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- 2021-06-16 发布
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第四章 第二节
一、选择题
1.sin600°+tan240°的值是( )
A.- 3
2 B. 3
2
C.-1
2
+ 3 D.1
2
+ 3
[答案] B
[解析] sin600°+tan240°=sin240°+tan240°
=sin(180°+60°)+tan(180°+60°)
=-sin60°+tan60°=- 3
2
+ 3= 3
2 .
2.(文)若 tanα=2,则2sinα-cosα
sinα+2cosα
的值为( )
A.0 B.3
4
C.1 D.5
4
[答案] B
[解析] 2sinα-cosα
sinα+2cosα
=2tanα-1
tanα+2
=2×2-1
2+2
=3
4.
(理)已知 tanθ=2,则
sin
π
2
+θ -cosπ+θ
sin
π
2
-θ -sinπ-θ
=( )
A.2 B.-2
C.0 D.2
3
[答案] B
[解析]
sin
π
2
+θ -cosπ+θ
sin
π
2
-θ -sinπ-θ
=cosθ+cosθ
cosθ-sinθ
= 2
1-tanθ
= 2
1-2
=-2.
3.已知 sinα=2
3
,α∈(π
2
,3π
2 ),则 cos(π-α)=( )
A.- 5
3 B.-1
9
C.1
9 D. 5
3
[答案] D
[解析] 由诱导公式,得 cos(π-α)=-cosα.
∵cos2α=1-sin2α=1-4
9
=5
9
,
又 sinα>0 且α∈(π
2
,3π
2 ),
∴cosα=- 5
3
,∴cos(π-α)= 5
3 .
4.(文)“x=2kπ+π
4(k∈Z)”是“tanx=1”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] tan(2kπ+π
4)=tanπ
4
=1(k∈Z);反之 tanx=1,则 x=kπ+π
4(k∈Z).所以“x=2kπ
+π
4(k∈Z)”是“tanx=1”的充分不必要条件.
(理)“θ=2π
3
”是“tanθ=2cos(π
2
+θ)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵tanθ=2cos(π
2
+θ)=-2sinθ,即sinθ
cosθ
=-2sinθ.
∴sinθ=0 或 cosθ=-1
2.显然θ=2π
3
时,cosθ=-1
2
,但 sinθ=0 时,θ≠2
3π.
故“θ=2π
3
”是“tanθ=2cos(π
2
+θ)”的充分不必要条件.
5.(文)(2015·深圳调研)若角α的终边落在直线 x+y=0 上,则 sinα
1-sin2α
+ 1-cos2α
cosα
的
值等于( )
A.-2 B.2
C.-2 或 2 D.0
[答案] D
[解析] 原式= sinα
|cosα|
+|sinα|
cosα
,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与 cosα的符号
相反,所以原式=0.
(理)(2015·桂林调研)若 tanθ+ 1
tanθ
=4,则 sin2θ的值为( )
A.1
5 B.1
4
C.1
3 D.1
2
[答案] D
[解析] ∵tanθ+ 1
tanθ
=1+tan2θ
tanθ
=4,
∴4tanθ=1+tan2θ,
∴sin2θ=2sinθcosθ= 2sinθcosθ
sin2θ+cos2θ
= 2tanθ
1+tan2θ
=2tanθ
4tanθ
=1
2.
6.若α为三角形的一个内角,且 sinα+cosα=2
3
,则这个三角形是( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
[答案] D
[解析] ∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4
9
,
∴sinαcosα=- 5
18<0,∴α为钝角,故选 D.
二、填空题
7.若 sin(π+α)=-1
2
,α∈(π
2
,π),则 cosα=________.
[答案] - 3
2
[解析] ∵sin(π+α)=-sinα,∴sinα=1
2
,
又α∈(π
2
,π),
∴cosα=- 1-sin2α=- 3
2 .
8.如果 sinα=1
5
,且α为第二象限角,则 sin(3π
2
+α)=________.
[答案] 2 6
5
[解析] ∵sinα=1
5
,且α为第二象限角,
∴cosα=- 1-sin2α=- 1- 1
25
=-2 6
5
,
∴sin(3π
2
+α)=-cosα=2 6
5 .
9.(2014·杭州调研)设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a,b,α,β∈R,且 ab≠0,
α≠kπ(k∈Z).若 f(2 014)=-5,则 f(2 015)=________.
[答案] 5
[解析] ∵f(2 014)=asin(2 014π+α)+bcos(2 014π+β)=asinα+bcosβ=-5,
∴f(2 015)=asin(2 015π+α)+bcos(2 015π+β)=-asinα-bcosα=5.
三、解答题
10.(文)已知 cos(π+α)=-1
2
,且α在第四象限,计算:
(1)sin(2π-α);
(2)sin[α+2n+1π]+sinπ+α
sinπ-α·cosα+2nπ (n∈Z).
[解析] ∵cos(π+α)=-1
2.
∴-cosα=-1
2
,cosα=1
2
,
又∵α在第四象限,
∴sinα=- 1-cos2α=- 3
2 .
(1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]
=sin(-α)=-sinα= 3
2 .
(2)sin[α+2n+1π]+sinπ+α
sinπ-αcosα+2nπ
=sinα+2nπ+π-sinα
sinαcosα
=sinπ+α-sinα
sinαcosα
= -2sinα
sinαcosα
=- 2
cosα
=-4.
(理)已知 sin(π-α)-cos(π+α)= 2
3
π
2<α<π ,求下列各式的值:
(1)sinα-cosα;
(2)sin3
π
2
-α +cos3
π
2
+α .
[分析] (1)化简已知条件 sinα+cosα= 2
3
,再平方求 sinαcosα则可求(sinα-cosα)2,最
后得 sinα-cosα.
(2)化简 cos3α-sin3α,再因式分解并利用(1)求解.
[解析] 由 sin(π-α)-cos(π+α)= 2
3
,
得 sinα+cosα= 2
3
,
两边平方,得 1+2sinα·cosα=2
9
,
故 2sinα·cosα=-7
9.
又π
2<α<π,∴sinα>0,cosα<0.
(1)(sinα-cosα)2=1-2sinα·cosα=1- -7
9 =16
9
,∴sinα-cosα=4
3.
(2)sin3
π
2
-α +cos3
π
2
+α =cos3α-sin3α=(cosα-sinα)(cos2α+cosα·sinα+sin2α)
=-4
3
× 1- 7
18 =-22
27.
一、选择题
1.(2014·新课标Ⅰ)设α∈(0,π
2),β∈(0,π
2),且 tanα=1+sinβ
cosβ
,则( )
A.3α-β=π
2 B.3α+β=π
2
C.2α-β=π
2 D.2α+β=π
2
[答案] C
[解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换.运用验证法.
解法 1:当 2α-β=π
2
时,β=2α-π
2
,
所以
1+sin2α-π
2
cos2α-π
2
=1-cos2α
sin2α
=2·sin2α
sin2α
=tanα.
解法 2:∵tanα=sinα
cosα
=1+sinβ
cosβ
,
∴sin(α-β)=cosα=sin(π
2
-α),
∵α、β∈(0,π
2),∴α-β∈(-π
2
,π
2),π
2
-α∈(0,π
2),∴α-β=π
2
-α,∴2α-β=π
2.
2.已知 cos
π
6
-α = 3
3
,则 cos
5
6π+α -sin2 α-π
6 的值是( )
A.2+ 3
2 B.-2+ 3
2
C.2- 3
3 D.-2+ 3
3
[答案] B
[解析] ∵cos
5
6π+α =cos π-
π
6
-α =-cos
π
6
-α =- 3
3
,
而 sin2 α-π
6 =1-cos2 α-π
6 =1-1
3
=2
3
,
∴原式=- 3
3
-2
3
=-2+ 3
3 .
二、填空题
3.已知α∈(π,2π),sin(α-7π
2 )=-3
5
,则 sin(3π+α)的值为________.
[答案] 4
5
[解析] sin(α-7π
2 )=-sin(7π
2
-α)=-sin(-π
2
-α)=sin(π
2
+α)=cosα=-3
5
,
又α∈(π,2π),∴sinα=-4
5.
∴sin(3π+α)=sin(π+α)=-sinα=4
5.
4.设函数 f(x)=sinx+cosx,f ′(x)是 f(x)的导数,若 f(x)=2f ′(x),则sin2x-sin2x
cos2x
=
________.
[答案] -5
9
[解析] ∵f(x)=sinx+cosx,∴f ′(x)=cosx-sinx,
∴sinx+cosx=2(cosx-sinx),
即 3sinx=cosx,得 tanx=1
3
,
于是sin2x-sin2x
cos2x
=sin2x-2sinxcosx
cos2x
=tan2x-2tanx=1
9
-2
3
=-5
9.
三、解答题
5.已知 f(x)=cos2nπ+x·sin2nπ-x
cos2[2n+1π-x]
(n∈Z).
(1)化简 f(x)的表达式;
(2)求 f( π
2014)+f(503π
1007)的值.
[解析] (1)当 n 为偶函数,即 n=2k(k∈Z)时,
f(x)=cos22kπ+x·sin22kπ-x
cos2[2×2k+1π-x]
=cos2x·sin2-x
cos2π-x
=cos2x·-sinx2
-cosx2
=sin2x;
当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,
f(x)=cos2[2k+1π+x]·sin2[2k+1π-x]
cos2{[2×2k+1+1]π-x}
=cos2[2kπ+π+x]·sin2[2kπ+π-x]
cos2[2×2k+1π+π-x]
=cos2π+x·sin2π-x
cos2π-x
=-cosx2sin2x
-cosx2
=sin2x,
综上得 f(x)=sin2x.
(2)由(1)得 f( π
2014)+f(503π
1007)=sin2 π
2014
+sin21 006π
2014
=sin2 π
2014
+sin2(π
2
- π
2014)
=sin2 π
2014
+cos2 π
2014
=1.
6.(文)已知 sinθ,cosθ是方程 x2-( 3-1)x+m=0 的两根.
(1)求 m 的值;
(2)求 sinθ
1-cosθ
sinθ
+ cosθ
1-tanθ
的值.
[解析] (1)由韦达定理可得
sinθ+cosθ= 3-1 ①
sinθ·cosθ=m ②
,
由①得 1+2sinθ·cosθ=4-2 3.
将②代入得 m=3
2
- 3,满足Δ=( 3-1)2-4m≥0,故所求 m 的值为3
2
- 3.
(2)先化简:
sinθ
1-cosθ
sinθ
+ cosθ
1-tanθ
= sinθ
1-cosθ
sinθ
+ cosθ
1-sinθ
cosθ
= sin2θ
sinθ-cosθ
+ cos2θ
cosθ-sinθ
=cos2θ-sin2θ
cosθ-sinθ
=cosθ+sinθ= 3-1.
(理)已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sinA,-cosA 是方程 x2-x+2a=0 的两根.
(1)求角 A.
(2)若1+2sinBcosB
cos2B-sin2B
=-3,求 tanB.
[解析] (1)由已知可得, 3sinA-cosA=1 ①
又 sin2A+cos2A=1,
∴sin2A+( 3sinA-1)2=1,
即 4sin2A-2 3sinA=0,得 sinA=0(舍去),sinA= 3
2
,
∴A=π
3
或2π
3
,
将 A=π
3
或2π
3
代入①知 A=2
3π时不成立,
∴A=π
3.
(2)由1+2sinBcosB
cos2B-sin2B
=-3,
得 sin2B-sinBcosB-2cos2B=0,
∵cosB≠0,∴tan2B-tanB-2=0,
∴tanB=2 或 tanB=-1.
∵tanB=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去,
故 tanB=2.
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