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- 2021-06-16 发布
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江门市 2021 届普通高中高三调研测试
数 学
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔
将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.
2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定区域内
相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改
液.不按以上要求作答无效.
4. 考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷与答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
1. 已知集合 1,2aA , ,B a b ,若 1
2A B ,则 A B ( )
A. 11, 2
B. 11, 2
C. 11,1, 2
D. 1,1, 2b
2. 已知i 是虚数单位,若复数 1
1
iz ai
为纯虚数,则实数 a 的值为( )
A. -1 B. 1 C. 0 D. 1
3. 若 6 个人分 4 张无座的足球门票,每人至多分 1 张,而且票必须分完,那么不同分法的种数是( )
A. 46 B. 64 C. 15 D. 360
4. 设 D 为 ABC△ 所在平面内一点, 3AC , BC AC , 1
3CD AC ,则 DA AB ( )
A. 24 B. -24 C. 12 D. -12
5. 在 2 41 2 (1 )x x 的展开式中 4x 的系数为( )
A. 13 B. 11 C. -11 D. -20
6. 已知函数 ( ) 2 2xf x x , 2( ) log 2g x x x , 3( ) 2h x x x 的零点分别为 a ,b ,c ,则 a ,b ,c
的大小顺序为( )
A. a c b B. c b a C. b a c D. b c a
7. 四名同学各掷骰子 5 次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没
有出现点数 6 的是( )
A. 平均数为 3,中位数为 2 B. 中位数为 3,众数为 2
C. 平均数为 2,方差为 2.4 D. 中位数为 3,方差为 2.8
8. 已知 m ,n 为异面直线, m 平面 ,n 平面 ,若直线l 满足l m ,l n ,l ,l ,则
( )
A. / / , / /l B. 与 相交,且交线平行于l
C. ,l D. 与 相交,且交线垂直于l
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选
对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. “数列 na 为常数列”是“数列 na 为公比等于 1 的等比数列”的必要不充分条件
B. 设 ,a b R ,则“ 0a b ”是“ 1 1
a b
”的充分不必要条件
C. “向量 0a b ”是“ ,a b
为钝角”的充要条件
D. “ 0x , 1xe x ”的否定形式是“ 0 0x , 0
0 1xe x ”
10. 将函数 ( ) sin 0f x x 的图像向右平移
4
个单位长度,所得的图象经过点 3 ,04
,且 ( )f x 在
10, 4
上为增函数,则 取值可能为( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 4,4M 在抛物线 2 2 0y px p 上,抛物线的焦点为 F ,延长 MF 与
抛物线相交于点 N ,则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为 1x B. 17
4MN
C. OMN△ 的面积为 7
2 D. MF NF MF NF
12. 对于定义域为 R 的函数 ( )f x , '( )f x 为 ( )f x 的导函数,若同时满足:① 0 0f ;②当 x R 且 0x
时,都有 '( ) 0xf x ;③当 1 20x x 且 1 2x x 时,都有 1 2f x f x ,则称 ( )f x 为“偏对称函数”.
下列函数是“偏对称函数”的是( )
A. 2
1( ) x xf x e e x B. 2 ( ) 1xf x e x
C. 3
1, 0( )
, 0
xe xf x
x x
D. 4
2 , 0( ) ln(1 ), 0
x xf x x x
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知圆 2 2 6 4 12 0x y x y 与直线 x a 相切,则 a ________.
14. 若 1x ,则 14 1x x
的最小值是_________.
15. 某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为 20,40 , 40,60 ,
60,80 , 80,100 .由此估计该班学生此次测试的平均分为_________.
16. 正方形 ABCD 的边长为1,P ,Q 分别为边 AB ,DA 上的点, APQ△ 的周长为2,则 PCQ ________.
四、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 na 满足 1
1 02 n na a n N ,且 2a , 3 2a , 4a 成等差数列.
(1)求数列 na 的通项公式;
(2)若 2logn nb a n N ,求数列 n
n
b
a
的前 n 项和 nT .
18. 已知 a ,b , c 为 ABC△ 三个内角 A , B ,C 的对边,且 cos 3 sin 0a C a C b c .
(1)求 A ;
(2)若 2a , ABC△ 的面积为 3 ,求b , c .
19. 现有编号为 1,2,3 的三只小球和编号为 1,2,3 的三个盒子,将三只小球逐个随机地放入三个盒子中,
每只球的放置相互独立.
(1)求恰有一个空盒的概率;
(2)求三只小球在三个不同盒子中,且每只球编号与所在盒子编号不同的概率;
(3)记录所有至少有一只球的盒子,以 X 表示这些盒子编号的最小值,求 EX .
20. 《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早 1000 多年,在《九章算术》中,将
底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du):阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底
面的四棱锥,鳖臑(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵 1 1 1ABC A B C 中, AB AC .
(1)求证:四棱锥 1 1B A ACC 为阳马;
(2)若 AB AC , 1 2C C ,且直线 1AC 与平面 1 1BCC B 所成角的正切值为 5
5
,求锐二面角 1 1C A B C
的余弦值.
21. 已知 0a ,函数 ( ) sin 2sin cos 2f x a x x x x , 0,2x .
(1)当 4a ,求 ( )f x 在 ,2 2f
处的切线方程;
(2)讨论函数 ( )f x 的零点个数.
22. 已知椭圆 E :
2 2
2 2 1 0x y a ba b
经过点 31, 2P
,且离心率 1
2e .
(1)求椭圆 E 的方程;
(2)若 M ,N 是椭圆 E 上异于 P 的两点,直线 PM ,PN 的斜率分别为 1k , 2k 且 1 2 1k k ,PD MN ,
D 为垂足.是否存在定点Q ,使得 DQ 为定值?若存在,请求出Q 点坐标及定值.若不存在,请说明理由.
江门市 2020 年普通高中高三调研测试
数学答案
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1-5:CDCDC 6-8:ACB
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选
对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.
9. AB 10. ABD 11. AD 12. ACD
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 2 或 4 14. 8 15. 68 16. 45
四、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解:(1)依题 1 2n na a ,∴ na 是以 2 为公比的等比数列,
又 2a , 3 2a , 4a 成等差数列.
∴ 3 2 42 2a a a ,
即∴ 1 1 12 4 2 2 8a a a ,∴ 1 2a ,
∴ 2n
na .
(2)由(1)得 nb n ,
方法一:
设
2
n
n n
n
b nC a
,
2 3 1
1 2 3 1
2 2 2 2 2n n n
n nT
①
2 3 1
1 1 2 1
2 2 2 2 2n n n
n nT
②
①-②: 2 1 1
1 1 1 1 112 2 2 2 2 2 2n n n n n
n nT ,
∴ 1
1 22 22 2 2n n n n
n nT
.
方法二:
设 1
( 1) 2
2 2 2 2n n n n n
n n n nC
,
∴ 1 , 2 ,
故 1
1 2
2 2n n n
n nC
,
∴ 0 1 1 2 1
2 3 3 4 1 2 222 2 2 2 2 2 2n n n n
n n nT
.
18. 解:(1)由正弦定理得:sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C ,
sin cos 3sin sin sin sinA C A C C B ,
sin cos 3sin sin sin sin( )A C A C C A C ,
sin cos 3sin sin sin sin cos cos sinA C A C C A C A C ,
3sin sin sin cos sinA C C A C ,
因为 0,C ,sin 0C ,
所以 3sin cos 1A A .
1sin 6 2A
,
因为 0 A ,
所以 5
6 6 6A ,
所以
6 6A ,即
3A .
(2)由余弦定理: 2 2 2 2 cosa b c bc A ,
2 2 4b c bc ,
1 sin 32ABCS bc A △ ,即 4bc ①
因为 2 2 8b c ,
2 2 2( ) 2 16b c b c bc ,
所以 4b c ②
联立①②解得: 2b c .
19. 解:方法一:记三个球分别为①,②,③,试验的全部基本事件如下表:共 27 种.
序号 1 号盒 2 号盒 3 号盒 序号 1 号盒 2 号盒 3 号盒
1 ①②③ 15 ② ①③
2 ①②③ 16 ②③ ①
3 ①②③ 17 ②③ ①
4 ①② ③ 18 ① ②③
5 ①② ③ 19 ②③ ①
6 ③ ①② 20 ① ②③
7 ①② ③ 21 ① ②③
8 ③ ①② 22 ① ② ③
9 ③ ①② 23 ① ③ ②
10 ①③ ② 24 ② ① ③
11 ①③ ② 25 ② ③ ①
12 ② ①③ 26 ③ ① ②
13 ①③ ② 27 ③ ② ①
14 ② ①③
(1)记“恰有一个空盒”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件数有 18 种.
根据古典概型公式 18 2
27 3P A .
(2)记“三只小球在三个不同盒子中,且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件 B ,事件 B 包含的基
本事件数有 2 种.
根据古典概型公式 2( ) 27P B .
(3) X 的可能取值为 1,2,3.
19( 1) 27P X , 7( 2) 27P X , 1( 3) 27P X ;
X 的分布列如下:
X 1 2 3
P 19
27
7
27
1
27
19 7 1 4( ) 1 2 327 27 27 3E X .
方法二:(1)记“恰有一个空盒”为事件 A ,则
1 1 1
3 3 2
3
2( ) 3 3
C C CP A .
(2)记“三只小球在三个不同盒子中,且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件 B .
则 3
2 2( ) 3 27P B .
(3) X 的可能取值为 1,2,3.
3 3
3
3 2 19( 1) 3 27P X ,
3 3
3
2 1 7( 2) 3 27P X ,
3
1 1( 3) 3 27P X ;
X 的分布列如下:
X 1 2 3
P 19
27
7
27
1
27
19 7 1 4( ) 1 2 327 27 27 3E X .
20.(1)证明:∵ 1A A 底面 ABC , AB 面 ABC ,
∴ 1A A AB ,
又 AB AC , 1A A AC A ,
∴ AB 面 1 1ACC A ,
又四边形 1 1ACC A 为矩形,
∴四棱锥 1 1B A ACC 为阳马.
(2)解:在 ABC△ 中作 AH BC 于 H ,连结 1C H .
显然 1AC H 为直线 1AC 与平面 1 1BCC B 所成的角.
设 2BC a ,则 AH a , 2
1 4C H a .
故 1 2
5tan 54
aAC H
a
,解得 1a ,
∴ 2BC , 2AB AC ,
∵ AB AC , 1A A 底面 ABC .
∴以 A 为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则 2,0,0B , 0, 2,0C , 1 0,0,2A ,
1 2,0, 2A B , 2, 2,0BC , 1 1 0, 2,0AC
.
设面 1A BC 的一个法向量 1 1 1 1, ,n x y z ,
由 1 1
1
0
0
n A B
n BC
得 1 2, 2,1n ,
同理得 2 2,0,1n ,
∴ 1 2
1 2
1 2
15cos , 5
n nn n
n n
,
故锐二面角 1 1C A B C 的余弦值为 15
5 .
21. 解:(1) ( ) 4sin 2sin cos 2f x x x x x ,
2 2 2'( ) 4cos 2cos 2sin 2 4cos 4cosf x x x x x x ,
' 02f
, 42f
,
所以切线方程: 4y .
(2) 2 2'( ) cos 2cos 2sin 2f x a x x x 2cos 4cos cos (4cos )a x x x x a .
①当 0 4a 时,
cos 4
ax 在 0, 2
和 3 ,22
内分别有一解,依次记为 1x , 2x ,
令 '( ) 0f x 得: 1 2
3, , ,2 2x x x .
x 0
10, x
1x 1, 2x
2
3,2 2
3
2
2
3 ,2 x
2x
2 ,2x
2
'( )f x + 0 - 0 + 0 - 0 +
( )f x 极大 极小 极大 极小
值 值 值 值
(0) 0f , 1 0f x ,
2f a
, 3 3 02f a
, (2 ) 4 0f ,
2 2 2 2 2sin 2sin cos 2f x a x x x x 2 2sin 2 02
a x x .
所以,当 0 a 时, 02f a
, ( )y f x 在 0,2 有 1 个零点;
当 a 时, 02f a
, ( )y f x 在 0,2 有 2 个零点;
当 4a 时, 02f a
, ( )y f x 在 0,2 有 3 个零点.
②当 4a 时,
令 '( ) 0f x 得: 30, , ,22 2x .
x 0 0, 2
2
3,2 2
3
2
3 ,22
2
'( )f x - 0 + 0 -
( )f x 极小值 极大值
(0) 0f , 02f a
, 3 3 02f a
, (2 ) 4 0f .
所以, ( )y f x 在 0,2 有 2 个零点.
③当 4a 时,
令 '( ) 0f x 得: 3,2 2x .
x 0 0, 2
2
3,2 2
3
2
3 ,22
2
'( )f x - 0 + 0 -
( )f x 极小值 极大值
(0) 0f , 02f a
, 3 3 02f a
, (2 ) 4 0f .
所以, ( )y f x 在 0,2 有 2 个零点.
综述,当 0 a 时, ( )y f x 在 0,2 有 1 个零点;
当 a 或 4a 时, ( )y f x 在 0,2 有 2 个零点;
当 4a 时, ( )y f x 在 0,2 有 3 个零点.
22. 解:(1)由 1
2
ce a
,得 2a c , 2 24a c , 2 2 2 23b a c c .
因为
2
2 2
3
1 2 1a b
,
所以
2
2 2
3
1 2 14 3c c
,
解得: 2 1c , 2 3b , 2 4a .
所以椭圆 E 的方程为
2 2
14 3
x y .
(2)方法一:
设 1 1,M x y , 2 2,N x y ,由题意得直线 MN 的斜率一定存在,直线 MN 的方程为 y kx m ,则
联立
2 2
14 3
x y
y kx m
,消 y 得: 2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m ,
2 2 2 264 4 4 3 4 12 0k m k m ,得: 2 24 3 0k m ,
1 2 2
8
4 3
kmx x k
,
2
1 2 2
4 12
4 3
mx x k
,
1 2 2 11 2
1 2
1 2 1 2
3 33 3 1 12 22 2
1 1 1 1
y x y xy y
k k x x x x
1 2 2 1
1 2
3 31 12 2
1 1
kx m x kx m x
x x
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
32 (2 3)2
1
kx x m x x k x x m
x x x x
2
2 2 2
2
2 2
4 12 3 8 82 (2 3)4 3 2 4 3 4 3
4 12 8 14 3 4 3
m km kmk m k mk k k
m km
k k
2
2 2
24 12 6 12 9
4 12 8 4 3
k km m k
m km k
.
由 1 2 1k k 得: 2 28 10 2 3 12 0k km m m k ,
即 (2 2 3)(4 ) 0k m k m ,
当 2 2 3 0k m ,直线 3 3( 1)2 2y kx k k x
过定点 31, 2P
,舍去.
当 4 0k m ,直线 4 ( 4)y kx k k x 过定点 4,0T .
此时, 2 2 24 3 3 12 0k m k ,得 1 1
2 2k ,存在直线过定点 4,0T .
当Q 为 P ,T 的中点,即 5 3,2 4Q
,此时
2
21 1 3 3 5(4 1) 02 2 2 4PDQ T
.
方法二:
由方法一得 2 28 10 2 3 12 0k km m m k .
由 m y kx 代入得: 2 28 10 ( ) 2( ) 3( ) 12 0k k y kx y kx y kx k ,
2 2 22 10 8 (10 4 3 12) 2 3 0x x k y xy x k y y ,
令
2
2
2 10 8 0
10 4 3 12 0
2 3 0
x x
y xy x
y y
,解得: 4
0
x
y
或
1
3
2
x
y
(舍去).
当直线过定点 4,0T 时, 4m k , 2 2 24 3 3 12 0k m k ,得 1 1
2 2k ,
当Q 为 P ,T 的中点,即 5 3,2 4Q
,此时
2
21 1 3 3 5(4 1) 02 2 2 4PDQ T
.
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