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  • 2021-06-16 发布

高中数学人教a必修5学业分层测评20简单的线性规划问题word版含解析

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学业分层测评(二十) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.(2016·新余高二检测)某服装制造商有 10 m2 的棉布料,10 m2 的羊毛料和 6 m2 的丝绸料,做一条裤子需要 1 m2 的棉布料,2 m2 的羊毛料和 1 m2 的丝绸料, 做一条裙子需要 1 m2 的棉布料,1 m2 的羊毛料和 1 m2 的丝绸料,做一条裤子的 纯收益是 20 元,一条裙子的纯收益是 40 元,为了使收益达到最大,若生产裤子 x 条,裙子 y 条,利润为 z,则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数 分别为( ) A. x+y≤10, 2x+y≤10, x+y≤6, x,y∈N, z=20x+40y B. x+y≥10, 2x+y≥10, x+y≤6, x,y∈N, z=20x+40y C. x+y≤10, 2x+y≤10, x+y≤6, z=20x+40y D. x+y≤10, 2x+y≤10, x+y≤6, x,y∈N, z=40x+20y 【解析】 由题意易知选 A. 【答案】 A 2.(2015·福建高考)若变量 x,y 满足约束条件 x+2y≥0, x-y≤0, x-2y+2≥0, 则 z=2x -y 的最小值等于( ) A.-5 2 B.-2 C.-3 2 D.2 【解析】 作出可行域如图, 由图可知,当直线 z=2x-y 过点 A 时,z 值最小. 由 x-2y+2=0, x+2y=0, 得点 A -1,1 2 , zmin=2×(-1)-1 2 =-5 2. 【答案】 A 3.设变量 x,y 满足约束条件 x+2y≥2, 2x+y≤4, 4x-y≥-1, 则目标函数 z=3x-y 的取 值范围是( ) A. -3 2 ,6 B. -3 2 ,-1 C.[-1,6] D. -6,3 2 【解析】 作出可行域如图所示. 目标函数 z=3x-y 可转化为 y=3x-z,作 l0:3x-y=0,在可行域内平移 l0, 可知在 A 点处 z 取最小值为-3 2 ,在 B 点处 z 取最大值为 6. 【答案】 A 4.已知实数 x,y 满足条件 x≥0, y≤1, 2x-2y+1≤0, 若目标函数 z=mx-y(m≠0) 取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数 m 的值为( ) A.1 B.1 2 C.-1 2 D.-1 【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示,由 图可知当直线 y=mx-z(m≠0)与直线 2x-2y+1=0 重合,即 m=1 时,目标函 数 z=mx-y 取最大值的最优解有无穷多个,故选 A. 【答案】 A 5.(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已 知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( ) 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨,每天所获利润为 z 万 元,则有 3x+2y≤12, x+2y≤8, x≥0,y≥0, z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,由图形 可知,当直线 z=3x+4y 经过点 A(2,3)时,z 取最大值,最大值为 3×2+4×3= 18. 【答案】 D 二、填空题 6.满足不等式组 x+y≤5, 2x+y≤6, x≥0, y≥0, 并使目标函数 z=6x+8y 取得最大值的点 的坐标是________. 【解析】 首先作出直线 6x+8y=0,然后平移直线,当直线经过平面区域 内的点 M(0,5)时截距最大,此时 z 最大. 【答案】 (0,5) 7.若实数 x,y 满足 x-y+1≥0, x+y≥0, x≤0, 则 z=3x+2y 的最小值是________. 【导 学号:05920078】 【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示. 设 t=x+2y, 则 y=-1 2x+t 2 , 当 x=0,y=0 时,t 最小=0. z=3x+2y 的最小值为 1. 【答案】 1 8.设关于 x,y 的不等式组 2x-y+1>0, x+m<0, y-m>0 表示的平面区域内存在点 P(x0, y0),满足 x0-2y0=2,则 m 的取值范围是________. 【解析】 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域,要使区域内存在点 P(x0,y0),使 x0-2y0=2 成立,只需点 A(-m,m)在直线 x-2y-2=0 的下方即 可,即-m-2m-2>0,解得 m<-2 3. 【答案】 -∞,-2 3 三、解答题 9.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡 车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的 每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得 利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元.该 公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 z 等于多少? 【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为 x,y,则 根据条件 x,y 满足的约束条件为 x+y≤12, 2x+y≤19, 10x+6y≥72, x≤8,y≤7, x∈N*,y∈N*. 目标函数 z=450x+350y.作出约束条件所示的平面区域,然后平移目标函数 对应的直线 450x+350y-z=0 知,当直线经过直线 x+y=12 与 2x+y=19 的交 点(7,5)时,目标函数取得最大值, 即 zmax=450×7+350×5=4 900. 10.(2015·辽宁三校联考)变量 x,y 满足条件 x-y+1≤0, y≤1, x>-1, 求(x-2)2+ y2 的最小值. 【解】 不等式组 x-y+1≤0, y≤1, x>-1 在平面直角坐标系中所表示的平面区域 如图中的阴影部分所示. 设 P(x,y)是该区域内的任意一点,则(x-2)2+y2 的几何意义是点 P(x,y)与 点 M(2,0)距离的平方.由图可知,当点 P 的坐标为(0,1)时,|PM|最小,所以 |PM|≥ 22+1= 5,所以|PM|2≥5,即(x-2)2+y2≥5. [能力提升] 1.(2014·北京高考)若 x,y 满足 x+y-2≥0, kx-y+2≥0, y≥0, 且 z=y-x 的最小值为 -4,则 k 的值为( ) A.2 B.-2 C.1 2 D.-1 2 【解析】 作出可行域,如图中阴影部分所示,直线 kx-y+2=0 与 x 轴的 交点为 A-2 k ,0. ∵z=y-x 的最小值为-4,∴2 k =-4,解得 k=-1 2 ,故选 D. 【答案】 D 2.(2014·山东高考)已知 x,y 满足约束条件 x-y-1≤0, 2x-y-3≥0, 当目标函数 z =ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为( ) A.5 B.4 C. 5 D.2 【 解 析 】 法 一 线 性 约 束 条 件 所 表 示 的 可 行 域 如 图 所 示 . 由 x-y-1=0, 2x-y-3=0, 解得 x=2, y=1, 所以 z=ax+by 在 A(2,1)处取得最小值,故 2a+b=2 5, a2+b2=a2+(2 5-2a)2=( 5a-4)2+4≥4. 法二 画出满足约束条件的可行域知,当目标函数过直线 x-y-1=0 与 2x -y-3=0 的交点(2,1)时取得最小值,所以有 2a+b=2 5.又因为 a2+b2 是原点 (0,0)到点(a,b)的距离的平方,故当 a2+b2为原点到直线 2a+b-2 5=0 的距离 时最小,所以 a2+b2的最小值是 |-2 5| 22+12 =2,所以 a2+b2 的最小值是 4.故选 B. 【答案】 B 3.(2014·浙江高考)当实数 x,y 满足 x+2y-4≤0, x-y-1≤0, x≥1 时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 画可行域如图所示,设目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z,要使 1≤z≤4 恒成立,则 a>0,数形结合知,满足 1≤2a+1≤4, 1≤a≤4 即可, 解得 1≤a≤3 2 , 所以 a 的取值范围是 1≤a≤3 2. 【答案】 1,3 2 4.设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 S1≤13,S4≥10, S5≤15,求 a4 的最大值. 【解】 可将此题看成关于 a1 和 d 的线性规划问题,根据题意可知 a1≤13, 4a1+4×3 2 d≥10, 5a1+5×4 2 d≤15, 化 简 为 a1≤13, 2a1+3d≥5, a1+2d≤3, 求 a4 = a1 + 3d 的 最 大 值 , 将 其 转 化 为 x≤13, 2x+3y≥5, x+2y≤3, 求z=x+3y的最大值问题,不等式组表示的平面区域如图所示. 由 z=x+3y,得 y=-1 3x+z 3 ,平移直线 y=-1 3x,由图可知, 当直线 y=-1 3x+z 3 过点 A 时,z 有最大值.由 2x+3y=5, x+2y=3, 得 A(1,1), 所以 zmax=1+1×3=4, 即 a4 的最大值为 4.