2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（四十五） 二项式定理命题3角度求系数定特项会赋值 5页

高考达标检测（四十五） 二项式定理命题 3 角度 ——求系数、定特项、会赋值 一、选择题 1. 1 x2 ＋4x2＋4 3 展开式的常数项为( ) A．120 B．160 C．200 D．240 解析：选 B 因为 1 x2 ＋4x2＋4 3＝ 1 x ＋2x 6，其展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6· 1 x 6－r·(2x)r＝ Cr62rx2r－6，令 2r－6＝0，可得 r＝3，故展开式的常数项为 C36·23＝160. 2．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8 的展开式中，含 x3 的项的系数是( ) A．74 B．121 C．－74 D．－121 解析：选 D 展开式中含 x3 项的系数为 C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121. 3．(x＋2)2(1－x)5 中 x7 的系数与常数项之差的绝对值为( ) A．5 B．3 C．2 D．0 解析：选 A 常数项为 C22×22×C05＝4，x7 的系数为 C02×C55(－1)5＝－1， 因此 x7 的系数与常数项之差的绝对值为 5. 4．若 3x－ 1 3 x2 m 的展开式中二项式系数之和为 128，则展开式中 1 x3 的系数是( ) A．21 B．－21 C．7 D．－7 解析：选 A 由题意可知 2m＝128，∴m＝7， ∴展开式的通项 Tr＋1＝Cr7(3x)7－r· － 1 3 x2 r＝Cr737－r(－1)rx 3 57- r ， 令 7－5 3r＝－3，解得 r＝6， ∴ 1 x3 的系数为 C6737－6(－1)6＝21. 5．在(1＋x)6(1＋y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数 f(m，n)，则 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋ f(0,3)＝( ) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：选 C 在(1＋x)6 的展开式中，xm 的系数为 Cm6 ， 在(1＋y)4 的展开式中，yn 的系数为 Cn4， 故 f(m，n)＝Cm6 ·Cn4. 从而 f(3,0)＝C36＝20，f(2,1)＝C26·C14＝60，f(1,2)＝C16·C24＝36，f(0,3)＝C34＝4， 所以 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝20＋60＋36＋4＝120. 6．若(x－1)8＝1＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则 a5＝( ) A．56 B．－56 C．35 D．－35 解析：选 B (x－1)8 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr8x8－r(－1)r， 令 r＝3，得 a5＝C38(－1)3＝－56. 7．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若 a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大 的项是( ) A．15x2 B．20x3 C．21x3 D．35x3 解析：选 B ∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令 x＝0，得 a0＝1. 令 x＝1，得(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6. 又(1＋x)6 的展开式二项式系数最大的项的系数最大， ∴(1＋x)6 的展开式系数最大的项为 T4＝C36x3＝20x3. 8．(2018·河北衡水中学调研)若 x＋a x 2x－1 x 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展 开式中的常数项为( ) A．10 B．20 C．30 D．40 解析：选 D 令 x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以 a＝1. 因此 x＋1 x 2x－1 x 5 的展开式中的常数项为 2x－1 x 5 的展开式中 x 的系数与1 x 的 系数的和. 2x－1 x 5 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr5(2x)5－r －1 x r＝Cr525－rx5－2r·(－1)r. 令 5－2r＝1，得 r＝2，因此 2x－1 x 5 的展开式中 x 的系数为 C2525－2×(－1)2＝80； 令 5－2r＝－1，得 r＝3，因此 2x－1 x 5 的展开式中1 x 的系数为 C3525－3×(－1)3＝－40， 所以 x＋1 x 2x－1 x 5 的展开式中的常数项为 80－40＝40. 二、填空题 9．若 a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，则 a2＋a3＋a4＝________. 解析：x4＝[(x－1)＋1]4＝C04(x－1)4＋C14(x－1)3＋C24(x－1)2＋C34(x－1)＋C44， 对照 a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4， 得 a2＝C14，a3＝C24，a4＝C34， 所以 a2＋a3＋a4＝C14＋C24＋C34＝14. 答案：14 10．已知 a＝  2 0  (sin x＋cos x)dx，则二项式 a x－ 1 x 6 的展开式中，含 x2 项的系数 是________． 解析：a＝  2 0  (sin x＋cos x)dx＝(－cos x＋sin x) |π 2 0 ＝2， 则 a x－ 1 x 6＝ 2 x－ 1 x 6，展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6(2 x)6－r － 1 x r＝(－1)rCr6·26－r·x3－r， 令 3－r＝2，得 r＝1. 故含 x2 项的系数是(－1)1·C16·26－1＝－192. 答案：－192 11．已知(x＋1)2 x＋ 1 x3 n 的展开式中没有 x2 项，n∈N*，且 5≤n≤8，则 n＝________. 解析：因为(x＋1)2 x＋ 1 x3 n＝(x2＋2x＋1) x＋ 1 x3 n， 则当第 1 个括号取 x2 时，第 2 个括号不能有常数项， 而当 n＝8 时，展开式中含有常数项 C28； 当第 1 个括号取 2x 时，第 2 个括号不能含有 x 项， 而当 n＝5 时，展开式中含有 x 项 C15x； 当第 1 个括号取 1 时，第 2 个括号不能含有 x2 项， 而当 n＝6 时，展开式中含有 x2 项 C16x2. 由上可知 n＝7. 答案：7 12．若(ax－1) 1 x ＋x 6 的展开式中含 x3 的项的系数为 30，则 a 的值为______，展开式中 所有项的系数之和为______． 解析：因为 1 x ＋x 6 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6x－6＋2r， 所以(ax－1) 1 x ＋x 6 的展开式中含 x3 的项为 a·Cr6x－5＋2r， 令－5＋2r＝3，解得 r＝4，故 a·C46＝30，解得 a＝2. 令 x＝1，得(2－1)×(1＋1)6＝64. 答案：2 64 三、解答题 13．已知在 x－ 1 24 x n 的展开式中，只有第 5 项二项式系数最大. (1)判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项；若不存在，说明理由； (2)求展开式的所有有理项. 解：(1)∵二项式系数最大的只有第 5 项，即 C 4n最大， ∴n＝8， ∴Tr＋1＝Cr8( x)8－r － 1 24 x r＝(－1)r2－rCr8x 16-3 4 r . 若存在常数项，则16－3r 4 ＝0, 即 3r＝16，r＝16 3 ， 又 r∈N，矛盾， ∴不存在常数项． (2)若 Tr＋1 为有理项，当且仅当16－3r 4 为整数， 因为 0≤r≤8，r∈N， 所以 r＝0,4,8，时，Tr＋1 为有理项， 即展开式中的有理项有 3 项，它们是 T1＝x4，T5＝35 8 x，T9＝ 1 256x－2. 14．已知 x＋1 2 n 的展开式中前 3 项的系数成等差数列，设 x＋1 2 n＝a0＋a1x＋a2x2＋… ＋anxn. (1)求 a0 的值； (2)求系数最大的项． 解：(1) x＋1 2 n 的展开式中前 3 项的系数分别为：1，C1n×1 2 ，C2n× 1 2 2， ∵它们成等差数列，∴2C1n×1 2 ＝1＋C2n× 1 2 2， 即 n2－9n＋8＝0，解得 n＝8 或 n＝1(舍去)， 由 x＋1 2 n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn, 令 x＝0，可得 a0＝ 1 2 8＝ 1 256. (2) x＋1 2 8 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr8x8－r· 1 2 r＝ 1 2 rCr8x8－r， 由 1 2 rCr8≥ 1 2 r－1Cr－18 ， 1 2 rCr8≥ 1 2 r＋1Cr＋18 ， 解得 2≤r≤3, ∴r＝2 或 3，∴系数最大的项是 7x5 或 7x6. 1．(x－2y＋1)6 的展开式中含 x3y 项的系数为( ) A．15 B．60 C．－60 D．－120 解析：选 D 法一：由于 x－2y＋1 中含有三项，可以看成[(x＋1)－2y]6， 要得到含 x3y 的项，由 T2＝C16(x＋1)5·(－2y)＝－12(x＋1)5y 可得， 要含有 x3，则对于(x＋1)5，T3′＝C25x3＝10x3，即含 x3y 的项为－120x3y. 法二：由二项式定理可知，含 x3y 的项即 C36x3C13(－2y)·C2212＝－120x3y，故含 x3y 项的 系数为－120. 2．(1＋x＋x2) x－1 x 6 的展开式中的常数项为________． 解析： x－1 x 6 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6x6－r· －1 x r＝(－1)rCr6x6－2r， 令 6－2r＝0，得 r＝3，则 T4＝C36·(－1)3＝－C36； 令 6－2r＝－1，得 r＝7 2(舍去)； 令 6－2r＝－2，得 r＝4，则 T5＝C46(－1)4x－2， ∴(1＋x＋x2) x－1 x 6 的展开式中的常数项为 C46－C36＝15－20＝－5. 答案：－5