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  • 2021-06-16 发布

北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第7节

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第四章 第七节 一、选择题 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40°,灯塔 B 在观察站的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10° [答案] B [解析] 由图可知∠ACB=180°-(40°+60°)=80°, ∵AC=BC,∴∠A=∠CBA=1 2(180°-80°)=50°. ∵CE∥BD,∠CBD=∠BCE=60°, ∴∠ABD=∠CBD-∠CBA=60°-50°=10°, ∴灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°. 2.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这只船 的速度是每小时( ) A.5n mile B.5 3n mile C.10n mile D.10 3n mile [答案] C [解析] 依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD= CA=10,在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 5 0.5 =10(n mile/h). 3.如图,为了测量隧道 AB 的长度,给定下列四组数据无法求出 AB 长度的是( ) A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β, γ [答案] D [解析] 利用余弦定理,可由 a,b,γ或α,a,b 求出 AB;利用正弦定理,可由 a,α, β求出 AB,当只知α,β,γ时,无法计算 AB. 4.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( ) A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 3海里 D.20 2海里 [答案] A [解析] 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB=30°, ∠ACB=45°,根据正弦定理得 BC sin30° = AB sin45° ,解得 BC=10 2(海里) 5.(文)已知 A、B 两地间的距离为 10km,B、C 两地间的距离为 20km,现测得∠ABC =120°,则 A、C 两地间的距离为( ) A.10km B. 3km C.10 5km D.10 7km [答案] D [解析] 利用余弦定理 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°=102+202-2×10×20×(-1 2) =700, ∴AC=10 7(km). (理)如图所示,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰 角分别是β、α(α<β),则点 A 离地面的高度 AB 等于( ) A.asinαsinβ sinβ-α B.asinαsinβ cosα-β C.acosαcosβ sinβ-α D.acosαcosβ cosα-β [答案] A [解析] 在△ADC 中,∠DAC=β-α, 由正弦定理, AC sinα = a sinβ-α ,得 AC= asinα sinβ-α. 在 Rt△ABC 中,AB=AC·sinβ=asinαsinβ sinβ-α. 6.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到 达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( ) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m [答案] A [解析] 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,AB=100, BC= 3h, 根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°, 即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0, 即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 二、填空题 7.(文)(2014·新课标Ⅰ)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观 测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN=________m . [答案] 150 [解析] 本题考查解三角形中的应用举例. 在 Rt△ABC 中,BC=100,∠CAB=45°, ∴AC=100 2. 在△AMC 中,∠CAM=75°,∠ACM=60°, ∴∠AMC=45°. 由正弦定理知 AM sin60° =100 2 sin45° , ∴AM=100 3. 在 Rt△AMN 中,∠NAM=60°, ∴MN=AM·sin60°=100 3× 3 2 =150(m). (理)(2014·四川高考)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67°, 30°,此时气球的高度是 46m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将结果 精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, 3≈1.73) [答案] 60 [解析] 本题考查了运用正弦定理解三角形. 由条件可得:AC=92,AB= 46 cos67° , AB sin30° = BC sin37° ,∴BC=ABsin37° sin30° ≈60. 8.我舰在岛 A 南 50°西 12n mile 的 B 处,发现敌舰正从岛沿北 10° 西的方向以每小时 10n mile 的速度航行,若我舰要用 2h 追上敌舰,则 速度为________. [答案] 14n mile/h [解析] 设我舰在 C 处追上敌舰,速度为 v,则在△ABC 中,AC =20,AB=12,∠BAC=120°. ∴BC2=784,∴v=14n mile/h. 9.(文)如图,一艘船上午 9 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处,之后它继续沿 正北方向匀速航行,上午 10 00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与 它相距 8 2n mile.此船的航速是________n mile/h. [答案] 32 [解析] 设航速长 v n mile/h 在△ABS 中,AB=1 2v,BS=8 2,∠BSA=45°, 由正弦定理得: 8 2 sin30° = 1 2v sin45° ,∴v=32. (理)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30m,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔 高 AB=________m. [答案] 15 6 [解析] 由已知可得∠DBC=135°, 在△DBC 中,由正弦定理可得 BC sin30° = CD sin135° , BC=CDsin30° sin135° =30×sin30° sin135° =15 2, ∴AB=BCtan60°=15 2× 3=15 6. 三、解答题 10.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线 步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位 游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车 到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min, 山路 AC 长为 1260m,经测量,cosA=12 13 ,cosC=3 5. (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? [解析] (1)在△ABC 中,因为 cosA=12 13 ,cosC=3 5 , 所以 sinA= 5 13 ,sinC=4 5. 从而 sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC= 5 13 ×3 5 +12 13 ×4 5 =63 65. 由正弦定理 AB sinC = AC sinB ,得 AB= AC sinB ×sinC=1260 63 65 ×4 5 =1040(m). 所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 tmin 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130tm, 所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×12 13 =200(37t2-70t +50), 因 0≤t≤1040 130 ,即 0≤t≤8,故当 t=35 37(min)时,甲、乙两游客距离最短. 一、选择题 1.据新化社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到 12 级以上, 大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成 与地面成 45°角,树干也倾斜为与地面成 75°角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,则折断 点与树干底部的距离是( ) A.20 6 3 米 B.10 6米 C.10 6 3 米 D.20 2米 [答案] A [解析] 如图所示,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A, 则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°. 由正弦定理知, AO sin45° = 20 sin60° ,∴AO=20 6 3 (米). 2.(2014·贵阳模拟)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18km,速度为 1 000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30°,经过 1min 后又看到山顶的俯角 为 75°,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1km)( ) A.11.4 B.6.6 C.6.5 D.5.6 [答案] B [解析] AB=1 000×1 000× 1 60 =50 000 3 (m), ∴BC= AB sin45°·sin30°=50 000 3 2 (m). ∴航线离山顶 h=50 000 3 2 ×sin75°≈11.4(km). ∴山高为 18-11.4=6.6(km). 二、填空题 3.在直径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且 其轴截面顶角为 120°,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为________m. [答案] 5 3 [解析] 轴截面如图,则光源高度 h= 15 tan60° =5 3(m). 4.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15°的看台的某一列的正前 方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一 排的距离为 10 6m(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50s, 升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗? [答案] 0.6 [解析] 在△BCD 中,∠BDC=45°,∠CBD=30°,CD=10 6(m), 由正弦定理,得 BC=CDsin45° sin30° =20 3(m); 在 Rt△ABC 中,AB=BCsin60°=20 3× 3 2 =30(m). 所以升旗速度 v=AB t =30 50 =0.6(m/s). 三、解答题 5.(文)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,求电视塔的高 度. [解析] 如图,设电视塔 AB 的高为 xm,则在 Rt△ABC 中,由∠ ACB=45°得 BC=x. 在 Rt△ABD 中,∠ADB=30°, ∴BC= 3x. 在△BDC 中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC·CD ·cos120°, 即( 3x)2=x2+402-2·x·40·cos120°, 解得 x=40,∴电视塔高为 40 米. (理)如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯 塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点仰角均为 60°,AC=0.1km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然 后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2≈1.414, 6≈2.449). [分析] 计算∠ADC → AC=DC → AB=BD → 在△ABC 中计算 AB → 求得 BD [解析] 在△ACD 中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以 CD=AC=0.1, 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,故 CB 是 △CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA.在 △ ABC 中 , AB sin∠BCA = AC sin∠ABC , 所 以 AB = ACsin60° sin15° = 3 2+ 6 20 . 同 理 , BD = 3 2+ 6 20 ≈0.33(km). 故 B、D 的距离约为 0.33km. 6.某海域内一观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 50°且 与 A 相距 80 海里的位置 B,经过 1 小时又测得该船已行驶到点 A 北偏东 50°+θ(其中 sinθ = 15 8 ,0°<θ<90°)且与 A 相距 60 海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度; (2)若该船不改变航行方向继续向前行驶,求船在行驶过程中离观测站 A 的最近距离. [解析] (1)如图(1),AB=80,AC=60,∠BAC=θ,sinθ= 15 8 . 由于 0°<θ<90°,所以 cosθ= 1- 15 8 2=7 8. 由余弦定理得 BC= AB2+AC2-2AB·ACcosθ=40, 所以船的行驶速度为 40 海里/小时. (2)在△ABC 中,由正弦定理得 BC sin∠BAC = AC sin∠ABC , ∴sin∠ABC=AC·sin∠BAC BC =60× 15 8 40 =3 15 16 , 自 A 作 BC 的垂线,交 BC 的延长线于 D,则 AD 的长是船离观测站的最近距离. 在 Rt△ABD 中,AD=ABsin∠ABD=80×3 15 16 =15 15(海里), ∴船在行驶过程中离观测站 A 最近距离为 15 15海里.