北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第7节 9页

第四章 第七节 一、选择题 1．两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40°，灯塔 B 在观察站的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A．北偏东 10° B．北偏西 10° C．南偏东 10° D．南偏西 10° [答案] B [解析] 由图可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°， ∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝1 2(180°－80°)＝50°. ∵CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD－∠CBA＝60°－50°＝10°， ∴灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°. 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距 10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上， 继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°，另一灯塔在船的南偏西 75°，则这只船 的速度是每小时( ) A．5n mile B．5 3n mile C．10n mile D．10 3n mile [答案] C [解析] 依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝ CA＝10，在直角三角形 ABC 中，可得 AB＝5，于是这只船的速度是 5 0.5 ＝10(n mile/h)． 3．如图，为了测量隧道 AB 的长度，给定下列四组数据无法求出 AB 长度的是( ) A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β， γ [答案] D [解析] 利用余弦定理，可由 a，b，γ或α，a，b 求出 AB；利用正弦定理，可由 a，α， β求出 AB，当只知α，β，γ时，无法计算 AB． 4．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( ) A．10 2海里 B．10 3海里 C．20 3海里 D．20 2海里 [答案] A [解析] 如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20 海里，∠CAB＝30°， ∠ACB＝45°，根据正弦定理得 BC sin30° ＝ AB sin45° ，解得 BC＝10 2(海里) 5．(文)已知 A、B 两地间的距离为 10km，B、C 两地间的距离为 20km，现测得∠ABC ＝120°，则 A、C 两地间的距离为( ) A．10km B． 3km C．10 5km D．10 7km [答案] D [解析] 利用余弦定理 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－1 2) ＝700， ∴AC＝10 7(km)． (理)如图所示，D，C，B 三点在地面同一直线上，DC＝a，从 C、D 两点测得 A 点的仰 角分别是β、α(α<β)，则点 A 离地面的高度 AB 等于( ) A．asinαsinβ sinβ－α B．asinαsinβ cosα－β C．acosαcosβ sinβ－α D．acosαcosβ cosα－β [答案] A [解析] 在△ADC 中，∠DAC＝β－α， 由正弦定理， AC sinα ＝ a sinβ－α ，得 AC＝ asinα sinβ－α. 在 Rt△ABC 中，AB＝AC·sinβ＝asinαsinβ sinβ－α. 6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到 达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m [答案] A [解析] 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在△ABC 中，A＝60°，AC＝h，AB＝100， BC＝ 3h， 根据余弦定理得，( 3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°， 即 h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0， 即 h＝50，故水柱的高度是 50 m. 二、填空题 7．(文)(2014·新课标Ⅰ)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观 测点．从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°.已知山高 BC＝100m，则山高 MN＝________m . [答案] 150 [解析] 本题考查解三角形中的应用举例． 在 Rt△ABC 中，BC＝100，∠CAB＝45°， ∴AC＝100 2. 在△AMC 中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°， ∴∠AMC＝45°. 由正弦定理知 AM sin60° ＝100 2 sin45° ， ∴AM＝100 3. 在 Rt△AMN 中，∠NAM＝60°， ∴MN＝AM·sin60°＝100 3× 3 2 ＝150(m)． (理)(2014·四川高考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°， 30°，此时气球的高度是 46m，则河流的宽度 BC 约等于________m．(用四舍五入法将结果 精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 3≈1.73) [答案] 60 [解析] 本题考查了运用正弦定理解三角形． 由条件可得：AC＝92，AB＝ 46 cos67° ， AB sin30° ＝ BC sin37° ，∴BC＝ABsin37° sin30° ≈60. 8．我舰在岛 A 南 50°西 12n mile 的 B 处，发现敌舰正从岛沿北 10° 西的方向以每小时 10n mile 的速度航行，若我舰要用 2h 追上敌舰，则 速度为________． [答案] 14n mile/h [解析] 设我舰在 C 处追上敌舰，速度为 v，则在△ABC 中，AC ＝20，AB＝12，∠BAC＝120°. ∴BC2＝784，∴v＝14n mile/h. 9．(文)如图，一艘船上午 9 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处，之后它继续沿 正北方向匀速航行，上午 10 00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处，且与 它相距 8 2n mile.此船的航速是________n mile/h. [答案] 32 [解析] 设航速长 v n mile/h 在△ABS 中，AB＝1 2v，BS＝8 2，∠BSA＝45°， 由正弦定理得： 8 2 sin30° ＝ 1 2v sin45° ，∴v＝32. (理)如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D．测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔 高 AB＝________m. [答案] 15 6 [解析] 由已知可得∠DBC＝135°， 在△DBC 中，由正弦定理可得 BC sin30° ＝ CD sin135° ， BC＝CDsin30° sin135° ＝30×sin30° sin135° ＝15 2， ∴AB＝BCtan60°＝15 2× 3＝15 6. 三、解答题 10．如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线 步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C．现有甲、乙两位 游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min.在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车 到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min， 山路 AC 长为 1260m，经测量，cosA＝12 13 ，cosC＝3 5. (1)求索道 AB 的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ [解析] (1)在△ABC 中，因为 cosA＝12 13 ，cosC＝3 5 ， 所以 sinA＝ 5 13 ，sinC＝4 5. 从而 sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC＝ 5 13 ×3 5 ＋12 13 ×4 5 ＝63 65. 由正弦定理 AB sinC ＝ AC sinB ，得 AB＝ AC sinB ×sinC＝1260 63 65 ×4 5 ＝1040(m)． 所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 tmin 后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离 A 处 130tm， 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13 ＝200(37t2－70t ＋50)， 因 0≤t≤1040 130 ，即 0≤t≤8，故当 t＝35 37(min)时，甲、乙两游客距离最短. 一、选择题 1．据新化社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到 12 级以上， 大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成 与地面成 45°角，树干也倾斜为与地面成 75°角，树干底部与树尖着地处相距 20 米，则折断 点与树干底部的距离是( ) A．20 6 3 米 B．10 6米 C．10 6 3 米 D．20 2米 [答案] A [解析] 如图所示，设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A， 则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°. 由正弦定理知， AO sin45° ＝ 20 sin60° ，∴AO＝20 6 3 (米)． 2．(2014·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18km，速度为 1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30°，经过 1min 后又看到山顶的俯角 为 75°，则山顶的海拔高度为(精确到 0.1km)( ) A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.6 [答案] B [解析] AB＝1 000×1 000× 1 60 ＝50 000 3 (m)， ∴BC＝ AB sin45°·sin30°＝50 000 3 2 (m)． ∴航线离山顶 h＝50 000 3 2 ×sin75°≈11.4(km)． ∴山高为 18－11.4＝6.6(km)． 二、填空题 3．在直径为 30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且 其轴截面顶角为 120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m. [答案] 5 3 [解析] 轴截面如图，则光源高度 h＝ 15 tan60° ＝5 3(m)． 4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 15°的看台的某一列的正前 方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第一排和最后一 排的距离为 10 6m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50s， 升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗？ [答案] 0.6 [解析] 在△BCD 中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10 6(m)， 由正弦定理，得 BC＝CDsin45° sin30° ＝20 3(m)； 在 Rt△ABC 中，AB＝BCsin60°＝20 3× 3 2 ＝30(m)． 所以升旗速度 v＝AB t ＝30 50 ＝0.6(m/s)． 三、解答题 5．(文)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高 度． [解析] 如图，设电视塔 AB 的高为 xm，则在 Rt△ABC 中，由∠ ACB＝45°得 BC＝x. 在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°， ∴BC＝ 3x. 在△BDC 中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD ·cos120°， 即( 3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°， 解得 x＝40，∴电视塔高为 40 米． (理)如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯 塔的塔顶．测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点仰角均为 60°，AC＝0.1km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然 后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01km， 2≈1.414， 6≈2.449)． [分析] 计算∠ADC → AC＝DC → AB＝BD → 在△ABC 中计算 AB → 求得 BD [解析] 在△ACD 中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以 CD＝AC＝0.1， 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故 CB 是 △CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD＝BA．在 △ ABC 中 ， AB sin∠BCA ＝ AC sin∠ABC ， 所 以 AB ＝ ACsin60° sin15° ＝ 3 2＋ 6 20 . 同 理 ， BD ＝ 3 2＋ 6 20 ≈0.33(km)． 故 B、D 的距离约为 0.33km. 6．某海域内一观测站 A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 50°且 与 A 相距 80 海里的位置 B，经过 1 小时又测得该船已行驶到点 A 北偏东 50°＋θ(其中 sinθ ＝ 15 8 ，0°<θ<90°)且与 A 相距 60 海里的位置 C． (1)求该船的行驶速度； (2)若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站 A 的最近距离． [解析] (1)如图(1)，AB＝80，AC＝60，∠BAC＝θ，sinθ＝ 15 8 . 由于 0°<θ<90°，所以 cosθ＝ 1－ 15 8 2＝7 8. 由余弦定理得 BC＝ AB2＋AC2－2AB·ACcosθ＝40， 所以船的行驶速度为 40 海里/小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理得 BC sin∠BAC ＝ AC sin∠ABC ， ∴sin∠ABC＝AC·sin∠BAC BC ＝60× 15 8 40 ＝3 15 16 ， 自 A 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于 D，则 AD 的长是船离观测站的最近距离． 在 Rt△ABD 中，AD＝ABsin∠ABD＝80×3 15 16 ＝15 15(海里)， ∴船在行驶过程中离观测站 A 最近距离为 15 15海里．