2020-2021学年北师大版数学必修2习题：第二章 解析几何初步 单元质量评估2 9页

第二章单元质量评估(二) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．直线 ax＋by＋c＝0 同时要经过第一、二、四象限，则 a，b， c 应满足( A ) A．ab>0，bc<0 B．ab<0，bc>0 C．ab>0，bc>0 D．ab<0， bc<0 解析：由题意知，直线的斜率小于 0，直线在 y 轴上的截距大于 0，从而 ab>0，bc<0. 2．过点 P(－1,3)且垂直于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为 ( A ) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－ 2y＋7＝0 3．已知点 M(0，－1)，点 N 在直线 x－y＋1＝0 上，若直线 MN 垂直于直线 x＋2y－3＝0，则点 N 的坐标是( C ) A．(－2，－3) B．(2,1) C．(2,3) D．(－2，－1) 解析：利用排除法．由点 N 在直线 x－y＋1＝0 上，排除 A，B. 由 kMN＝2，排除 D.故选 C. 4．三棱锥 O—ABC 中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)， 此三棱锥的体积为( A ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：OA，OB，OC 两两垂直，VO—ABC＝1 3 ×1 2 ×1×2×3＝1. 5．经过点(1,0)且圆心是两直线 x＝1 与 x＋y＝2 的交点的圆的方 程为( B ) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：由 x＝1， x＋y＝2， 得 x＝1， y＝1， 即所求圆的圆心坐标为(1,1)． 由该圆过点(1,0)，得其半径为 1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2 ＝1. 6．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x＋4y ＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( D ) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 解析：设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线 3x＋4y＋4＝0 的距离 等于 2，即 3a＋4 32＋42 ＝2，解得 a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4. 7．已知圆 C：x2＋y2＋mx－4＝0 上存在两点关于直线 x－y＋3 ＝0 对称，则实数 m 的值为( C ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 解析：∵圆上存在关于直线 x－y＋3＝0 对称的两点，∴直线 x －y＋3＝0 过圆心 －m 2 ，0 ，即－m 2 ＋3＝0，解得 m＝6. 8．已知点 A(－1,1)和圆 C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线由 A 射出经 x 轴反射到圆 C 上的最短路程是( B ) A．6 2－2 B．8 C．4 6 D．10 解析：点 A 关于 x 轴的对称点为 A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7) 之间的距离为 5＋12＋7＋12＝10.∴所求最短路程为 10－2＝8. 9．以(a,1)为圆心，且与两条直线 2x－y＋4＝0 与 2x－y－6＝0 同时相切的圆的标准方程为( A ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C．(x－1)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5 解析：因为两条直线 2x－y＋4＝0 与 2x－y－6＝0 的距离为 d＝ |－6－4| 5 ＝2 5，所以所求圆的半径为 r＝ 5，所以圆心(a,1)到直线 2x －y＋4＝0 的距离为 5＝|2a－1＋4| 5 ＝|2a＋3| 5 ，解得 a＝1 或 a＝－4. 又因为圆心(a,1)到直线 2x－y－6＝0 的距离也为 5，所以 a＝1，所 以所求的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5，故应选 A. 10．已知圆(x－3)2＋(y＋5)2＝36 和点 A(2,2)，B(－1，－2)，若 点 C 在圆上且△ABC 的面积为5 2 ，则满足条件的点 C 的个数是 ( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由△ABC 的面积为5 2 知，点 C 到直线 AB 的距离为 1，直 线 AB 的方程为 4x－3y－2＝0，与直线 AB 平行且距离为 1 的直线为 l1：4x－3y＋3＝0 和 l2：4x－3y－7＝0，圆心 C 到直线 l1 的距离为 d1 ＝6，圆心 C 到直线 l2 的距离为 d2＝4，所以圆(x－3)2＋(y＋5)2＝36 与直线 l1 相切，与直线 l2 相交，满足条件的点 C 的个数是 3. 11．集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2 ＝r2}，其中 r>0，若 A∩B 中有且只有一个元素，则 r 的值是( C ) A．3 B．7 C．3 或 7 D．不能确定 解析：两个集合都表示圆，由于 A∩B 中有且只有一个元素，所 以两个圆相切，但是要注意两圆可能内切或外切，因此分情况求解．由 于圆心距为 d＝ 32＋42＝5，两个圆的半径分别为 2 和 r，所以|r－2| ＝d 或 d＝r＋2，即得到|r－2|＝5 或 5＝r＋2，解得 r＝3 或 r＝7. 12．过直线 y＝2x 上一点 P 作圆 M：(x－3)2＋(y－2)2＝4 5 的两条 切线 l1，l2，A，B 为切点，当直线 l1，l2 关于直线 y＝2x 对称时，则 ∠APB＝( C ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：过圆 M 的圆心(3,2)向直线 y＝2x 作垂线，设垂足为 N， 易知当点 P 与点 N 重合时，l1 与 l2 关于 y＝2x 对称，此时|MP|＝ |2×3－2| 5 ＝ 4 5.又圆 M 的半径长为 2 5 ，故 sin∠MPA＝1 2 ，则∠MPA＝ 30°，故∠APB＝60°. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案 填写在题中横线上) 13．已知直线 l1：x＋3y－7＝0，l2：y＝kx＋b 与 x 轴、y 轴正半 轴所围成的四边形有外接圆，则 k＝3，b 的取值范围是 －21，7 3 . 解析：由题意可知 l1⊥l2，∴k＝3，直线 l1 与坐标轴交于点 A 0，7 3 和 B(7,0)，∴直线 l2 与线段 AB(不含端点)垂直相交，画图(图略)易得 b 的取值范围是 －21，7 3 . 14．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线 4x －3y－2＝0 的距离等于 1，则圆半径 r 的取值范围是(4,6)． 解析： 注意到圆心 C(3，－5)到已知直线的距离为|4×3－3×－5－2| 42＋－32 ＝ 5，结合图形可知有两个极端情形：其一是如图所示的小圆，半径为 4；其二是如图所示的大圆，其半径为 6，故 40，即 m<5. (2) x2＋y2－2x－4y＋m＝0， x＋2y－4＝0， 消去 x 得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0， 化简得 5y2－16y＋m＋8＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1＋y2＝16 5 ， ① y1y2＝m＋8 5 . ② 由 OM⊥ON 得 y1y2＋x1x2＝0 即 y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0， ∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0. 将①②两式代入上式得 16－8×16 5 ＋5×m＋8 5 ＝0，解得 m＝ 8 5. (3)将 m＝8 5 代入 5y2－16y＋m＋8＝0，化简整理得 25y2－80y＋48 ＝0，解得 y1＝12 5 ，y2＝4 5. ∴x1＝4－2y1＝－4 5 ，x2＝4－2y2＝12 5 . ∴M －4 5 ，12 5 ，N 12 5 ，4 5 ， ∴MN 的中点 C 的坐标为 4 5 ，8 5 . 又|MN|＝ 12 5 ＋4 5 2＋ 4 5 －12 5 2＝8 5 5 ，∴所求圆的半径为4 5 5 . ∴所求圆的方程为 x－4 5 2＋ y－8 5 2＝16 5 .