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- 2021-06-16 发布
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第三章 3.1 第 2 课时
一、选择题
1.若 x>1>y,下列不等式不成立的是( )
A.x-1>1-y B.x-1>y-1
C.x-y>1-y D.1-x>y-x
[答案] A
[解析] 特殊值法.令 x=2,y=-1,则 x-1=2-1<1-(-1)=1-y,故 A 不正确.
2.设 a=100.1, b=0.110,c=lg0.1,则 a,b,c 的大小关系是( )
A.ab>c
C.b>a>c D.c>a>b
[答案] B
[解析] ∵100.1>100,∴100.1>1.
又∵0.110<0.10,∴0<0.110<1.
∵lg0.11,0b>c,选 B.
3.设 a+b<0,且 a>0,则( )
A.a2<-ab0,∴0-a2>a,
∴a<-a21
4>-1
4>-1
2
,即-a>a2>-a2>a,排除 A、C、D,选 B.
5.设 a,b∈R,则(a-b)·a2<0 是 a1,则 a3>a2,∴a3+1
a2+1
>1,∴
loga
a3+1
a2+1
>0,∴M>N,若 00,
∴M>N,故选 A.
二、填空题
7.已知 a>b>0,且 c>d>0,则 a
d
与 b
c
的大小关系是________.
[答案] a
d
> b
c
[解析] ∵c>d>0,∴1
d
>1
c
>0,
∵a>b>0,∴a
d
>b
c
>0,
∴ a
d
> b
c.
8.若 a、b、c、d 均为实数,使不等式a
b>c
d>0 和 adc
d>0 知,a、b 同号,c、d 同号,且a
b
-c
d
=ad-bc
bd
>0.
由 ad0,b>0,c<0,d<0,
不妨取 a=2,b=1,c=-1,
则 db”是“a|a|>b|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性.
当 a>b>0 时,a|a|-b|b|=a2-b2=(a+b)(a-b)>0 成立,
当 b0 成立,
当 b<00 成立,
∴a>b⇒a|a|>b·|b|;
同理由 a|a|>b|b|⇒a>b.选 C.
3.若 a>b>0,则下列不等式中总成立的是( )
A.b
a>b+1
a+1
B.a+1
a>b+1
b
C.a+1
b>b+1
a D.2a+b
a+2b
>a
b
[答案] C
[解析] 解法一:由 a>b>0⇒0<1
a<1
b
⇒a+1
b>b+1
a
,故选 C.
解法二:(特值法)令 a=2,b=1,排除 A、D,再令 a=1
2
,b=1
3
,排除 B.
4.若1
a
<1
b
<0,给出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④b
a
+a
b
>2.其中正确
的有( )
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
[答案] B
[解析] ∵1
a
<1
b
<0,∴a<0,b<0,a>b,故③错;
∴ab>0,∴a+b<0”“=”“<”)
[答案] >
[解析] ∵|a -b
b a|=a2+b2,
|a -a
b b|=ab-(-ab)=2ab,
∴|a -b
b a|-|a -a
b b|=a2+b2-2ab=(a-b)2.
∵a≠b,∴(a-b)2>0,
∴|a -b
b a|>|a -a
b b|.
6.若 a>b>c,则 1
a-b
+ 1
b-c
________ 3
a-c
(填“>”、“=”、“<”).
[答案] >
[解析] ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>,a-c>0.
∴ 1
a-b
+ 1
b-c
- 3
a-c
=a-b+b-ca-c-3a-bb-c
a-bb-ca-c
=[a-b+b-c]2-3a-bb-c
a-bb-ca-c
=[a-b-b-c]2+a-bb-c
a-bb-ca-c >0.
∴ 1
a-b
+ 1
b-c
> 3
a-c
.
三、解答题
7.设 a>0,a≠1,t>0 比较 1
2logat 与 loga
t+1
2
的大小.
[解析] 1
2logat=loga t,
∵t+1
2
- t=t-2 t+1
2
= t-12
2
,
∴当 t=1 时,t+1
2
= t;当 t>0 且 t≠1 时.t+1
2
> t.
∵当 a>1 时,y=logax 是增函数,
∴当 t>0 且 t≠1 时,loga
t+1
2
>loga t=1
2logat.
当 t=1 时,loga
t+1
2
=1
2logat.
∵当 0<a<1 时,y=logax 是减函数,
∴当 t>0 且 t≠1 时,loga
1+t
2
<loga t=1
2logat,
当 t=1 时,loga
t+1
2
=1
2logat.
综上知,当 t=1 时,loga
1+t
2
=1
2logat;当 t>0 且 t≠1 时,若 a>1 则 loga
1+t
2
>1
2logat;
若 0<a<1 则 loga
1+t
2
<1
2logat.
8.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a≠0)满足 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.
[解析] ∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f(-2)=4a-2b.
又∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
∴ 1≤a-b≤2
3≤a+b≤4
,
设存在实数 m、n 使得 4a-2b=m(a+b)+n(a-b),
即 4a-2b=(m+n)a+(m-n)b.
∴ m+n=4
m-n=-2
,
解得 m=1
n=3
.
∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).
又∵3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,
∴3+3≤4a-2b≤4+6,
即 6≤f(-2)≤10.
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