人教新课标A版数学高三高考卷 06届 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国Ⅱ 20页

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填 写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置 贴好条形码． 2． 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的答案无效． 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(A  B)＝P(A)  P(B) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 V＝4 3πR2 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 P(k)＝Ck nPk(1－P)n－k 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、选择题 （1）已知集合 M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则 M∩N＝ （A） （B）｛x|0＜x＜3｝ （C）｛x|1＜x＜3｝ （D）｛x|2＜x＜3｝ （2）函数 y＝sin2xcos2x 的最小正周期是 （A）2π （B）4π （C）π 4 （D）π 2 （3） 3 (1－i)2 ＝ （A）3 2i （B）－3 2i （C）i （D）－i (4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 （A） 3 16 (B) 9 16 (C)3 8 (D) 9 32 (5)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x2 3 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个 焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是 （A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12 （6）函数 y＝lnx－1(x＞0)的反函数为 （A）y＝ex＋1(x∈R) （B）y＝ex－1(x∈R) （C）y＝ex＋1(x＞1) (D)y＝ex－1(x＞1) （7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π 4 和π 6 ，过 A、B 分 别作两平面交线的垂线，垂足为 A′、B′，则 AB∶A′B′＝ （A）2∶1 （B）3∶1 （C）3∶2 （D）4∶3 （8）函数 y＝f(x)的图像与函数 g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点 对称，则 f(x)的表达式为 (A)f(x)＝ 1 log2x(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0) (C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0) （9）已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1的一条渐近线方程为 y＝4 3x，则双曲线的离心率为 （A）5 3 (B)4 3 (C)5 4 (D)3 2 (10)若 f(sinx)＝3－cos2x，则 f(cosx)＝ （A）3－cos2x （B）3－sin2x （C）3＋cos2x （D）3＋sin2x （11）设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若S3 S6 ＝1 3 ，则 S6 S12 ＝ （A） 3 10 （B）1 3 （C）1 8 （D）1 9 （12）函数 f(x)＝错误!的最小值为 （A）190 （B）171 （C）90 （D）45 α β A BA′ B′ 绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 第Ⅱ卷 （本卷共 10 小题，共 90 分） 注意事项： 1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡上． （13）在(x4＋1 x)10 的展开式中常数项是 （用数字作答） （14）已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB＝1，BC＝4，则边 BC 上的中线 AD 的长为 ． （15）过点（1，2）的直线 l 将圆(x－2)2＋y2＝4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 线 l 的斜率 k＝ ． （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 段应抽出 人． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12 分） 已知向量 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－π 2 ＜θ＜π 2 ． （Ⅰ）若 a⊥b，求θ； （Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值． 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元) 频率/组距 （18）（本小题满分 12 分） 某批产品成箱包装，每箱 5 件．一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意抽 取 2 件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等 品． （Ⅰ）用ξ表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批 产品级用户拒绝的概率． （19）（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC，D、E 分别为 BB1、AC1 的中点． （Ⅰ）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线； （Ⅱ）设 AA1＝AC＝ 2AB，求二面角 A1－AD－C1 的大小． （20）（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的 x≥0，都有 f(x)≥ax 成立，求实数 a 的取值范围． （21）（本小题满分 14 分） 已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 AF→＝λ FB→（λ＞0）．过 A、 B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM→· AB→为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的最小值． （22）（本小题满分 12 分） 设数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，且方程 x2－anx－an＝0 有一根为 Sn－1，n＝1，2，3，…． （Ⅰ）求 a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式． A BC D E A1 B1C1 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修＋选修Ⅱ）参考答案和评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较 严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数—选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 ⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C 二、填空题 ⒀45 ⒁ 3 ⒂ 2 2 ⒃25 三、解答题 17．解：（Ⅰ）若 a⊥b，则 sinθ＋cosθ＝0，……………2 分 由此得 tanθ＝－1(－π 2 ＜θ＜π 2)，所以 θ＝－π 4 ；………………4 分 （Ⅱ）由 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得 ｜a＋b｜＝ (sinθ＋1)2＋(1＋cosθ)2＝ 3＋2(sinθ＋cosθ) ＝ 3＋2 2sin(θ＋π 4)，………………10 分 当 sin(θ＋π 4)＝1 时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝π 4 时，|a＋b|最大值为 2＋1．……12 分 18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为 0，1，2，3． P(ξ＝0)＝C2 4 C2 5 · C2 3 C2 5 ＝ 18 100 ＝ 9 50 P(ξ＝1)＝C1 4 C2 5 · C2 3 C2 5 ＋C2 4 C2 5 · C1 3·C1 2 C2 5 ＝12 25 P(ξ＝2)＝C1 4 C2 5 · C1 3·C1 2 C2 5 ＋C2 4 C2 5 · C2 2 C2 5 ＝15 50 P(ξ＝3)＝C1 4 C2 5 · C2 2 C2 5 ＝ 1 25 ． ………………8 分 ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 9 50 12 25 15 50 1 25 数学期望为 Eξ＝1.2． (Ⅱ)所求的概率为 p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15 50 ＋ 1 25 ＝17 50 ……………12 分 19．解法一： （Ⅰ）设 O 为 AC 中点，连接 EO，BO，则 EO∥＝1 2C1C，又 C1C∥＝B1B，所以 EO∥＝DB， EOBD 为平行四边形，ED∥OB． ……2 分 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面 ABC⊥平面 ACC1A1，BO面 ABC，故 BO⊥平面 ACC1A1， ∴ED⊥平面 ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线．……6 分 （Ⅱ）连接 A1E，由 AA1＝AC＝ 2AB 可知，A1ACC1 为正方形， ∴A1E⊥AC1，又由 ED⊥平面 ACC1A1 和 ED平面 ADC1 知平面 ADC1⊥平面 A1ACC1，∴A1E⊥平面 ADC1．作 EF⊥AD，垂足为 F，连接 A1F，则 A1F⊥ AD，∠A1FE 为二面角 A1－AD－C1 的平面角． 不妨设 AA1＝2，则 AC＝2，AB＝ 2ED＝OB＝1，EF＝AE×ED AD ＝ 2 3 ， tan∠A1FE＝ 3，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角 A1－AD－C1 为 60°． ………12 分 解法二： （Ⅰ）如图，建立直角坐标系 O－xyz，其中原点 O 为 AC 的中点． 设 A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)． 则 C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3 分 ED→＝（0，b，0），BB1 →＝(0，0，2c)． ED→·BB1 →＝0，∴ED⊥BB1． 又AC1 →＝(－2a，0，2c)， ED→·AC1 →＝0，∴ED⊥AC1， ……6 分 所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线． （Ⅱ）不妨设 A(1，0，0)，则 B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)， BC→＝(－1，－1，0)， AB→＝(－1，1，0)，AA1 →＝(0，0，2)， A BC D E A1 B1C1 O F A BC D E A1 B1C1 O z x y BC→· AB→＝0， BC→·AA1 →＝0，即 BC⊥AB，BC⊥AA1，又 AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面 A1AD． 又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)， EC→＝(－1，0，－1)， AE→＝(－1，0，1)，ED→＝(0，1，0)， EC→· AE→＝0， EC→·ED→＝0，即 EC⊥AE，EC⊥ED，又 AE∩ED＝E， ∴ EC⊥面 C1AD． ……10 分 cos＜ EC→， BC→＞＝ EC→· BC→ | EC→|·| BC→| ＝1 2 ，即得 EC→和 BC→的夹角为 60°． 所以二面角 A1－AD－C1 为 60°． ………12 分 20．解法一： 令 g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax， 对函数 g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令 g′(x)＝0，解得 x＝ea－1－1， ……5 分 (i)当 a≤1 时，对所有 x＞0，g′(x)＞0，所以 g(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又 g(0)＝0，所以对 x≥0，都有 g(x)≥g(0)， 即当 a≤1 时，对于所有 x≥0，都有 f(x)≥ax． ……9 分 (ii)当 a＞1 时，对于 0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以 g(x)在(0，ea－1－1)是减函数， 又 g(0)＝0，所以对 0＜x＜ea－1－1，都有 g(x)＜g(0)， 即当 a＞1 时，不是对所有的 x≥0，都有 f(x)≥ax 成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]． ……12 分 解法二：令 g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax， 于是不等式 f(x)≥ax 成立即为 g(x)≥g(0)成立． ……3 分 对函数 g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令 g′(x)＝0，解得 x＝ea－1－1， ……6 分 当 x＞ ea－1－1 时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， 当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9 分 所以要对所有 x≥0 都有 g(x)≥g(0)充要条件为 ea－1－1≤0． 由此得 a≤1，即 a 的取值范围是（－∞，1]． ……12 分 21．解：(Ⅰ)由已知条件，得 F(0，1)，λ＞0． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由 AF→＝λ FB→， 即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， －x1＝λx2 ① 1－y1＝λ(y2－1) ② 将①式两边平方并把 y1＝1 4x12，y2＝1 4x22 代入得 y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得 y1＝λ，y2＝1 λ ，且有 x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 抛物线方程为 y＝1 4x2，求导得 y′＝1 2x． 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y＝1 2x1(x－x1)＋y1，y＝1 2x2(x－x2)＋y2， 即 y＝1 2x1x－1 4x12，y＝1 2x2x－1 4x22． 解出两条切线的交点 M 的坐标为(x1＋x2 2 ，x1x2 4 )＝(x1＋x2 2 ，－1)． ……4 分 所以FM→· AB→＝(x1＋x2 2 ，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝1 2(x22－x12)－2(1 4x22－1 4x12)＝0 所以FM→· AB→为定值，其值为 0． ……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM⊥AB，因而 S＝1 2|AB||FM|． |FM|＝ (x1＋x2 2 )2＋(－2)2＝ 1 4x1 2＋1 4x2 2＋1 2x1x2＋4 ＝ y1＋y2＋1 2 ×(－4)＋4 ＝ λ＋1 λ ＋2＝ λ＋ 1 λ ． 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y＝－1 的距离，所以 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1 λ ＋2＝( λ＋ 1 λ )2． 于是 S＝1 2|AB||FM|＝( λ＋ 1 λ )3， 由 λ＋ 1 λ ≥2 知 S≥4，且当λ＝1 时，S 取得最小值 4． 22．解：(Ⅰ)当 n＝1 时，x2－a1x－a1＝0 有一根为 S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得 a1＝1 2 ． 当 n＝2 时，x2－a2x－a2＝0 有一根为 S2－1＝a2－1 2 ， 于是(a2－1 2)2－a2(a2－1 2)－a2＝0，解得 a1＝1 6 ． (Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0． 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ① 由(Ⅰ)知 S1＝a1＝1 2 ，S2＝a1＋a2＝1 2 ＋1 6 ＝2 3 ． 由①可得 S3＝3 4 ． 由此猜想 Sn＝ n n＋1 ，n＝1，2，3，…． ……8 分 下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n＝1 时已知结论成立． (ii)假设 n＝k 时结论成立，即 Sk＝ k k＋1 ， 当 n＝k＋1 时，由①得 Sk＋1＝ 1 2－Sk ，即 Sk＋1＝k＋1 k＋2 ， 故 n＝k＋1 时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知 Sn＝ n n＋1 对所有正整数 n 都成立． ……10 分 于是当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ n n＋1 －n－1 n ＝ 1 n(n＋1) ， 又 n＝1 时，a1＝1 2 ＝ 1 1×2 ，所以 ｛an｝的通项公式 an＝ n n＋1 ，n＝1，2，3，…． ……12 分 2006 高考数学试题全国 II 卷理科试题 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第ＩＩ卷 ３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷 注意事项： １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好 条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 球的表面积公式 24S R 其中Ｒ表示球的半径 球的体积公式 34 3V R ( ) ( ) ( )P A B P A P B   如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么 ( . ) ( ). ( )P A B P A P B 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 ( ) (1 )k k n k n nP k C P P   一．选择题 （1）已知集合  2{ | 3}, | log 1M x x N x x    ，则 M N  (D) （A） （B） | 0 3x x  （C） |1 3x x  （D） | 2 3x x  解析:    2log 1 2N x x x x    ,用数轴表示可得答案 D 考察知识点有对数函数的单调性,集合的交集 本题比较容易. （2）函数 sin 2 cos2y x x 的最小正周期是(D) （A） 2 （B） 4 （C） 4  （D） 2  解析: 1sin 2 cos2 sin 42y x x x  所以最小正周期为 2 4 2T    ,故选 D 考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易. （3） 2 3 (1 )i  (A) （A） 3 2 i （B） 3 2 i （C）i （D） i 解析: 2 2 3 3 3 3 3 (1 ) 2 2 2 2 i i ii i i       故选 A 本题考察的知识点复数的运算,(乘法和除法),比较简单 （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 (A) （A） 3 16 （B） 9 16 （C） 3 8 （D） 9 32 解析:设球的半径为 R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半 径为 3 2 R 的圆,所以 2 1 2 2 3( ) 32 4 16 RS S R    ,故选 A 本题主要考察截面的形状和球的表面积公式,难度中等 （5）已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆 2 2 13 x y  上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是 ( C) （A） 2 3 （B）6 （C） 4 3 （D）12 解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ABC 的周 长为 4a= 4 3 ,所以选 C 本题主要考察数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等 （6）函数 ln 1( 0)y x x   的反函数为(B) （A） 1( )xy e x R  （B） 1( )xy e x R  （C） 1( 1)xy e x  （D） 1( 1)xy e x  解析: 1ln 1( 0) ln 1 ( )yy x x x y x e y R         所以反函数为 1( )xy e x R  故选 B 本题主要考察反函数的求法和对数式与指数式的互化,难度中等 （7）如图，平面  平面  ， , ,A B AB   与两平面 、 所成的角分别为 4  和 6  。过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 'A 、 ',B 则 : ' 'AB A B  (A) （A） 2:1 （B）3:1 （C）3: 2 （D） 4:3 解 析 : 连 接 AB A B 和 , 设 AB=a, 可 得 AB 与 平 面  所 成 的 角 为 4BAB   , 在 2 2Rt BAB AB a   中有 ,同理可得 AB 与平面  所成的角为 6ABA   ,所以 1 2A A a  ,因 此在 2 22 1 1( ) ( )2 2 2Rt AA B A B a a a       中 ,所以 1: ' ' : 2:12AB A B a a  ,故选 A A' B' A B   本题主要考察直线与平面所成的角以及线面的垂直关系,要用到勾股定理及直角三角形中的边 角关系.有一定的难度 （8）函数 ( )y f x 的图像与函数 2( ) log ( 0)g x x x  的图像关于原点对称，则 ( )f x 的表达 式为(D) （A） 2 1( ) ( 0)logf x xx   （B） 2 1( ) ( 0)log ( )f x xx   （C） 2( ) log ( 0)f x x x   （D） 2( ) log ( )( 0)f x x x    解析(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 2( ) log ( 0)g x x x   2( ) log ( )( 0)f x x x    故选 D 本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把 2 1( ) ( 0)log ( )f x xx   与 2( ) log ( )( 0)f x x x    搞混,其实 2 2 1( ) log ( ) logf x x x      （9）已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线方程为 4 3y x ，则双曲线的离心率为(A) （A） 5 3 （B） 4 3 （C） 5 4 （D） 3 2 解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 2 24 3 4 5,3 3 3 b cea a    可得 ,故选 A 本题主要考察双曲线的渐近线方程和离心率公式,涉及 a,b,c 间的关系,比较简单 （10）若 (sin ) 3 cos2 ,f x x  则 (cos )f x =(C) （A）3 cos2x （B）3 sin 2x （C）3 cos2x （D）3 sin 2x 解析: 2 2(sin ) 3 cos2 3 (1 2sin ) 2sin 2f x x x x       所以 2( ) 2 2f x x  ,因此 2 2(cos ) 2cos 2 (2cos 1) 3 3 cos2f x x x x       故选 C 本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般 （11）设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 3 6 1 3 S S  则 6 12 S S  (A) （A） 3 10 （B） 1 3 （C） 1 8 （D） 1 9 解析:由等差数列的求和公式可得 3 1 1 6 1 3 3 1 , 26 15 3 S a d a dS a d    可得 且 0d  所以 6 1 12 1 6 15 27 3 12 66 90 10 S a d d S a d d    ,故选 A 本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般 （12）函数 19 1 ( ) n f x x n    的最小值为(C) （A）190 （B）171 （C）90 （D）45 解析: 19 1 ( ) 1 2 3 19 n f x x n x x x x             表示数轴上一点到 1,2,3…19 的距 离之和,可知 x 在 1—19 最中间时 f(x)取最小值.即 x=10 时 f(x)有最小值 90,故选 C 本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内, 只在线性回归中简单提到过. 理科数学 第ＩＩ卷（非选择题，共 90 分） 注意事项： 本卷共 2 页，10 小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （13）在 4 101( )x x  的展开式中常数项为 45（用数字作答） 解析: 4 10 40 5 1 10 10 1( ) ( )r r r r r rT C x C xx      要求常数项,即 40-5r=0,可得 r=8 代入通项公式可得 8 2 1 10 10 45rT C C    本题利用二项式的通项公式(让次数为 0,求出 r)就可求出答案,比较简单 （14）已知 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 1, 4,AB BC  则边 BC 上的中线 AD 的长为 3 解析: 由 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列可得 A+C=2B 而 A+B+C= 可得 3B   AD 为边 BC 上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 3AD  本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等 （15）过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 2 2( 2) 4x y   分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时， 直线l 的斜率 2 2k  解析(数形结合)由图形可知点 A (1, 2) 在圆 2 2( 2) 4x y   的内部, 圆心为 O(2,0)要使得劣弧 所对的圆心角最小,只能是直线l OA ,所以 1 1 2 22l OA k k       本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系,难度中等 （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 25 人。 0.0005 3000 3500 0.0003 0.0004 2000 1500 0.0002 0.0001 4000 2500 1000 月收入（元） 频率/组距 解析:由直方图可得[2500,3000) （元）月收入段共有10000 0.0005 500 2500   人 按分层抽样应抽出 1002500 2510000   人 本题主要考察直方图和分层抽样,难度一般 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分１２分） 已知向量 (sin ,1), (1,cos ), .2 2a b          （I）若 ,a b  求 ; （II）求 a b  的最大值。 解(1). ,a b   0a b     sin cos 0   4    2 2(2). (sin 1,cos 1) (sin 1) (cos 1)a b             2 2sin 2sin 1 cos 2cos 1 2(sin cos ) 3              2 2 sin( ) 34    当sin( )4   =1 时 a b  有最大值,此时 4   最大值为 2 2 3 2 1   本题主要考察以下知识点 1.向量垂直转化为数量积为 0 2.特殊角的三角函数值 3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模 难度中等,计算量不大 （18）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任 意出取 2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为 一等品。 （I）用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求 的分布列及 的数学期望； （II）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批 产品被用户拒绝的概率。 解(1.) 0,1,2,3  22 34 2 2 5 5 18 9P( 0)= 100 50 CC C C      2 1 11 2 3 3 24 4 2 2 2 2 5 5 5 5 C 24P( 1 )= C 50 C C CC C C C       1 11 2 2 3 24 4 2 2 2 2 2 5 5 5 5 15( 2) 50 C CC C CP C C C C        1 2 4 2 2 2 5 5 2( 3) 50 C CP C C      所以 的分布列为  0 1 2 3 P 9 50 24 50 15 50 2 50  的数学期望 E( )= 9 24 15 20 1 2 3 1.250 50 50 50         (2)P( 2  )= 15 2 17( 2) ( 3) 50 50 50P P       本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大 （19）（本小题满分１２分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ,AB BC D 、 E 分别为 1BB 、 1AC 的中点。 （I）证明：ED 为异面直线 1BB 与 1AC 的公垂线； （II）设 1 2 ,AA AC AB  求二面角 1 1A AD C  的大小。 提示:1 证明与两条异面直线都垂直相交 利用等腰三角形 1C DA 2 连 1A D ,由 1 2 ,AA AC AB  可得 ABC 为等腰直角三角形,因此 1C 在平面 1 1A ABB 内的 射影为点 1A 所以 1 1 1 2 A DA C DA SCOS S      ,所以二面角 1 1A AD C  为 3  (或 60 ) 本题主要考察以下知识点 1.异面直线的公垂线段的定义(与两条异面直线均垂直切相交) 2.直棱柱的性质(侧棱垂至于底面) 3.三角形的边的关系 4.二面角的求法(可用射影面积或者直接作出二面角) 难度对于民族地区考生较大 （20）（本小题１２分） 设函数 ( ) ( 1)ln( 1).f x x x   若对所有的 0,x  都有 ( )f x ax 成立，求实数 a 的取 值范围。 解析:令 ( ) ( 1)ln( 1)g x x x ax    对 g(x)求导得 ( ) ln( 1) 1g x x a     令 1( ) 0 1ag x x e      当 1a  时,对所有的 x>0 都有 ( ) 0g x  ,所以  ( ) 0,g x 在 上为单调增函数 又 g(0)=0,所以对 0 ( ) (0)x g x g 时有 即当 1 ( )a f x ax 时都有 所以 1a  成立 当 a>1 时,对于 10 1 , ( ) 0ax e g x    时 所以 g(x)在 10, 1ae   上是减函数,又g(0)=0 所以对于 10 1 ( ) (0)ax e g x g   有 即 f(x)1 时 ( )f x ax 不一定成立 综上所述可知 a 的取值范围是 ,1 B A C C 1 B 1 A 1 D E 本题主要考察了函数的导数和利用导数判断函数的单调性,涉及分类讨论的数学思想 难度较大 （21）（本小题满分为１４分） 已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F，A、B 是热线上的两动点，且 ( 0).AF FB    过 A、 B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。 （I）证明 .FM AB   为定值； （II）设 ABM 的面积为 S，写出 ( )S f  的表达式，并求 S 的最小值。 提示 F 点的坐标为(0,1)设 A 点的坐标为 2 1 1, 4 xx     B 点的坐标为 2 2 2 , 4 xx     由 ( 0).AF FB    可得 2 2 1 2 1 2,1 , 14 4 x xx x             因此 1 2 2 2 1 21 ( 1)4 4 x x x x        过 A 点的切线方程为 2 1 1 1( )4 2 x xy x x   (1) 过 B 点的切线方程为 2 2 2 2( )4 2 x xy x x   (2) 解(1)( 2)构成的方程组可得点 M 的坐标,从而得到 FM AB    =0 即为定值 2. FM AB    =0 可得 FM AB  三角形面积 ( ) 2 FM ABS f    21 1, ( )FM AB        所以 3 31 1 1( ) ( ) 2 42 2 2 FM ABS f           当且仅当 1  时取等号 本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 （22）（本小题满分１２分） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且方程 2 0n nx a x a   有一根为 1, 1,2,3,...nS n  （I）求 1 2, ;a a （II）求 na 的通项公式 提示:1 1, 1,2,3,...nS n  为方程的根,代入方程可得 2( 1) ( 1) 0n n n nS a S a     将 n=1 和 n=2 代入上式可得 1 1 2a  2 1 6a  2. 求出 1 2 3 4, , ,a a a a 等,可猜想 1 ( 1)na n n   并用数学归纳法进行证明 本题主要考察 1.一般数列的通项公式 求和公式间的关系 2.方程的根的意义(根代入方程成立) 3. 数 学 归 纳 法 证 明 数 列 的 通 项 公 式 ( 也 可 以 把 1 ( 1)na n n   分 开 为 1 1 1 , ,( 1) 1na n n n n     然后求和 中间项均抵消 只剩下首项和末项 ,可得 nS 难道较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现 试卷总体评价难度不算大,考察知识点不多.注重对一些基本公 式以及数形结合等数学思想的考察,选择题填空题较简单,但解 答题有一定的难度,保证学习一般的学生能拿到 100 左右的分 数,但是得高分也比较困难.有较好的区分度 函数的周期性以及函数的连续性和极限等知识点没在试卷的 考察范围内,新题不多.