+2n+1π]+sinπ+α sinπ-α·cosα+2nπ (n∈Z). [解析] ∵cos(π+α)=-1 2. ∴-cosα=-1 2 ,cosα=1 2 , 又∵α在第四象限, ∴sinα=- 1-cos2α=- 3 2 . (1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)] =sin(-α)=-sinα= 3 2 . (2)sin[α+2n+1π]+sinπ+α sinπ-αcosα+2nπ =sinα+2nπ+π-sinα sinαcosα =sinπ+α-sinα sinαcosα = -2sinα sinαcosα =- 2 cosα =-4. (理)已知 sin(π-α)-cos(π+α)= 2 3 π 2<α<π ,求下列各式的值: (1)sinα-cosα; (2)sin3 π 2 -α +cos3 π 2 +α . [分析] (1)化简已知条件 sinα+cosα= 2 3 ,再平方求 sinαcosα则可求(sinα-cosα)2,最 后得 sinα-cosα. (2)化简 cos3α-sin3α,再因式分解并利用(1)求解. [解析] 由 sin(π-α)-cos(π+α)= 2 3 , 得 sinα+cosα= 2 3 , 两边平方,得 1+2sinα·cosα=2 9 , 故 2sinα·cosα=-7 9. 又π 2<α<π,∴sinα>0,cosα<0. (1)(sinα-cosα)2=1-2sinα·cosα=1- -7 9 =16 9 ,∴sinα-cosα=4 3. (2)sin3 π 2 -α +cos3 π 2 +α =cos3α-sin3α=(cosα-sinα)(cos2α+cosα·sinα+sin2α) =-4 3 × 1- 7 18 =-22 27. 一、选择题 1.(2014·新课标Ⅰ)设α∈(0,π 2),β∈(0,π 2),且 tanα=1+sinβ cosβ ,则( ) A.3α-β=π 2 B.3α+β=π 2 C.2α-β=π 2 D.2α+β=π 2 [答案] C [解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换.运用验证法. 解法 1:当 2α-β=π 2 时,β=2α-π 2 , 所以 1+sin2α-π 2  cos2α-π 2  =1-cos2α sin2α =2·sin2α sin2α =tanα. 解法 2:∵tanα=sinα cosα =1+sinβ cosβ , ∴sin(α-β)=cosα=sin(π 2 -α), ∵α、β∈(0,π 2),∴α-β∈(-π 2 ,π 2),π 2 -α∈(0,π 2),∴α-β=π 2 -α,∴2α-β=π 2. 2.已知 cos π 6 -α = 3 3 ,则 cos 5 6π+α -sin2 α-π 6 的值是( ) A.2+ 3 2 B.-2+ 3 2 C.2- 3 3 D.-2+ 3 3 [答案] B [解析] ∵cos 5 6π+α =cos π- π 6 -α =-cos π 6 -α =- 3 3 , 而 sin2 α-π 6 =1-cos2 α-π 6 =1-1 3 =2 3 , ∴原式=- 3 3 -2 3 =-2+ 3 3 . 二、填空题 3.已知α∈(π,2π),sin(α-7π 2 )=-3 5 ,则 sin(3π+α)的值为________. [答案] 4 5 [解析] sin(α-7π 2 )=-sin(7π 2 -α)=-sin(-π 2 -α)=sin(π 2 +α)=cosα=-3 5 , 又α∈(π,2π),∴sinα=-4 5. ∴sin(3π+α)=sin(π+α)=-sinα=4 5. 4.设函数 f(x)=sinx+cosx,f ′(x)是 f(x)的导数,若 f(x)=2f ′(x),则sin2x-sin2x cos2x = ________. [答案] -5 9 [解析] ∵f(x)=sinx+cosx,∴f ′(x)=cosx-sinx, ∴sinx+cosx=2(cosx-sinx), 即 3sinx=cosx,得 tanx=1 3 , 于是sin2x-sin2x cos2x =sin2x-2sinxcosx cos2x =tan2x-2tanx=1 9 -2 3 =-5 9. 三、解答题 5.已知 f(x)=cos2nπ+x·sin2nπ-x cos2[2n+1π-x] (n∈Z). (1)化简 f(x)的表达式; (2)求 f( π 2014)+f(503π 1007)的值. [解析] (1)当 n 为偶函数,即 n=2k(k∈Z)时, f(x)=cos22kπ+x·sin22kπ-x cos2[2×2k+1π-x] =cos2x·sin2-x cos2π-x =cos2x·-sinx2 -cosx2 =sin2x; 当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时, f(x)=cos2[2k+1π+x]·sin2[2k+1π-x] cos2{[2×2k+1+1]π-x} =cos2[2kπ+π+x]·sin2[2kπ+π-x] cos2[2×2k+1π+π-x] =cos2π+x·sin2π-x cos2π-x =-cosx2sin2x -cosx2 =sin2x, 综上得 f(x)=sin2x. (2)由(1)得 f( π 2014)+f(503π 1007)=sin2 π 2014 +sin21 006π 2014 =sin2 π 2014 +sin2(π 2 - π 2014) =sin2 π 2014 +cos2 π 2014 =1. 6.(文)已知 sinθ,cosθ是方程 x2-( 3-1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; (2)求 sinθ 1-cosθ sinθ + cosθ 1-tanθ 的值. [解析] (1)由韦达定理可得 sinθ+cosθ= 3-1 ① sinθ·cosθ=m ② , 由①得 1+2sinθ·cosθ=4-2 3. 将②代入得 m=3 2 - 3,满足Δ=( 3-1)2-4m≥0,故所求 m 的值为3 2 - 3. (2)先化简: sinθ 1-cosθ sinθ + cosθ 1-tanθ = sinθ 1-cosθ sinθ + cosθ 1-sinθ cosθ = sin2θ sinθ-cosθ + cos2θ cosθ-sinθ =cos2θ-sin2θ cosθ-sinθ =cosθ+sinθ= 3-1. (理)已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sinA,-cosA 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A. (2)若1+2sinBcosB cos2B-sin2B =-3,求 tanB. [解析] (1)由已知可得, 3sinA-cosA=1 ① 又 sin2A+cos2A=1, ∴sin2A+( 3sinA-1)2=1, 即 4sin2A-2 3sinA=0,得 sinA=0(舍去),sinA= 3 2 , ∴A=π 3 或2π 3 , 将 A=π 3 或2π 3 代入①知 A=2 3π时不成立, ∴A=π 3. (2)由1+2sinBcosB cos2B-sin2B =-3, 得 sin2B-sinBcosB-2cos2B=0, ∵cosB≠0,∴tan2B-tanB-2=0, ∴tanB=2 或 tanB=-1. ∵tanB=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去, 故 tanB=2.