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- 2021-06-16 发布
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第五讲 对数与对数函数
1.[多选题]对于函数f (x)的定义域内的任意x1,x2(x1≠x2),当f (x)=lg x时,下列结论正确的是( )
A.f (0)=1 B.f (x1x2)=f (x1)+f (x2) C. f(x1)-f(x2)x1-x2> 0 D.f (x1+x22)<f(x1)+f(x2)2
2.[2020唐山市摸底考试]已知a=ln 3,b=log310,c=lg 3,则a,b,c的大小关系为( )
A.c0)与g(x)=logax的图象可能是( )
A B C D
7.[2020合肥市调研检测]求值:lg14 - lg 25+1614= .
8.[2019石家庄二模]已知函数f (x)=log2x,01, 则f (2 0192)= .
9.[多选题]已知奇函数f (x)在( - ∞,+∞)上单调递增,f (1)=2,若0(1+m)2 D.(1 - m)13>(1 - m)12
10.[2020陕西省部分学校摸底测试]已知a>b>0,且a+b=1,x=(1a)b,y=logab(1a+1b),z=logb1a,则x,y,z的大小关系是( )
A.x>z>y B.x>y>z C.z>y>x D.z>x>y
11.[2020河南三门峡市模拟]已知a>0且a≠1,函数f (x)=loga(x+x2+b)在区间( - ∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga||x| - b|的图象是( )
A B
C D
12.[2020山东省统考]若a>b>c>1且aclogbc>logca B.logcb>logba>logac
C.logbc>logab>logca D.logba>logcb>logac
13.[2020南昌市测试][新角度题]已知正实数a,b,c满足:(12)a=log2a,(13)b=log2b,c=log12c,则( )
A.a0,所以C正确;对于D,f (x1+x22)=
lgx1+x22,f(x1)+f(x2)2 =12(lg x1+lg x2)=12lg(x1x2),因为x1+x22>x1x2,所以lgx1+x22>12lg(x1x2),所以D错误.故选BC.
2.B 因为1=ln elog39=2,0=lg 1f (π)>f (4),即ln33>ln ππ>ln44,所以a>c>b,即b0)的单调递减区间,易知h(x)=x2 - 2x - 3(h(x)>0)的单调递减区间为( - ∞, - 1),则g(x)的单调递增区间为( - ∞, - 1).故选A.
5.A 依题意可得y=x2+2a - 1的值域包含所有正数,则2a - 1≤0,即a≤12.故选A.
6.A 易知g(x)的图象过点(1,0).若00)单调递增,且递增趋势越来越慢,函数g(x)=logax单调递减.显然四个选项不满足条件.
若a>1,则函数g(x)=logax单调递增,函数f (x)=xa(x>0)单调递增且递增趋势越来越快,显然只有选项A满足条件.故选A.
7.0 lg14 - lg 25+1614=lg1100+2= - 2+2=0.
8. - 1 当x>1时,f (x)=f (x - 1),∴f (2 0192)=f (2 0172)=…=f (32)=f (12),当01,0<1 - m<1,m21+m2,00,B错误;
对于C,∵y=x2在(0,+∞)上单调递增,0<1 - m<1+m,∴(1 - m)2<(1+m)2,C错误;
对于D,∵y=(1 - m)x在(0,+∞)上单调递减,∴(1 - m)13>(1 - m)12,D正确.故选AD.
10.A 解法一 因为a>b>0,且a+b=1,所以0(1a)0=1,y=logab(1a+1b)=logab1ab= - 1,z=logb1a>logb1b= - logbb= - 1,且z=logb1az>y,故选A.
解法二 由题意不妨令a=23,b=13,则x=(32)13>(32)0=1,y=log2992= - 1,z=log1332>log133= - 1,且z=log1332z>y,故选A.
11.D 由题意得f (0)=0,所以logab=0,所以b=1,所以f (x)=loga(x+x2+1).令u(x)=x+x2+1,则u(x)>0,且u(x)在( - ∞,+∞)上单调递增.因为
f (x)=loga(x+x2+1)在( - ∞,+∞)上单调递增,所以a>1.因为g(x)=loga||x| - 1|,所以g(x)=loga|x-1|,x∈[0,1)⋃(1,+∞),loga|x+1|,x∈(-∞,-1)⋃(-1,0).因为g(12)=loga|12 - 1|=
loga12<0,所以排除A,C;g(5)=loga|5 - 1|=loga4>0,排除B.选D.
【易错警示】 此题易错点是对复合函数的单调性不明晰,导致所求的a的范围出错,最终导致所判断的结果出错.
12.B 解法一 ∵a>b>c>1,∴logablogcc=1,∴logabb>c>1且aclogbbc>logbab,得logcb>logba>1.而logac<1,故答案为B.
解法二 可以代入特殊值进行检验,令a=4,b=3,c=2,可排除A,C.
再令a=6,b=4,c=2,可以排除D.选B.
13.B 因为c=log12c,所以 - c=log2c.又(12)a=log2a,(13)b=log2b,所以a,b,c分别为y=(12)x,y=(13)x,y= - x的图象与y=log2x的图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,分别作出y=(12)x,y=(13)x,y= - x与y=log2x的图象,如图D 2 - 5 - 1,由图可知c1),则x=lgklg3,y=lgklg4,z=lgklg12,所以x+yz=lgklg3+lgklg4lgklg12=1lg3+1lg41lg12=lg12lg3+lg12lg4=lg3+lg4lg3+lg3+lg4lg4=lg4lg3+lg3lg4+2∈(n,n+1),n∈N,因为12,所以4
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