【数学】2020届一轮复习北师大版复数代数形式的乘除运算课时作业 4页

知识点一 复数的乘除运算 ‎1.设复数z＝1＋i，则z2－2z等于(　　)‎ A．－3 B．3 C．－3i D．3i 答案　A 解析　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i－2－2－2i＝－3.‎ ‎2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)‎ A．6－4i B．－6－4i C．6＋4i D．－6＋4i 答案　D 解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.‎ ‎3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i ‎＝－＋i，对应点在第二象限.‎ 知识点二 共轭复数 ‎4.若z＝，则复数＝(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 答案　D 解析　z＝2＋＝2－i，＝2＋i，故选D.‎ ‎5．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)‎ A．i B．－i C．±1 D．±i 答案　D 解析　令z＝x＋yi(x，y∈R)则 得或 不难得出＝±i，故选D.‎ ‎6．复数z＝的共轭复数是(　　)‎ A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i 答案　D 解析　z＝＝＝＝－1＋i，所以其共轭复数为＝－1－i.选D.‎ 知识点三 虚数单位i的幂的周期性 ‎7.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　因为z1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝－＋i5＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.‎ 一、选择题 ‎1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 答案　C 解析　z－1＝＝1－i，∴z＝2－i.‎ ‎2．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)‎ A．－1024 B．1024 C．0 D．512‎ 答案　C 解析　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.‎ ‎3．已知(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝(　　)‎ A．1 B．2 C．－1 D．－2‎ 答案　A 解析　因为＝＝为纯虚数，所以1－a＝0且1＋a≠0，得a＝1.‎ ‎4．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 答案　B 解析　∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，‎ ‎∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍)．‎ ‎5．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　　)‎ A．{－1} B．{1} C．{1，－1} D．∅‎ 答案　C 解析　因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}．‎ 二、填空题 ‎6．已知复数z＝，是z的共轭复数，则的模等于________．‎ 答案　1‎ 解析　由z＝＝＝＝－i，得||＝|z|＝|－i|＝1.‎ ‎7．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ＝________.‎ 答案　＋kπ，k∈Z 解析　z2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1.‎ 于是 所以2θ＝π＋2kπ，k∈Z，‎ 所以θ＝＋kπ，k∈Z.‎ ‎8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．‎ 答案　 解析　＝＝ ‎＝＝，‎ ‎∵为纯虚数，∴ ‎∴a＝.‎ 三、解答题 ‎9．计算＋2014＋.‎ 解　原式＝＋1007＋‎ ‎＝i＋(－i)1007＋ ‎＝i＋i＋0＝2i.‎ ‎10．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．‎ 解　存在．‎ 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.‎ 由已知得 ‎∵y≠0，∴ 解得或 ‎∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．‎