高中数学人教a版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评14 word版含答案 7页

学业分层测评(十四) (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．△ABC 所在的平面为α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC， m⊥AC，则直线 l，m 的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 【解析】 因为 l⊥AB，l⊥AC 且 AB∩AC＝A， 所以 l⊥平面 ABC. 同理可证 m⊥平面 ABC， 所以 l∥m，故选 C. 【答案】 C 2．设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命 题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n C．若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若 m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 【解析】 A 中，m，n 可能为平行、垂直、异面直线；B 中，m， n 可能为异面直线；C 中，m 应与β中两条相交直线垂直时结论才成立． 【答案】 D 3．已知平面α、β和直线 m、l，则下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则 l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则 l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则 l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则 l⊥β 【解析】 选项 A 缺少了条件 l⊂α；选项 B 缺少了条件α⊥β；选 项 C 缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项 D 具备了面面垂直的性质定理 的全部条件．故选 D. 【答案】 D 4．(2016·蚌埠高二检测)如图 2342，PA⊥矩形 ABCD，下列结论 中不正确的是( ) 图 2342 A．PD⊥BD B．PD⊥CD C．PB⊥BC D．PA⊥BD 【解析】 若 PD⊥BD，则 BD⊥平面 PAD， 又 BA⊥平面 PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成 立，故 A 不正确； 因为 PA⊥矩形 ABCD， 所以 PA⊥CD，AD⊥CD， 所以 CD⊥平面 PAD，所以 PD⊥CD， 同理可证 PB⊥BC. 因为 PA⊥矩形 ABCD， 所以由直线与平面垂直的性质得 PA⊥BD.故选 A. 【答案】 A 5．如图 2343 所示，三棱锥 PABC 的底面在平面α内，且 AC⊥PC， 平面 PAC⊥平面 PBC，点 P，A，B 是定点，则动点 C 的轨迹是( ) 图 2343 A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 【解析】 ∵平面 PAC⊥平面 PBC，AC⊥PC，平面 PAC∩平面 PBC＝PC，AC⊂平面 PAC，∴AC⊥平面 PBC. 又∵BC⊂平面 PBC，∴AC⊥BC. ∴∠ACB＝90°. ∴动点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆，除去 A 和 B 两点． 【答案】 D 二、填空题 6．如图 2344，在三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°， F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点，且 EF⊥BC，则PE EC ＝________. 图 2344 【解析】 在三棱锥 PABC 中， 因为 PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°，所以 AB⊥平面 APC. 因为 EF⊂平面 PAC，所以 EF⊥AB， 因为 EF⊥BC，BC∩AB＝B， 所以 EF⊥底面 ABC，所以 PA∥EF， 因为 F 是 AC 的中点，E 是 PC 上的点， 所以 E 是 PC 的中点，所以PE EC ＝1. 【答案】 1 7．在三棱锥 PABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠PCA＝90°，△ABC 是边长为 4 的正三角形，PC＝4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最 小值为________． 【导学号：09960085】 【解析】 连接 CM，则由题意知 PC⊥平面 ABC，可得 PC⊥CM， 所以 PM＝ PC2＋CM2，要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可， 在△ABC 中，当 CM⊥AB 时，CM 有最小值，此时有 CM＝4× 3 2 ＝2 3， 所以 PM 的最小值为 2 7. 【答案】 2 7 三、解答题 8．(2016·成都高一检测)如图 2345，三棱锥 PABC 中，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC 是直角三角形，∠PAC＝90°， 平面 PAC⊥平面 ABC.求证：平面 PAB⊥平面 PBC. 【导学号：09960086】 图 2345 【证明】 ∵平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC， PA⊥AC， ∴PA⊥平面 ABC.又 BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面 PAB， PA⊂平面 PAB， ∴BC⊥平面 PAB.又 BC⊂平面 PBC， ∴平面 PAB⊥平面 PBC. 9．如图 2346，△ABC 是边长为 2 的正三角形．若 AE＝1，AE⊥ 平面 ABC，平面 BCD⊥平面 ABC，BD＝CD，且 BD⊥CD. 图 2346 (1)求证：AE∥平面 BCD； (2)求证：平面 BDE⊥平面 CDE. 【证明】 (1)取 BC 的中点 M，连接 DM， 因为 BD＝CD，且 BD⊥CD，BC＝2. 所以 DM＝1，DM⊥BC. 又因为平面 BCD⊥平面 ABC， 所以 DM⊥平面 ABC， 又 AE⊥平面 ABC，所以 AE∥DM. 又因为 AE⊄平面 BCD，DM⊂平面 BCD，所以 AE∥平面 BCD. (2)由(1)知 AE∥DM， 又 AE＝1，DM＝1，所以四边形 DMAE 是平行四边形， 所以 DE∥AM.连接 AM，易证 AM⊥BC， 因为平面 BCD⊥平面 ABC，所以 AM⊥平面 BCD， 所以 DE⊥平面 BCD. 又 CD⊂平面 BCD，所以 DE⊥CD. 因为 BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以 CD⊥平面 BDE. 因为 CD⊂平面 CDE，所以平面 BDE⊥平面 CDE. [自我挑战] 10．设 m，n，l 是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列 说法正确的是( ) A．若 m⊄α，l⊥α，则 m∥α B．若 l⊥n，则 m⊥n C．若 l⊥n，则 m∥n D．若 m∥n，n⊂α，则 l⊥α 【解析】 若 l⊥m，l⊥n，则 m 与 n 可能平行，也可能相交或异面，即 B，C 都不正确；由 l⊥m，m∥n，可得 l⊥n，不一定有 l⊥α，即 D 不正确； 对于 A，可在 l 上取一点 P，过 P 作 m′∥m，则 m′⊥l，m′与 l 确 定一个平面β，β∩α＝a，由 l⊥α，得 l⊥a，又 m′，a，l 同在平面β内， 则由 l⊥m′，l⊥a 得 m′∥a，于是 m∥a，又 m⊄α，所以 m∥α.故选 A. 【答案】 A 11．如图 2347，在矩形 ABCD 中，AB＝2AD，E 是 AB 的中点， 沿 DE 将△ADE 折起． (1)如果二面角 ADEC 是直二面角，求证：AB＝AC； (2)如果 AB＝AC，求证：平面 ADE⊥平面 BCDE. 图 2347 【解】 (1)过点 A 作 AM⊥DE 于点 M， ∵二面角 ADEC 是直二面角， 则 AM⊥平面 BCDE， ∴AM⊥BC.又 AD＝AE， ∴M 是 DE 的中点，取 BC 中点 N，连接 MN，AN，则 MN⊥BC. 又 AM⊥BC，AM∩MN＝M， ∴BC⊥平面 AMN，∴AN⊥BC. 又∵N 是 BC 中点，∴AB＝AC. (2)取 BC 的中点 N，连接 AN， ∵AB＝AC，∴AN⊥BC. 取 DE 的中点 M，连接 MN，AM， ∴MN⊥BC.又 AN∩MN＝N， ∴BC⊥平面 AMN，∴AM⊥BC. 又 M 是 DE 的中点，AD＝AE， ∴AM⊥DE. 又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的相交直线， ∴AM⊥平面 BCDE. ∵AM⊂平面 ADE， ∴平面 ADE⊥平面 BCDE.