高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练(供参考) 19页

2015 高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练 【选题明细表】 知识点、方法 题号 圆锥曲线的综合问题 2、4、6、11 直线与圆锥曲线的综合问题 3、8、9、14 圆与圆锥曲线的综合问题 7、10、12、13 圆锥曲线与其他内容的综合 1、5 一、选择题 1.椭圆 + =1(a>b>0)的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,D 是它短轴上的一个端点,若 3 = +2 ,则该椭圆的离心率为( D ) (A) (B) (C) (D) 解析:设 D(0,b),则 =(-c,-b), =(-a,-b), =(c,-b), 由 3 = +2 得-3c=-a+2c, 即 a=5c, ∴e= = . 故选 D. 2.(2012 年高考福建卷)已知双曲线 - =1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲 线的焦点到其渐近线的距离等于( A ) (A) (B)4 (C)3 (D)5 解析:抛物线 y2=12x 的焦点是(3,0), ∴c=3,b2=c2-a2=5. ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x, 焦点(3,0)到 y=± x 的距离 d= = . 故选 A. 3.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点直线的斜率为 ,则 的 值为( A ) (A) (B) (C) (D) 解析:设交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为 M(x0,y0), 将 y=1-x 代入 ax2+by2=1 得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 故 x1+x2= ,x0= , ∴y1+y2=2- = ,y0= , ∴k= = = . 故选 A. 4.(2013 山东淄博一中高三上期末考试)过椭圆 + =1(a>b>0)的焦点垂直于 x 轴的弦长为 , 则双曲线 - =1 的离心率 e 的值是( B ) (A) (B) (C) (D) 解析:设椭圆的半焦距为 c1, 在椭圆中当 x=c1 时, + =1, y2=b2 1- = , ∴y=± . ∴ = , 即 a2=4b2, 设双曲线的半焦距为 c2, ∴在双曲线中 =a2+b2=5b2, ∴e= = = . 故选 B. 5.(2013 河北省衡水中学高三模拟)点 P 在双曲线 - =1(a>0,b>0)上,F1、F2 是双曲线的两个 焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( D ) (A) (B) (C)2 (D)5 解析:不妨设点 P 在双曲线的右支上,F1 为左焦点, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 r1-r2=2a,2r1=r2+2c, 解得 r1=2c-2a,r2=2c-4a, 代入 + =4c2 可得 c2+5a2-6ac=0, 两边同除以 a2 得 e2-6e+5=0, 解得 e=1 或 e=5. 又 e>1,所以 e=5.故选 D. 6.(2013 福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且,AB=2AD.设∠DAB=θ,θ∈ 0, ,以 A、B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 C、D 为焦点且过点 A 的椭圆的离 心率为 e2,则( B ) (A)随着角度θ的增大,e1 增大,e1e2 为定值 (B)随着角度θ的增大,e1 减小,e1e2 为定值 (C)随着角度θ的增大,e1 增大,e1e2 也增大 (D)随着角度θ的增大,e1 减小,e1e2 也减小 解析:设 AD=1,则 AB=2,DC=2-2cos θ, 在△ABD 中,由余弦定理得 BD= , e1= = ,θ∈ 0, , 所以随着角度θ的增大,e1 减小; 又 e2= = = , ∴e1e2= =1,故选 B. 7.过双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2 的切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右 支于点 P,若 T 为线段 FP 的中点,则该双曲线的渐近线方程为( B ) (A)x±y=0 (B)2x±y=0 (C)4x±y=0 (D)x±2y=0 解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为 F′,连结 OT、PF′. ∵FT 为圆的切线, ∴FT⊥OT,且|OT|=a, 又∵T、O 分别为 FP、FF′的中点, ∴OT∥PF′且|OT|= |PF′|, ∴|PF′|=2a, 且 PF′⊥PF. 又|PF|-|PF′|=2a, ∴|PF|=4a. 在 Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2, 即 16a2+4a2=4c2,∴ =5. ∴ = -1=4,∴ =2, 即渐近线方程为 y=±2x, 即 2x±y=0.故选 B. 二、填空题 8.(2012 年高考重庆卷)设 P 为直线 y= x 与双曲线 - =1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左焦 点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e= . 解析:由 消去 y 得 x=± a. 又 PF1⊥x 轴,∴ a=c,∴e= = . 答案: 9.(2013 东莞模拟)已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 . 解析:当 t=0 时,直线 AB 与抛物线 C 有公共点, 当 t≠0,则过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线方程为 = , 即 4x-ty-t=0, 由 得 2tx2-4x+t=0,Δ=16-4×2t2<0, 解得 t<- 或 t> . 答案:(-∞,- )∪( ,+∞) 10.过双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的两条切线,切点分别为 A、B.若 ∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为 . 解析:如图,由题知 OA⊥AF,OB⊥BF 且∠AOB=120°, ∴∠AOF=60°. 又 OA=a,OF=c, ∴ = =cos 60°= , ∴ =2. 答案:2 11.(2013 安徽蚌埠二模)点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2: - =1(a>0,b>0)的一条 渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于 . 解析:设 A(x0,y0), ∵A 在抛物线上, ∴x0+ =p, ∴x0= , 由 =2px0 得 y0=p 或 y0=-p. ∴双曲线渐近线的斜率 = =2. ∴e= = = . 答案: 三、解答题 12.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且椭圆经过圆 C:x2+y2 -4x+2 y=0 的 圆心 C. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程. 解:(1)圆 C 方程可化为(x-2)2+(y+ )2=6, 圆心 C(2,- ),半径 r= 设椭圆的方程为 + =1(a>b>0), 则 ∴ ∴所求椭圆的方程是 + =1. (2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是 F1(-2,0),F2(2,0), |F2C|= = )的右焦点 F 在圆 D:(x-2)2+y2=1 上,直线 l:x=my+3(m≠0)交椭圆于 M、N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 ⊥ (O 为坐标原点),求 m 的值; (3)若点 P 的坐标是(4,0),试问△PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不 存在,请说明理由. 解:(1)由题意知,圆 D:(x-2)2+y2=1 的圆心坐标是(2,0),半径是 1, 故圆 D 与 x 轴交于两点(3,0),(1,0), 所以在椭圆中 c=3 或 c=1, 又 b2=3, 所以 a2=12 或 a2=4(不满足 a> ,舍去), 于是,椭圆 C 的方程为 + =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 直线 l 与椭圆 C 方程联立 化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0, ∴y1+y2= ,y1y2= , ∴x1+x2=m(y1+y2)+6= , x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9 = + +9 = . ∵ ⊥ , ∴ · =0, 即 x1x2+y1y2=0 得 =0, 所以 m2= ,m=± . (3)S△PMN= |FP|·|y1-y2| = ·1· = =2 =2 ≤2 =1. 当且仅当 m2+1=3, 即 m=± 时等号成立. 故△PMN 的面积存在最大值 1. 14.(2013 黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为 + =1(a>b>0),它 的离心率为 ,一个焦点是(-1,0),过直线 x=4 上一点引椭圆Ω的两条切线,切点分别是 A、B. (1)求椭圆Ω的方程; (2)若椭圆Ω: + =1(a>b>0)在点(x0,y0)处的切线方程是: + =1.求证:直线 AB 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标; (3)求证: + 为定值 (点 C 为直线 AB 恒过的定点). (1)解:椭圆Ω的焦点是(-1,0), 故 c=1,又 = , 所以 a=2,b= = , 所以所求的椭圆Ω方程为 + =1. (2)解:设切点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 上一点 M 的坐标(4,t), 则切线 AM、BM 的方程分别为 + =1, + =1. 又两切线均过点 M, 所以 x1+ y1=1,x2+ y2=1, 即点 A,B 的坐标都适合方程 x+ y=1, 故直线 AB 的方程是 x+ y=1, 显然直线 x+ y=1 恒过点(1,0), 故直线 AB 恒过定点 C(1,0). (3)证明:将直线 AB 的方程 x=- y+1,代入椭圆方程,得 3 - y+1 2+4y2-12=0, 即 +4 y2-2ty-9=0, ∴y1+y2= , y1y2= , 不妨设 y1>0,y2<0, |AC|= = = y1, 同理|BC|=- y2, ∴ + = · - = · =- · =- · = · = , 即 + 为定值 . 大题冲关集训(五) 1. (2013 福师大附中模拟)如图,已知抛物线 C1:x2=2py 的焦点在抛物线 C2:y= x2+1 上. (1)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (2)过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C2 的两条切线 PM,PN,切点为 M,N.若 PM,PN 的斜率乘积 为 m,且 m∈[2,4],求|OP|的取值范围. 解:(1)C1 的焦点为 F 0, , 所以 =0+1,p=2. 故 C1 的方程为 x2=4y,其准线方程为 y=-1. (2)任取点 P(2t,t2),设过点 P 的 C2 的切线方程为 y-t2=k(x-2t). 由 得 x2-2kx+4tk-2t2+2=0. 由Δ=(-2k)2-4(4tk-2t2+2)=0, 化简得 k2-4tk+2t2-2=0, 设 PM,PN 斜率分别为 k1,k2, 则 m=k1k2=2t2-2, 因为 m∈[2,4],所以 t2∈[2,3], 所以|OP|2=4t2+t4=(t2+2)2-4∈[12,21], 所以|OP|∈[2 , ]. 2.(2013 河南洛阳一模)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,直线 l:y=x+2 与以原点为 圆心,椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 与曲线|y|=kx(k>0)的交点为 A、B,求△OAB 面积的最大值. 解:(1)由题设可知,圆 O 的方程为 x2+y2=b2, 因为直线 l:x-y+2=0 与圆 O 相切, 故有 =b, 所以 b= . 又 e= = ,所以有 a2=3c2=3(a2-b2), 所以 a2=3, 所以椭圆 C 的方程为 + =1. (2)设点 A(x0,y0)(x0>0,y0>0), 则 y0=kx0, 设 AB 交 x 轴于点 D,如图, 由对称性知: S△OAB=2S△OAD=2× x0y0=k . 由 解得 = . 所以 S△OAB=k· = ≤ = . 当且仅当 =3k,即 k= 时取等号. 所以△OAB 面积的最大值为 . 3. (2013 泉州五中模拟)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 P(a, )到焦点距离为 1. (1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 y=kx+2 交 C 于 M,N 两点,Q 是线段 MN 的中点,过 Q 作 x 轴的垂线交 C 于点 T. ①证明:抛物线 C 在点 T 处的切线与 MN 平行; ②是否存在实数 k 使 · =0?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)依据抛物线的定义知,P 到抛物线焦点 F 的距离为 PF= + =1,所以 p= , 抛物线的方程为 x2= y. (2)①证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0), 联立 得 2x2-kx-2=0, 所以 x1+x2= ,x1·x2=-1, 所以 x0= = . 因为 y=2x2,所以 y′ =k, 所以抛物线 y=2x2 在 T 点处的切线与 MN 平行. ②由①可得 T , , 则 · = x1- x2- + y1- y2- =(k2+1)x1x2+ k- (x1+x2)+ + 2- 2 =- (k2-4)(k2+16)=0, 解得 k=±2,所以存在 k=±2 满足 · =0. 4.(2012 年高考江西卷)已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足 | + |= ·( + )+2. (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-20, ∴关于 m 的方程 m2-m +2 -3=0 有解. ∴在 x 轴上存在点 C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2 成立. 7.(2013 年高考广东卷)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 ,设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)∵抛物线 C 的焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 , ∴ = ,得 c=1, ∴F(0,1),即抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 x2=4y 得 y′= x, ∴切线 PA:y-y1= x1(x-x1), 有 y= x1x- +y1,而 =4y1, 即切线 PA:y= x1x-y1, 同理可得切线 PB:y= x2x-y2. ∵两切线均过定点 P(x0,y0), ∴y0= x1x0-y1,y0= x2x0-y2, 由此两式知点 A,B 均在直线 y0= xx0-y 上, ∴直线 AB 的方程为 y0= xx0-y, 即 y= x0x-y0. (3)设点 P 的坐标为(x′,y′), 由 x′-y′-2=0, 得 x′=y′+2, 则|AF|·|BF|= · = · = · =(y1+1)·(y2+1) =y1y2+(y1+y2)+1. 由 得 y2+(2y′-x′2)y+y′2=0, 有 y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2, ∴|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1 =y′2+(y′+2)2-2y′+1 =2 y′+ 2+ , 当 y′=- ,x′= 时, 即 P ,- 时,|AF|·|BF|取得最小值 .