人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业八 7页

课时提升作业 八 反证法与放缩法 基础过关 一、选择题(每小题 6 分,共 18 分) 1.证明命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有一个能被 5 整除”, 则假设的内容是 ( ) A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 都不能被 5 整除 C.a 不能被 5 整除 D.a,b 有一个不能被 5 整除 【解析】选 B.“a,b 至少有一个能被 5 整除”包括“a,b 中有且只有一个能被 5 整除或 a,b 都能被 5 整除”,其反面为“a,b 都不能被 5 整除”. 【补偿训练】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正 确的是( ) A.三个内角中至少有一个钝角 B.三个内角中至少有两个钝角 C.三个内角都不是钝角 D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 【解析】选 B.“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少 有两个”. 2.已知 a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证 a>0,b>0,c>0 时的假设为 ( ) A.a<0,b<0,c<0 B.a≤0,b>0,c>0 C.a,b,c 不全是正数 D.abc<0 【解析】选 C.a>0,b>0,c>0 的反面是 a,b,c 不全是正数. 3.已知 a>0,b>0,设 P= + ,Q= ,则 P 与 Q 的大小关系是 ( ) A.P>Q B.P0,b>0,所以 P= + > + = =Q,所以 P>Q. 【 补 偿 训 练 】 已 知 等 比 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 , 公 比 q ≠ 1, 设 P= ,Q= ,则 P 与 Q 的大小关系是 ( ) A.P>Q B.P0,a3≠a9, 所以 > = ,故 P>Q. 二、填空题(每小题 6 分,共 12 分) 4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠ C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形的内角和为 180°矛盾,故结论错误; ②所以一个三角形不可能有两个直角; ③假设△ABC 有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°; 上述步骤的正确顺序是____________. 【解析】由反证法的证题步骤可知,正确顺序应该是③①②. 答案:③①② 5.已知 a∈R+,则 , , 从大到小的顺序为________. 【解析】因为 + > + =2 , + < + =2 , 所以 2 < + <2 , 所以 > > . 答案: > > 【补偿训练】log23 与 log34 的大小关系是________. 【解析】log23-log34= - = > = > =0, 所以 log23-log34>0,所以 log23>log34. 答案:log23>log34 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 6.已知 a>0,b>0,且 a+b>2.求证: , 中至少有一个小于 2. 【证明】假设 , 都不小于 2, 则 ≥2, ≥2. 因为 a>0,b>0, 所以 1+b≥2a,1+a≥2b. 所以 2+a+b≥2(a+b),即 2≥a+b, 这与 a+b>2 矛盾. 故假设不成立.即 , 中至少有一个小于 2. 7.设 n 是正整数,求证: ≤ + +…+ <1. 【证明】由 2n≥n+k>n(k=1,2,…,n), 得 ≤ < . 当 k=1 时, ≤ < ; 当 k=2 时, ≤ < ; … 当 k=n 时, ≤ < . 所以 = ≤ + +…+ < =1. 即原不等式成立. 8.已知 a≥-1,求证以下三个方程: x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实数解. 【证明】假设三个方程都没有实根,则三个方程的判别式都小于 0,即: 所以 所以- 2,(2)的假设正确. 2.设 x,y,z 都是正实数,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c 三个数 ( ) A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 【解析】选 C.因为 a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥2+2+2=6,当且仅当 x=y=z=1 时等号成立, 所以 a,b,c 三者中至少有一个不小于 2. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.设 M= + + +…+ ,则 M 与 1 的大小关系为________. 【解析】因为 210+1>210,210+2>210,…,211-1>210, 所以 M= + + +…+ < + +…+ =1. 答案:M<1 4.某同学准备用反证法证明如下一个问题: 函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1).如果对于不同的 x1,x2∈[0,1]都有 |f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< ,那么他的反设应该是________. 【解析】对任意 x1,x2∈[0,1](x1≠x2)都有|f(x1)-f(x2)|< 的反面是存在 x1,x2∈ [0,1]且 x1≠x2 有|f(x1)-f(x2)|≥ . 答案:存在 x1,x2∈[0,1]且 x1≠x2 使|f(x1)-f(x2)|≥ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.已知 0 ,b(3-c)> ,c(3-a)> . 因为 a,b,c 均为小于 3 的正数. 所以 > , > , > , 从而有 + + > .① 但是 + + ≤ + + = = .② 显然②与①相矛盾,假设不成立,故命题得证. 【补偿训练】已知 f(x)=ax+ (a>1),证明:方程 f(x)=0 没有负数根. 【证明】假设 x0 是 f(x)=0 的负数根, 则 x0<0 且 x0≠-1 且 =- , 由 0< <1⇒0<- <1,解得 0,所以 S1=2,即 a1=2. (2)由 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得: (Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0, 因为 an>0(n∈N*),Sn>0, 从而 Sn+3>0,所以 Sn=n2+n, 所以当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n, 又 a1=2=2×1,所以 an=2n(n∈N*). (3)当 k∈N*时,k2+ >k2+ - = , 所以 = = · < · = · = · 所以 + +…+ < = = - < .