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- 2021-06-16 发布
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7.1.2 弧度制
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解弧度制的含义和引入弧度制的意义.
2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点)
3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点)
通过学习本节内容,提升学生的数学运算和直观想象的核心素养.
在初中,我们是如何求一个扇形的弧长的?在弧长公式中,角α是如何度量的?度量的单位是什么?它的1个单位是怎么定义的?用这种单位制来度量角叫做什么制?除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外,我们有没有其他的方式来度量角呢?
1.弧度制的概念
(1)角度制:规定周角的为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制.
(2)弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1 rad,用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
思考1:“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗?
[提示] “1弧度的角”是一个定值,与所在圆的半径大小无关.
2.角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°=2π rad
2π rad=360°
180°=π rad
π rad=180°
1°=rad≈0.017 45 rad
1 rad=度≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
弧度
0
- 8 -
角度
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
π
2π
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.
思考2:角度制与弧度制之间如何进行换算?
[提示] 利用1°=rad≈0.017 45 rad和1 rad=°≈57.30°进行弧度与角度的换算.
3.扇形的弧长公式及面积公式
(1)弧度制下的弧长公式:
如图,l是圆心角α所对的弧长,r是半径,则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|=,弧长l=|α|r.特别地,当r=1时,弧长l=|α|.
(2)扇形面积公式:
在弧度制中,若|α|≤2π,则半径为r,圆心角为α的扇形的面积为S=·πr2=lr.
4.引入弧度制的意义
角的概念的推广后,角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系,即角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系;每一个角都对应唯一的一个实数,反过来,每一个实数也都对应唯一的一个角,为以后三角函数的建立奠定了基础.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大. ( )
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等. ( )
(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.将下列弧度与角度互化.
- 8 -
(1)-= ;
(2)2 rad≈ ;
(3)72°= ;
(4)-300°= .
(1)-40° (2)114.6° (3) rad (4)- rad
[(1)- rad=-×180°=-40°.
(2)2 rad=2×≈114.6°.
(3)72°=72× rad= rad.
(4)-300°=-300× rad=- rad.]
3.(一题两空)半径为1,圆心角为的扇形的弧长为 ,面积为 .
[∵α=,r=1,∴弧长l=α·r=,
面积=lr=××1=.]
角度制与弧度制的互化
【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度:
(1)-450°;(2);(3)-;(4)112°30′.
[思路点拨] 利用“180°=π”实现角度与弧度的互化.
[解] (1)-450°=-450× rad=- rad.
(2) rad=×=18°.
(3)- rad=-×=-240°.
(4)112°30′=112.5°=112.5× rad= rad.
角度制与弧度制换算的要点
- 8 -
提醒:角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再把角度化成弧度.
1.将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-.
[解] (1)20°= rad= rad.
(2)-15°=- rad=- rad.
(3) rad=×=105°.
(4)- rad=-×=-396°.
用弧度制表示角的集合
【例2】 用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图所示).
[思路点拨] 先写出边界角的集合,再借助图形写出区域角的集合.
[解] 用弧度制先写出边界角,再按逆时针顺序写出区域角,
(1).
(2).
(3).
表示角的集合,单位制要统一,不能既含有角度又含有弧度,如在“α+2kπ(k∈Z)”中,α必须是用弧度制表示的角,在“α+k·360°(k∈Z)”中,α必须是用角度制表示的角.
- 8 -
提醒:用不等式表示区域角的范围时,要注意角的集合形式是否能够合并,这一点容易出错.
2.如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
(1) (2)
[解] (1)由题图(1),以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z);以OB为终边的角为-+2kπ(k∈Z),
所以阴影部分内的角的集合为
.
(2)由题图(2),以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z);以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1,左边阴影部分所表示的集合为M2,
则M1=,M2=.
所以阴影部分内的角的集合为
M1∪M2=.
扇形的弧长及面积问题
[探究问题]
1.公式l=|α|r中,“α”可以为角度制角吗?
[提示] 公式l=|α|r中,“α”必须为弧度制角.
2.在扇形的弧长l,半径r,圆心角α,面积S中,已知其中几个量可求其余量?举例说明.
[提示] 已知任意两个量可求其余两个量,如已知α,r,可利用l=|α|r,求l,进而求S=lr;又如已知S,α,可利用S=|α|r2,求r,进而求l=|α|r.
【例3】 一个扇形的周长为20,则扇形的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形面积最大?
- 8 -
[思路点拨]
[解] 设扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,则l=αr,
依题意l+2r=20,即αr+2r=20,∴α=.
由l=20-2r>0及r>0得02π rad(舍去).
当r=4时,l=2(cm),此时,θ== rad.
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键,有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题,将扇形面积表示为半径的函数,转化为r的二次函数的最值问题.
- 8 -
提醒:(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
(2)看清角的度量制,选用相应的公式.
(3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.
3.地球赤道的半径约是6 370 km,赤道上1′所对的弧长为1海里,则1海里大约是 km(精确到0.01 km).
1.85 [因为1′==×,所以l=α·R=××6 370≈1.85(km).]
1.本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式,难点是对弧度制概念的理解.
2.本节要牢记弧度制与角度制的转化公式
(1)π=180°;(2)1°= rad (3)1 rad=.
3.本节课要重点掌握以下规律方法
(1)弧度制的概念辨析;
(2)角度与弧度的换算;
(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用.
4.本节课的易错点
表示终边相同角的集合时,角度与弧度不能混用.
1.(多选题)下列转化结果正确的是( )
A.60°化成弧度是
B.-π化成度是-600°
C.-150°化成弧度是-π
D.化成度是15°
ABD [对于A,60°=60×=;对于B,-π=-
- 8 -
×180°=-600°;对于C,-150°=-150×=-π;对于D,=×180°=15°.故ABD正确.]
2.若扇形的周长为4 cm,面积为1 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 .
2 [设扇形所在圆的半径为r cm,扇形弧长为l cm.
由题意得解得
所以α==2.
因此扇形的圆心角的弧度数是2.]
3.用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为 .
[若角α的终边落在x轴的上方,则2kπ<α<2kπ+π,k∈Z.]
4.设α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自的终边所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并在[-720°,0°)范围内找出与它们终边相同的所有角.
[解] (1)∵180°=π rad,
∴α1=-570°=-570×=-
=-2×2π+,
α2=750°=750×==2×2π+.
∴α1的终边在第二象限,α2的终边在第一象限.
(2)β1==×=108°,
设θ=108°+k·360°(k∈Z),
则由-720°≤θ<0°,
即-720°≤108°+k·360°<0°,
得k=-2,或k=-1.
故在[-720°,0°)范围内,与β1终边相同的角是-612°和-252°.
β2=-=-60°,
设γ=-60°+k·360°(k∈Z),
则由-720°≤-60°+k·360°<0°,得k=-1,或k=0.
故在[-720°,0°)范围内,与β2终边相同的角是-420°和-60°.
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