高中数学人教a版选修4-1课时跟踪检测（八）圆的切线的性质及判定定理word版含解析 6页

课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理 一、选择题 1.如图，AB 切⊙O 于点 B，延长 AO 交⊙O 于点 C，连接 BC.若∠A＝ 40°，则∠C 等于( ) A．20° B．25° C．40° D．50° 解析：选 B 连接 OB，因为 AB 切⊙O 于点 B， 所以 OB⊥AB，即∠ABO＝90°， 所以∠AOB＝50°， 又因为点 C 在 AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C＝1 2 ∠AOB＝25°. 2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于 D. 若 AB＝6，BC＝8，则 BD 等于( ) A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 解析：选 B ∵AB 是⊙O 的直径，∴BD⊥AC. ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB⊥BC. ∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10. ∴BD＝AB·BC AC ＝4.8. 3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC 于点 E，要使 DE 是⊙O 的 切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( ) A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD 解析：选 A 当 AB＝AC 时，如图， 连接 AD，因为 AB 是⊙O 的直径， 所以 AD⊥BC，所以 CD＝BD. 因为 AO＝BO， 所以 OD 是△ABC 的中位线， 所以 OD∥AC. 因为 DE⊥AC，所以 DE⊥OD， 所以 DE 是⊙O 的切线． 所以选项 B 正确． 当 CD＝BD 时，AO＝BO， 同选项 B，所以选项 C 正确． 当 AC∥OD 时，因为 DE⊥AC， 所以 DE⊥OD. 所以 DE 是⊙O 的切线． 所以选项 D 正确． 4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过 B 点的切线与 AD 的延长线交于 C，若 AD＝DC，则 sin ∠ACO 等于( ) A. 10 10 B. 2 10 C. 5 5 D. 2 4 解析：选 A 连接 BD，则 BD⊥AC. ∵AD＝DC，∴BA＝BC， ∴∠BCA＝45°. ∵BC 是⊙O 的切线，切点为 B， ∴∠OBC＝90°. ∴sin ∠BCO＝OB OC ＝ OB 5OB ＝ 5 5 ， cos ∠BCO＝BC OC ＝ 2OB 5OB ＝2 5 5 . ∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO) ＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO ＝ 2 2 ×2 5 5 － 2 2 × 5 5 ＝ 10 10 . 二、填空题 5.如图，⊙O 的半径为 3 cm，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点 A， AB＝OA，动点 P 从点 A 出发，以π cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方 向运动一周回到点 A 立即停止．当点 P 运动的时间 t 为________s 时， BP 与⊙O 相切． 解析：连接 OP. 当 OP⊥PB 时，BP 与⊙O 相切． 因为 AB＝OA，OA＝OP， 所以 OB＝2OP， 又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°， 所以∠O＝60°. 因为 OA＝3 cm， 所以 AP ＝60×π×3 180 ＝π，圆的周长为 6π， 所以点 P 运动的距离为π或 6π－π＝5π； 所以当 t＝1 s 或 5 s 时，BP 与⊙O 相切． 答案：1 或 5 6．已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA＝2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于 B 点，PB＝1.则圆 O 的半径 R＝________. 解析： 如图，连接 AB， 则 AB＝ AP2－PB2＝ 3. 由 AB2＝PB·BC， ∴BC＝3，在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝2 3. ∴半径 R＝ 3. 答案： 3 7．圆 O 的直径 AB＝6，C 为圆周上一点，BC＝3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂 线 AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D，E，则∠DAC＝________，DC＝________. 解析：连接 OC. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC. 又∠DCA＋∠ACO＝90°， ∠ACO＋∠OCB＝90°， ∴∠DCA＝∠OCB. ∵OC＝3，BC＝3， ∴△OCB 是正三角形． ∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°. ∴∠DAC＝30°. 在 Rt△ACB 中，AC＝ AB2－BC2＝3 3， DC＝ACsin 30°＝3 2 3. 答案：30° 3 3 2 三、解答题 8．如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D，过 D 点作⊙O 的切线交 AC 于 E. 求证：(1)DE⊥AC； (2)BD2＝CE·CA. 证明：(1)连接 OD，AD. ∵DE 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴OD⊥DE. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC.又 AB＝AC， ∴BD＝DC.又 O 为 AB 的中点， ∴OD∥AC.∴DE⊥AC. (2)∵AD⊥BC，DE⊥AC， ∴△CDE∽△CAD. ∴CD CA ＝CE CD.∴CD2＝CE·CA. 又∵BD＝DC，∴BD2＝CE·CA. 9.如图，⊙O 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F，AB＝AC，连 接 AD 交⊙O 于 H，直线 FH 交 BC 的延长线于 G. (1)求证：圆心 O 在 AD 上； (2)求证：CD＝CG； (3)若 AH∶AF＝3∶4，CG＝10，求 FH 的长． 解：(1)证明：由题知 AE＝AF， CF＝CD，BD＝BE， 又∵AB＝AC， ∴CD＝CF＝BE＝BD. ∴D 为 BC 中点． ∴AD 是∠BAC 的角平分线． ∴圆心 O 在 AD 上． (2)证明：连接 DF. ∵O 在 AD 上，∴DH 为直径．∴∠DFH＝90°. ∵CF＝CD，∴∠CFD＝∠FDC. ∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG. ∴CG＝CF.∴CG＝CD. (3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA， 又∠FAD 为公共角，则△AHF∽△AFD. ∴FH FD ＝AH AF ＝3 4. ∴在 Rt△HFD 中，FH∶FD∶DH＝3∶4∶5. ∵△HDF∽△DGF， ∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5. ∴DF＝3×20×1 5 ＝12，∴FH＝3 4FD＝9. 10.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，AE⊥CD，垂 足为 E，DA 平分∠BDE. (1)求证：AE 是⊙O 的切线； (2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求 BD 的长． 解：(1)证明：连接 OA. ∵DA 平分∠BDE， ∴∠BDA＝∠EDA. ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD. ∴∠OAD＝∠EDA. ∴OA∥CE. ∵AE⊥DE， ∴AE⊥OA. ∴AE 是⊙O 的切线． (2)∵BD 是直径， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°. ∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°. ∴∠BDE＝120°. ∵DA 平分∠BDE， ∴∠BDA＝∠EDA＝60°. ∴∠ABD＝∠EAD＝30°. 在 Rt△AED 中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°， ∴AD＝2DE. 在 Rt△ABD 中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°， ∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．