高三数学二轮复习解答题压轴题突破练理新人教版 7页

解答题压轴题突破练 (建议用时:30 分钟) 1.已知椭圆 E: + =1(a>b>0),A 为椭圆 E 的右顶点,B,C 分别为椭圆 E 的上、下顶点. (1)若 N 为 AC 的中点,△BAN 的面积为 ,椭圆的离心率为 ,求椭圆 E 的方程. (2)F 为椭圆 E 的右焦点,线段 CF 的延长线与线段 AB 交于点 M,与椭圆 E 交于点 P,求 的 最小值. 【解析】(1)因为 S△BAN= S△BAC= × ×2b×a= , 所以 ab=2 ,又 = ,a2-b2=c2,所以可解得 a=2,c=b= , 所以椭圆 E 的方程为 + =1. (2)直线 AB:y=b- x,直线 CF:y=-b+ x,联立方程解得 M . 设 =λ (λ>0),P(x,y),则 =λ(x,y+b), 所以 x= ,y= . 把上式代入椭圆方程得 + =1, 即 4c2+[2a-λ(a+c)]2=λ2(a+c)2. 所以λ= = =(e+1)+ -2. 因为 0b>0),焦距为 2c, 由已知得 = ,所以 c= a,b2=a2-c2= . 因为以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 , 所以 4 =2 a=4 ,所以 a=2,b=1. 所以椭圆 E 的方程为 x2+ =1. (2)根据已知得 P(0,m),设 A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m), 由 得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0. 由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0, 即 k2-m2+4>0, 且 x1+x2= ,x1x2= . 由 =3 得 x1=-3x2. 所以 3(x1+x2)2+4x1x2=12 -12 =0. 所以 + =0,即 m2k2+m2-k2-4=0. 当 m2=1 时,m2k2+m2-k2-4=0 不成立,所以 k2= . 因为 k2-m2+4>0, 所以 -m2+4>0,即 >0. 所以 1b>0), 由题可知 c=1, 因为|BD|=3,所以 =3, 又 a2-b2=1,所以 a=2,b= , 所以椭圆 C 的方程为 + =1. (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的方程为 y=k(x-2)+1. 由 得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0. 因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 M,N, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 所以Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)>0, 所以 k>- , x1+x2= ,x1x2= , 因为 · =(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)= , 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)= , 所以 (1+k2)= = , 解得 k=± .因为 k>- ,所以 k= , 故存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 4.已知函数 f(x)=a - (x>0),其中 e 为自然对数的底数. (1)当 a=0 时,判断函数 y=f(x)极值点的个数. (2)若函数有两个零点 x1,x2(x10), f′(x)= = , 令 f′(x)=0,则 x=2, 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,y=f(x)单调递减, 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,y=f(x)单调递增, 所以 x=2 是函数的一个极小值点,无极大值点, 即函数 y=f(x)有一个极值点. (2)令 f(x)=a - =0,则 =aex, 因为函数有两个零点 x1,x2(x11,且 解得 x1= ,x2= . 所以 x1+x2= .① 令 h(x)= ,x∈(1,+∞), 则 h′(x)= . 令 u(x)=-2lnx+x- ,得 u′(x)= . 当 x∈(1,+∞)时,u′(x)>0.因此,u(x)在(1,+∞)上单调递增, 故对于任意的 x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0, 由此可得 h′(x)>0,故 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 因此,由①可得 x1+x2 随着 t 的增大而增大. 5.已知定义在(0，e)上的函数 f(x)=lnx- . (1)求此函数的单调区间. (2)若过点 A(1，-1)有且仅有一条直线与函数 y=f(x)的图象相切，求 a 的取值范围. 【解析】(1)由题意 f′(x)= . 当 a≥e 时，函数 f(x)在(0，e)上是减函数； 当 02a>1 时，g(x)极小值=g(2a)=ln2a+ - -1 =ln2a+ >0， 而 g =ln +8a+4-16a-1=ln -8a+3<0， 由零点存在性原理，此时 g(x)在(0，2a)上有且只有一个零点，在[2a，e)上没有零点，符 合条件； 同理，当 2a≥e 时，符合条件； ②当 2a=1 时，g′(x)= ≥0，g(x)在(0，e)上为增函数， g(1)=a= >0， 而 g =ln +8a+4-16a-1=ln -8a+3<0， 此时 g(x)在(0，e)上有且只有一个零点，符合条件； ③当 0<2a<1 时，g(x)极小值=g(1)=a>0， 而 g =ln +4+ - -1=ln - +3<0， 此时 g(x)在(0，1)上有且只有一个零点，在[1，e)上没有零点，符合条件； ④当 a=0 时，g(x)=lnx+ -1，令 g′(x)= =0， g(x)极小值=g(1)=0，g(x)在(0，e)上有且只有一个零点 1，符合条件； ⑤当 a<0 时，g(x)极小值=g(1)=a<0，g =ln -8a+3>0， g(x)在(0，1)上有且只有一个零点， 而当 g(e)=lne+ - -1= ≤0， 即 a≤- 时， g(x)在(1，e)上没有零点；此时 g(x)在(0，e)上有且只有一个零点，符合条件； 当 g(e)= >0，即-