2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章8.5.2 直线与平面平行 10页

8.5.2 直线与平面平行 学习目标 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与 平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行. 知识点一 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行， 那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α， b⊂α， a∥b ⇒a∥α 图形语言 思考 (1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？ 答案 不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外. (2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？ 答案 平行或直线在平面内. 知识点二 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此 平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 思考 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线( ) A.只和这个平面内的一条直线平行 B.只和这个平面内的一条直线相交 C.和这个平面内的任何一条直线都平行 D.和这个平面内的任何一条直线都不相交 答案 D 1.若直线 a 与平面α不平行，则 a 与α相交.( × ) 2.若直线 l 与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行.( × ) 3.若直线 a，b 和平面α满足 a∥α，b∥α，则 a∥b.( × ) 4.若直线 l 不平行于平面α，则直线 l 就不平行于平面α内的任意一条直线.( × ) 一、直线与平面平行的判定定理的应用 例 1 (1)如果两直线 a∥b，且 a∥α，则 b 与α的位置关系是( ) A.相交 B.b∥α C.b⊂α D.b∥α或 b⊂α 答案 D 解析 由 a∥b 且 a∥α，知 b∥α或 b⊂α. (2)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 BC，CC1，BB1 的中点，求证： EF∥平面 AD1G. 证明 连接 BC1(图略)， 在△BCC1 中， ∵E，F 分别为 BC，CC1 的中点，∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1，且 AB＝A1B1＝D1C1， ∴四边形 ABC1D1 是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又 EF⊄平面 AD1G， AD1⊂平面 AD1G，∴EF∥平面 AD1G. 反思感悟 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与 已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实 4 等. 跟踪训练 1 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P 是平面 ABCD 外一点，M，N 分别是 AB， PC 的中点.求证：MN∥平面 PAD. 证明 如图，取 PD 的中点 G，连接 GA，GN. ∵G，N 分别是△PDC 的边 PD，PC 的中点， ∴GN∥DC，GN＝1 2DC. ∵M 为平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点， ∴AM＝1 2DC，AM∥DC， ∴AM∥GN，AM＝GN， ∴四边形 AMNG 为平行四边形，∴MN∥AG. 又 MN⊄平面 PAD，AG⊂平面 PAD， ∴MN∥平面 PAD. 二、直线与平面平行的性质定理的应用 例 2 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：AP∥GH. 证明 连接 MO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 的中点. 又∵M 是 PC 的中点，∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面 BDM， OM⊂平面 BDM， ∴AP∥平面 BDM. 又∵AP⊂平面 APGH，平面 APGH∩平面 BDM＝GH，∴AP∥GH. 反思感悟 线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通 过线面平行得线线平行. 跟踪训练 2 如图，在五面体 EFABCD 中，已知四边形 ABCD 为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF. 证明 ∵AD∥BC，AD⊄平面 BCEF，BC⊂平面 BCEF， ∴AD∥平面 BCEF， ∵AD⊂平面 ADEF，平面 ADEF∩平面 BCEF＝EF， ∴AD∥EF. 1.(多选)已知 b 是平面α外的一条直线，下列条件中，不能得出 b∥α的是( ) A.b 与α内的一条直线不相交 B.b 与α内的两条直线不相交 C.b 与α内的无数条直线不相交 D.b 与α内的所有直线不相交 答案 ABC 2.下列命题： ①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行； ②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行； ③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 ②正确；①③错误. 3.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的点(不与 端点重合)，EH∥FG，则 EH 与 BD 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 答案 A 4.如图，在三棱锥 S－ABC 中，E，F 分别是 SB，SC 上的点，且 EF∥平面 ABC，则( ) A.EF 与 BC 相交 B.EF∥BC C.EF 与 BC 异面 D.以上均有可能 答案 B 5.若直线 l∥平面α，则过 l 作一组平面与α相交，记所得的交线分别为 a，b，c，…，那么这 些交线的位置关系为( ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 答案 A 解析 因为直线 l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知 l∥a，l∥b，l∥c，…，所以 a∥b∥c∥…. 1.知识清单： (1)直线与平面平行的判定定理. (2)直线与平面平行的性质定理. 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：注意定理中条件的严密性. 1.直线 a，b 为异面直线，过直线 a 与直线 b 平行的平面( ) A.有且只有一个 B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 D.不存在 答案 A 解析 在 a 上任取一点 A，则过 A 与 b 平行的直线有且只有一条，设为 b′，又∵a∩b′＝ A，∴a 与 b′确定一个平面α，即为过 a 与 b 平行的平面，可知它是唯一的. 2.下列条件中能得出直线 m 与平面α平行的是( ) A.直线 m 与平面α内所有直线平行 B.直线 m 与平面α内无数条直线平行 C.直线 m 与平面α没有公共点 D.直线 m 与平面α内的一条直线平行 答案 C 解析 A，本身说法错误；B，当直线 m 在平面α内时，m 与α不平行；C，能推出 m 与α平行； D，当直线 m 在平面α内时，m 与α不平行. 3.过直线 l 外两点，作与 l 平行的平面，则这样的平面( ) A.不可能作出 B.只能作出一个 C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在 答案 D 解析 设直线外两点为 A，B，若直线 AB∥l，则过 A，B 可作无数个平面与 l 平行；若直线 AB 与 l 异面，则只能作一个平面与 l 平行；若直线 AB 与 l 相交，则过 A，B 没有平面与 l 平行. 4.如果 a，b 是两条异面直线，且 a∥α，那么 b 与α的位置关系是( ) A.b∥α B.b 与α相交 C.b⊂α D.不确定 答案 D 5.在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线 CD 与平面α内的直线的位置 关系只能是( ) A.平行 B.平行或异面 C.平行或相交 D.异面或相交 答案 B 解析 由 AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得 CD∥α， 所以直线 CD 与平面α内的直线的位置关系是平行或异面. 6.直线 a∥平面α，α内有 n 条直线交于一点，则这 n 条直线中与直线 a 平行的直线有___条. 答案 0 或 1 解析 过直线 a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线 b，则 a∥b，若所给 n 条直线中有 1 条是与 b 重合的，则此直线与直线 a 平行，若没有与 b 重合的，则与直线 a 平行的直线有 0 条. 7.如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 A1C1 与平面 ACE 的位置关系 为________. 答案 平行 解析 ∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面 ACE，AC⊂平面 ACE，∴A1C1∥平面 ACE. 8.三棱锥 SABC 中，G 为△ABC 的重心，E 在棱 SA 上，且 AE＝2ES，则 EG 与平面 SBC 的 关系为________. 答案 平行 解析 如图，延长 AG 交 BC 于 F，连接 SF，则由 G 为△ABC 的重心知 AG∶GF＝2， 又 AE∶ES＝2，∴EG∥SF， 又 SF⊂平面 SBC，EG⊄平面 SBC， ∴EG∥平面 SBC. 9.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，C1D1 的中点.求证：EF∥ 平面 BDD1B1. 证明 取 D1B1 的中点 O，连接 OF，OB(图略). ∵F 为 C1D1 的中点， ∴OF∥B1C1 且 OF＝1 2B1C1， 又 BE∥B1C1，BE＝1 2B1C1， ∴OF∥BE 且 OF＝BE， ∴四边形 OFEB 是平行四边形，∴EF∥BO. ∵EF⊄平面 BDD1B1，BO⊂平面 BDD1B1， ∴EF∥平面 BDD1B1. 10.如图，四边形 ABCD 是矩形，P∉平面 ABCD，过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于点 E，交 DP 于点 F，求证：四边形 BCFE 是梯形. 证明 ∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC∥AD. ∵AD⊂平面 PAD，BC⊄平面 PAD， ∴BC∥平面 PAD. ∵平面 BCFE∩平面 PAD＝EF，BC⊂平面 BCFE， ∴BC∥EF. ∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF， ∴四边形 BCFE 是梯形. 11.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 上的点，且 AE∶EB＝AF∶FD ＝1∶4，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，则( ) A.BD∥平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形 答案 B 12.如图所示，四边形 EFGH 为四面体 ABCD 的一个截面，若AE CE ＝BF FC ＝BG GD ，则与平面 EFGH 平行的直线有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 答案 C 解析 ∵AE CE ＝BF FC ，∴EF∥AB. 又 EF⊂平面 EFGH，AB⊄平面 EFGH， ∴AB∥平面 EFGH. 同理，由BF FC ＝BG GD ， 可证 CD∥平面 EFGH. ∴与平面 EFGH 平行的直线有 2 条. 13.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，若过 A，C，B1 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l， 则 l 与 A1C1 的位置关系是________. 答案 A1C1∥l 解析 因为平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，AC⊂平面 ABCD， 所以 AC∥平面 A1B1C1D1. 又平面 ACB1 经过直线 AC 与平面 A1B1C1D1 相交于直线 l， 所以 AC∥l. 又因为 A1C1∥AC，所以 A1C1∥l. 14.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，M，N 分别是下底面的棱 A1B1，B1C1 的中点，P 是上底面的棱 AD 上的一点，AP＝a 3 ，过 P，M，N 的平面交上底面于 PQ，Q 在 CD 上，则 PQ＝________. 答案 2 2 3 a 解析 ∵MN∥平面 AC，平面 PMNQ∩平面 AC＝PQ， ∴MN∥PQ，易知 DP＝DQ＝2a 3 ， 故 PQ＝ PD2＋DQ2＝ 2DP＝2 2a 3 . 15.如图，在四面体 ABCD 中，M，N 分别是△ACD，△BCD 的重心，则四面体的四个面中 与 MN 平行的是________. 答案 平面 ABC，平面 ABD 解析 连接 BN，AM，并延长交 CD 于点 E. 由题意易得 MN∥AB，MN⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC，MN⊄平面 ABD，AB⊂平面 ABD， ∴MN∥平面 ABC，MN∥平面 ABD. 16.如图，四边形 ABCD 为正方形，△ABE 为等腰直角三角形，AB＝AE，P 是线段 CD 的中 点，在直线 AE 上是否存在一点 M，使得 PM∥平面 BCE.若存在，指出点 M 的位置，并证 明你的结论. 解 存在点 M，如图，当点 M 是线段 AE 的中点时， PM∥平面 BCE. 证明如下，取 BE 的中点 N，连接 CN，MN， 则 MN∥AB 且 MN＝1 2AB， 又 PC∥AB 且 PC＝1 2AB， 所以 MN∥PC 且 MN＝PC， 所以四边形 MNCP 为平行四边形，所以 PM∥CN. 因为 PM⊄平面 BCE，CN⊂平面 BCE， 所以 PM∥平面 BCE.