人教A版数学必修一课时提升作业(二十七) 9页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(二十七) 指数型、对数型函数模型的应用举例 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林 ( ) A.14400 亩 B.172800 亩 C.17280 亩 D.20736 亩 【解析】选 C.设第 x 年造林 y 亩,则 y=10000(1+20%)x-1,所以 x=4 时,y=10000× 1.23=17280(亩). 2.(2015·四平高一检测)某化工厂 2014 年的 12 月份的产量是 1 月份产量的 n 倍,则该化工厂这一年的月平均增长率是 ( ) A. B. C. -1 D. -1 【解析】选 D.设月平均增长率为 x,第一个月的产量为 a,则有 a(1+x)11=na,所以 1+x= ,所以 x= -1. 3.(2015·长沙高一检测)在一次教学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数 据: x -2.00 -1.00 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x,y 的函数关系与下列各类函数中最接近的是(其中 a,b 为待定系数) ( ) A.y=a+ B.y=a+bx C.y=a+logbx D.y=a·bx 【解析】选 D.因为 f(0)=1,所以 A.y=a+ ,C.y=a+logbx 不符合题意. 先求 y=a+bx,由 得 所以 y=1+1.02x,当 x=-2 时,1+1.02 ×(-2)=-1.04,不满足题意,选项 B 错误. 下面求 y=a·bx,由 得 所以 y=2.02x,满足题意,选项 D 正确. 4.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y(万公顷)关于年数 x 的 函数关系较为近似的是 ( ) A.y=0.2x B.y= C.y= D.y=0.2+log16x 【解题指南】利用所给函数,分别令 x=1,2,3,计算相应的函数值,即可求得结论. 【解析】选 C.对于 A,x=1,2 时,符合题意,x=3 时,y=0.6,与 0.76 相差 0.16; 对于 B,x=1 时,y=0.3;x=2 时,y=0.8;x=3 时,y=1.5,相差较大,不符合题意; 对于 C,x=1,2 时,符合题意,x=3 时,y=0.8,与 0.76 相差 0.04,与 A 比较,更符合 题意; 对于 D,x=1 时,y=0.2;x=2 时,y=0.45;x=3 时,y<0.6,相差较大,不符合题意. 5.某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如表: x 1 2 3 … y 1 3 8 … 则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x2-1 C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2 【解析】选 D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,可知应选 D. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·镇江高一检测)某细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂一次(由一个分裂 成两个),则这种细菌由一个繁殖成 4096 个需要经过 小时. 【解析】设共分裂了 x 次,则有 2x=4096,即 2x=212,所以 x=12.所用的时间为 15 分 钟×12=180 分钟=3 小时. 答案:3 7.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数 t=-144lg 中,t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N 表示每分钟打出的字数.则 当 N=40 时,t= .(已知 lg5≈0.699,lg3≈0.477) 【解析】当 N=40 时,则 t=-144lg =-144lg =-144(lg5-2lg3)≈36.72. 答案:36.72 8.(2015·扬州高一检测)现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模 型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用 作为拟合模型较好.(填“甲”或“乙”) 【解析】图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象如图所示, 比较发现选甲更好. 答案:甲 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.某种新式杀菌剂,每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的 60%,要使该物质上 的细菌少于原来的 0.1%,则至少要喷洒多少次?(lg2≈0.3010) 【 解析 】设 喷洒 x 次 ,该 物质 上原 有细 菌为 a,则 a(1-60%)x<0.1%· a,即 (1-60%)x<0.1%,xlg0.4 = ≈7.5,故至少要喷洒 8 次. 10.某工厂今年 1 月,2 月,3 月,4 月生产某种产品分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万 件,1.37 万件,为了以后估计每个月的产量,以 1,2 两个月的产品数据为依据.用 一个函数模型模拟产品的月产量 y 与月份数 x 的关系,模拟函数可选用 f(x)=-0.05x2+qx+r 或 g(x)=a·0.5x+c,其中 q,r,a,c 为常数,请问用上述哪个函 数作为模拟函数较好?说明理由. 【解析】用 g(x)=a·0.5x+c 作为模拟函数较好,理由如下: f(x)=-0.05x2+qx+r 由 f(1)=1,f(2)=1.2 得 q=0.35,r=0.7,f(3)=1.3,f(4)=1.3; 而 对 于 g(x)=a·0.5x+c, 由 g(1)=1,g(2)=1.2,得 a=-0.8,c=1.4,g(3)=1.3,g(4)=1.35, 所以用 g(x)=a·0.5x+c 作为模拟函数较好. 【拓展延伸】函数建模的基本思想 (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015·舟山高一检测)若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y,则 x,y 的函数关系是 ( ) A.y= B.y= C.y= D.y=1-(0.0424 【解析】选 A.设镭一年放射掉其质量的 t%,则有 95.76%=1·(1-t%)100, t%=1- ,所以 y=(1-t%)x=(0.9576 . 2.一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量 为原来的一半所需的时间)t 等于 ( ) A.lg B.lg C. D. 【解析】选 C.由题意得 a(1-8%)t= , 所以 0.92t=0.5.两边取对数得 lg0.92t=lg0.5, 所以 tlg0.92=lg0.5.故 t= . 【误区警示】解答本题容易因忽视利用两边取对数的方法求出 t 的值而致误.另 外对数的运算性质应用不当也易导致出错. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2015·鹰潭高一检测)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v(米/秒) 和燃料的质量 M(千克)、火箭(除燃料外)的质量 m(千克)的函数关系式是 v=2000·ln .当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可 达 12000 米/秒. 【解析】当 v=12000 时,2000·ln =12000, 所以 ln =6,所以 =e6-1. 答案:e6-1 【补偿训练】用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的 ,要使存留的污垢不超过 1%, 则至少要洗的次数是 . 【解题指南】先将污垢原量视为单位 1,再把洗 x 次后污垢含量表示出来,列出不 等式,最后解不等式求出. 【解析】选 B.设要洗 x 次,则 ≤ ,所以 x≥ ≈3.32,因此至少要洗 4 次. 答案:4 4.(2015·邵武高一检测)如图所示,某池塘中浮萍蔓延 的面积 y(m2)与时间 t(月)的关系 y=at,有以下几种说法: ①这个指数函数的底数为 2; ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30m2; ③浮萍从 4m2 蔓延到 12m2 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等. 其中正确的命题序号是 . 【解析】由图象知,t=2 时,y=4, 所以 a2=4,故 a=2,①正确. 当 t=5 时,y=25=32>30,②正确, 当 y=4 时,由 4= 知 t1=2, 当 y=12 时,由 12= 知 t2=log212=2+log23. t2-t1=log23≠1.5,故③错误; 浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误. 答案:①② 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等, 当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保 留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . (1)求每年砍伐面积的百分比. (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0