2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题 4页

姓名______________考生号________________ 座位号________________ 2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在 本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知 ,M N 均为 R 的子集，且 R M Nð ，则  M N Rð （） A． B． M C． N D． R 2．在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片随机分给这 3 位同学，每人 1 张，则恰有 1 位学生 分到写有自己学号卡片的概率为（） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 3．关于 x 的方程 2 0x ax b   ，有下列四个命题： 甲： 1x  是该方程的根；乙： 3x  是该方程的根； 丙：该方程两根之和为 2；丁：该方程两根异号． 如果只有一个假命题，则该命题是（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．椭圆 2 2 2 2 1( 0)1 x y mm m    的焦点为 1 2,F F ，上顶点为 A ，若 1 2 3F AF   ，则 m  （） A．1B． 2 C． 3 D．2 5．已知单位向量 ,a b   满足 0a b   ，若向量 7 2c a b    ，则 sin ,a c    （） A． 7 3 B． 2 3 C． 7 9 D． 2 9 6． 2 3 9(1 ) (1 ) (1 )x x x      的展开式中 2x 的系数是（） A．60B．80C．84D．120 7．已知抛物线 2 2y px 上三点 (2,2), ,A B C ，直线 ,AB AC 是圆 2 2( 2) 1x y   的两条切线，则直 线 BC 的方程为（） A． 2 1 0x y   B．3 6 4 0x y   C． 2 6 3 0x y   D． 3 2 0x y   8．已知 5a  且 5e 5e , 4aa b  且 4 4 , 3bbe e c  且 3e 3ecc  ，则（） A． c b a  B．b c a  C． a c b  D． a b c  二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9．已知函数 ( ) ln(1 )f x x x  ，则（） A． ( )f x 在 (0, ) 单调递增 B． ( )f x 有两个零点 C．曲线 ( )y f x 在点 1 1,2 2f        处切线的斜率为 1 ln2  D． ( )f x 是偶函数 10．设 1 2 3, ,z z z 为复数， 1 0z  ．下列命题中正确的是（） A．若 2 3z z ，则 2 3z z  B．若 1 2 1 3z z z z ，则 2 3z z C．若 2 3z z ，则 1 2 1 3z z z z D．若 2 1 2 1z z z ，则 1 2z z 11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（） A． / /AE CD B． / /CH BE C． DG BH D． BG DE 12．设函数 cos2( ) 2 sin cos xf x x x   ，则（） A． ( ) ( )f x f x   B． ( )f x 的最大值为 1 2 C． ( )f x 在 ,04     单调递增 D． ( )f x 在 0, 4      单调递减 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体 积为__________________． 14．若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________， _____． 15．写出一个最小正周期为 2 的奇函数 ( )f x  ________． 16．对一个物理量做 n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差 2~ 0,n N n       ，为使误差 n 在 ( 0.5,0.5) 的概率不小于 0.9545，至少要测量_____次（若  2~ ,X N   ， 则 (| | 2 ) 0.9545)P X     ）． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知各项都为正数的数列 na 满足 2 12 3n n na a a   ． （1）证明：数列 1n na a  为等比数列； （2）若 1 2 1 3,2 2a a  ，求 na 的通项公式． 18．（12 分） 在四边形 ABCD 中， / / , 1AB CD AD BD CD   ． （1）若 3 2AB  ，求 BC ； （2）若 2AB BC ，求 cos BDC ． 19．（12 分） 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1,2,3 需要调整的概率分别为 0.1,0.2,0.3，各部件的 状态相互独立． （1）求设备在一天的运转中，部件 1,2 中至少有 1 个需要调整的概率； （2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 20．（12 分） 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用 曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 2 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内 角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各 顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 3  ，所以正四面体在各顶点的曲率 为 2 3 3     ，故其总曲率为 4 ． （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数 2 ， 证明：这类多面体的总曲率是常数． 21．（12 分） 双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左顶点为 A ，右焦点为 F ，动点 B 在C 上．当 BF AF 时， | | | |AF BF ． （1）求C 的离心率； （2）若 B 在第一象限，证明： 2BFA BAF   ． 22．（12 分） 已知函数 ( ) e sin cos , ( ) e sin cosx xf x x x g x x x      ． （1）证明：当 5 4x   时， ( ) 0f x … ； （2）若 ( ) 2g x ax… ，求 a ．