高中数学人教a必修5学业分层测评20简单的线性规划问题word版含解析 9页

学业分层测评（二十） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2016·新余高二检测)某服装制造商有 10 m2 的棉布料，10 m2 的羊毛料和 6 m2 的丝绸料，做一条裤子需要 1 m2 的棉布料，2 m2 的羊毛料和 1 m2 的丝绸料， 做一条裙子需要 1 m2 的棉布料，1 m2 的羊毛料和 1 m2 的丝绸料，做一条裤子的 纯收益是 20 元，一条裙子的纯收益是 40 元，为了使收益达到最大，若生产裤子 x 条，裙子 y 条，利润为 z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数 分别为( ) A. x＋y≤10， 2x＋y≤10， x＋y≤6， x，y∈N， z＝20x＋40y B. x＋y≥10， 2x＋y≥10， x＋y≤6， x，y∈N， z＝20x＋40y C. x＋y≤10， 2x＋y≤10， x＋y≤6， z＝20x＋40y D. x＋y≤10， 2x＋y≤10， x＋y≤6， x，y∈N， z＝40x＋20y 【解析】 由题意易知选 A. 【答案】 A 2．(2015·福建高考)若变量 x，y 满足约束条件 x＋2y≥0， x－y≤0， x－2y＋2≥0， 则 z＝2x －y 的最小值等于( ) A．－5 2 B．－2 C．－3 2 D．2 【解析】 作出可行域如图， 由图可知，当直线 z＝2x－y 过点 A 时，z 值最小． 由 x－2y＋2＝0， x＋2y＝0， 得点 A －1，1 2 ， zmin＝2×(－1)－1 2 ＝－5 2. 【答案】 A 3．设变量 x，y 满足约束条件 x＋2y≥2， 2x＋y≤4， 4x－y≥－1， 则目标函数 z＝3x－y 的取 值范围是( ) A. －3 2 ，6 B. －3 2 ，－1 C.[－1，6] D. －6，3 2 【解析】 作出可行域如图所示． 目标函数 z＝3x－y 可转化为 y＝3x－z，作 l0：3x－y＝0，在可行域内平移 l0， 可知在 A 点处 z 取最小值为－3 2 ，在 B 点处 z 取最大值为 6. 【答案】 A 4．已知实数 x，y 满足条件 x≥0， y≤1， 2x－2y＋1≤0， 若目标函数 z＝mx－y(m≠0) 取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数 m 的值为( ) A．1 B.1 2 C．－1 2 D．－1 【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由 图可知当直线 y＝mx－z(m≠0)与直线 2x－2y＋1＝0 重合，即 m＝1 时，目标函 数 z＝mx－y 取最大值的最优解有无穷多个，故选 A. 【答案】 A 5．(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已 知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( ) 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 A.12 万元 B．16 万元 C．17 万元 D．18 万元 【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨，每天所获利润为 z 万 元，则有 3x＋2y≤12， x＋2y≤8， x≥0，y≥0， z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形 可知，当直线 z＝3x＋4y 经过点 A(2,3)时，z 取最大值，最大值为 3×2＋4×3＝ 18. 【答案】 D 二、填空题 6．满足不等式组 x＋y≤5， 2x＋y≤6， x≥0， y≥0， 并使目标函数 z＝6x＋8y 取得最大值的点 的坐标是________． 【解析】 首先作出直线 6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域 内的点 M(0,5)时截距最大，此时 z 最大． 【答案】 (0,5) 7．若实数 x，y 满足 x－y＋1≥0， x＋y≥0， x≤0， 则 z＝3x＋2y 的最小值是________. 【导 学号：05920078】 【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示． 设 t＝x＋2y， 则 y＝－1 2x＋t 2 ， 当 x＝0，y＝0 时，t 最小＝0. z＝3x＋2y 的最小值为 1. 【答案】 1 8．设关于 x，y 的不等式组 2x－y＋1>0， x＋m<0， y－m>0 表示的平面区域内存在点 P(x0， y0)，满足 x0－2y0＝2，则 m 的取值范围是________． 【解析】 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点 P(x0，y0)，使 x0－2y0＝2 成立，只需点 A(－m，m)在直线 x－2y－2＝0 的下方即 可，即－m－2m－2>0，解得 m<－2 3. 【答案】 －∞，－2 3 三、解答题 9．某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡 车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车．某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的 每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得 利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元．该 公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z 等于多少？ 【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为 x，y，则 根据条件 x，y 满足的约束条件为 x＋y≤12， 2x＋y≤19， 10x＋6y≥72， x≤8，y≤7， x∈N*，y∈N*. 目标函数 z＝450x＋350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数 对应的直线 450x＋350y－z＝0 知，当直线经过直线 x＋y＝12 与 2x＋y＝19 的交 点(7,5)时，目标函数取得最大值， 即 zmax＝450×7＋350×5＝4 900. 10．(2015·辽宁三校联考)变量 x，y 满足条件 x－y＋1≤0， y≤1， x＞－1， 求(x－2)2＋ y2 的最小值． 【解】 不等式组 x－y＋1≤0， y≤1， x＞－1 在平面直角坐标系中所表示的平面区域 如图中的阴影部分所示． 设 P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x－2)2＋y2 的几何意义是点 P(x，y)与 点 M(2,0)距离的平方．由图可知，当点 P 的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以 |PM|≥ 22＋1＝ 5，所以|PM|2≥5，即(x－2)2＋y2≥5. [能力提升] 1．(2014·北京高考)若 x，y 满足 x＋y－2≥0， kx－y＋2≥0， y≥0， 且 z＝y－x 的最小值为 －4，则 k 的值为( ) A．2 B．－2 C.1 2 D．－1 2 【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线 kx－y＋2＝0 与 x 轴的 交点为 A－2 k ，0. ∵z＝y－x 的最小值为－4，∴2 k ＝－4，解得 k＝－1 2 ，故选 D. 【答案】 D 2．(2014·山东高考)已知 x，y 满足约束条件 x－y－1≤0， 2x－y－3≥0， 当目标函数 z ＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时，a2＋b2 的最小值为( ) A．5 B．4 C. 5 D．2 【 解 析 】 法 一 线 性 约 束 条 件 所 表 示 的 可 行 域 如 图 所 示 ． 由 x－y－1＝0， 2x－y－3＝0， 解得 x＝2， y＝1， 所以 z＝ax＋by 在 A(2,1)处取得最小值，故 2a＋b＝2 5， a2＋b2＝a2＋(2 5－2a)2＝( 5a－4)2＋4≥4. 法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x－y－1＝0 与 2x －y－3＝0 的交点(2,1)时取得最小值，所以有 2a＋b＝2 5.又因为 a2＋b2 是原点 (0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当 a2＋b2为原点到直线 2a＋b－2 5＝0 的距离 时最小，所以 a2＋b2的最小值是 |－2 5| 22＋12 ＝2，所以 a2＋b2 的最小值是 4.故选 B. 【答案】 B 3．(2014·浙江高考)当实数 x，y 满足 x＋2y－4≤0， x－y－1≤0， x≥1 时，1≤ax＋y≤4 恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 【解析】 画可行域如图所示，设目标函数 z＝ax＋y，即 y＝－ax＋z，要使 1≤z≤4 恒成立，则 a>0，数形结合知，满足 1≤2a＋1≤4， 1≤a≤4 即可， 解得 1≤a≤3 2 ， 所以 a 的取值范围是 1≤a≤3 2. 【答案】 1，3 2 4．设数列{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 S1≤13，S4≥10， S5≤15，求 a4 的最大值． 【解】 可将此题看成关于 a1 和 d 的线性规划问题，根据题意可知 a1≤13， 4a1＋4×3 2 d≥10， 5a1＋5×4 2 d≤15， 化 简 为 a1≤13， 2a1＋3d≥5， a1＋2d≤3， 求 a4 ＝ a1 ＋ 3d 的 最 大 值 ， 将 其 转 化 为 x≤13， 2x＋3y≥5， x＋2y≤3， 求z＝x＋3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示． 由 z＝x＋3y，得 y＝－1 3x＋z 3 ，平移直线 y＝－1 3x，由图可知， 当直线 y＝－1 3x＋z 3 过点 A 时，z 有最大值．由 2x＋3y＝5， x＋2y＝3， 得 A(1,1)， 所以 zmax＝1＋1×3＝4， 即 a4 的最大值为 4.